中考数学压轴题突破-二次函数与最值

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页中考数学压轴题突破——二次函数与最值1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D为的中点．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点G是该抛物线对称轴上的动点，若有最小值，求此时点G的坐标；(3)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值；2．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A，B在x轴上，抛物线经过点，两点，且与直线交于另一点E．(1)求抛物线的解析式；(2)F为抛物线对称轴与x轴的交点，M为线段上一点，N为平面直角坐标系中的一点，若存在以点D、F、M、N为顶点的四边形是菱形．请直接写出点N的坐标，不需要写过程；(3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，连接，探究是否存在最小值.若存在，请求出这个最小值及点Q的坐标，若不存在，请说明．3．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．(1)求该二次函数的表达式；(2)若点是线段上的一个动点，连结，在线段上取一点，使得．①当点从点运动到点时，求点运动的路径长；②点关于轴的对称点为点，连结，求的最小值．4．二次函数的图象过，两点，与y轴相交于点C．(1)求二次函数的解析式；(2)若点P是第四象限内抛物线上的一动点，当点P到直线的距离最大时，求点P的坐标．(3)当二次函数的自变量x满足时，函数的最大值为p，最小值为q，，求m的值．5．如图，函数的图象经过点两点，m，n分别是方程的两个实数根，且．(1)求m，n的值以及函数的解析式；(2)对于（1）中所求的函数；①当时，求函数y的最大值和最小值；②设函数y在内的最大值为p，最小值为q，若，求t的值．6．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，定义，两点之间的“直角距离”为．二次函数的图象如图所示．(1)点A为图象与y轴的交点，点在该二次函数的图象上，求的值．(2)点C是二次函数图象上的一点，记点C的横坐标为m．①求的最小值及对应的点C的坐标．②当时，的最大值为p，最小值为q，若，求t的值．7．如图，已知二次函数的图象经过点．(1)求a的值和图象的顶点坐标．(2)点在该二次函数图象上．①当时，求m的值．②当时，该二次函数有最小值11，请直接写出m的值．8．在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于点和点．（1）此二次函数的图象与y轴的交点的纵坐标为______．（2）求此二次函数的关系式．（3）当时，求二次函数的最大值和最小值．（4）点P为二次函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作轴，点Q的横坐标为．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．直接写出线段PQ与二次函数的图象只有1个公共点时m的取值范围．9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点为A、B，且当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，x＞﹣1时，y随x的增大而增大，其最小值为﹣，其图象与x轴的交点B的横坐标是1，过点B的直线l：y＝kx+分别与y轴及抛物线交于点C，D．（1）求直线l和抛物线的解析式；（2）过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，点P是直线DE上的一个动点，点D关于直线OP的对称点F恰好在y轴上，求直线OP的解析式．（3）将（1）中的二次函数图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象，将直线平移得到直线l，若直线l与该新图象恰好有三个公共点，请求出上下平移了几个单位长度．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C．（1）求直线BC的解析式；（2）求抛物线的顶点及对称轴；（3）若点Q是抛物线对称轴上的一动点，线段AQ+CQ是否存在最小值？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由；（4）若点P是直线BC上方抛物线上的一个动点，△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出点P的坐标及此时△PBC的面积；若不存在，说明理由．11．抛物线C：y＝ax2+bx+c（a≠0），过点A（﹣1，0）、B（5，0），并交y轴于点C（0，﹣）．（1）求抛物线C的表达式；（2）已知抛物线y＝ax2+bx+c上的任意一点到定点Q（2，﹣）的距离与到直线y＝﹣的距离相等，若点M为抛物线C上的一动点，P（3，4）为平面内一点，求MP+MQ的最小值，并求出此时点M的坐标．（3）在此抛物线对称轴上是否存在一点D，使以A、P、D三点构成的三角形为直角三角形？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．12．有一组邻边相等的凸四边形叫做“乐学四边形”，如菱形，正方形等都是“乐学四边形”，这一组相等的邻边叫做“善思线段”．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D．（1）当a＝﹣，b＝，c＝5，请判断四边形COBD是否为“乐学四边形”，如果是，请说明理由并指出“善思线段”，如果不是，请说明理由．（2）在第（1）问的条件下，试探究在第一象限内，抛物线上是否存在一点E使得S△ABE＝，若存在，请求出点E的横坐标，若不存在，请说明理由．（3）四边形COBD为“乐学四边形”，且CD＝OC．抛物线还满足：①a＜0，ab≠0，c＝2；②△ABD为等腰直角三角形；点P（x0，y0）是抛物线y＝ax2+bx+c上任意一点，且t＝y0﹣x0．若t≤m+恒成立，求m的最小值．13．如图，抛物线过点，，且与y轴交于点C，点E是抛物线对称轴与直线的交点(1)求抛物线的解析式；(2)求证：；(3)若点P是第四象限内抛物线上的一动点，设点P的横坐标为x，以点B、E、P为顶点的的面积为S，求S关于x的函数关系式，并求S的最大值．14．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点且经过点，已知点坐标为．点坐标为．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点为第四象限内抛物线上一个动点，连接、，，过点作交于点，连接．请求出面积的最大值以及此时点的坐标；(3)如图2，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，记与的交点为，点是直线与轴的交点，点为直线上一点，点为平面内一点，若以、、、为顶点的四边形是菱形且为菱形的边，请直接写出点的坐标并选择其中一个坐标写出求解过程．15．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式．(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)若是抛物线上的动点，且在轴的下方，过点作轴交直线于点，求线段的最大值．16．如图1，已知抛物线：交轴于两点，与轴交于点，抛物线：经过点，点是射线上一动点．(1)求抛物线和直线的函数表达式．(2)如图2，过点作交抛物线第一象限部分于点，作交于点，求面积的最大值及此时点的坐标．(3)抛物线与在第一象限内的图象记为“图象”，过点作轴交图象于点，是否存在这样的点，使相似？若存在，求出所有符合条件的点的横坐标．17．如图1，平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点（点在点的右边），交轴于点．点是线段上一个动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点E．(1)求，两点的坐标；(2)求线段的最大值；(3)如图2，是否存在以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图1，线的图象经过点，交轴于点、（A点在点左侧），顶点为．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，在直线上方的抛物线上，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的平行线交轴于点，求矩形的周长最大值；(3)抛物线的对称轴上是否存在点，使？若存在，请直接写出点的纵坐标；若不存在，请说明理由．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．(1)(2)(3)面积的最大值为2【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；（2）根据对称轴得出当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小，求出直线的解析式，求出抛物线的对称轴为直线，把代入求出点G的坐标即可；（3）连接，过点P作轴，交于点Q，根据点D是的中点，得出，当面积最大时，面积最大，设，则，用m表示出，求出其最大值，即可得出答案．【解析】（1）解：把代入抛物线得：，解得：，∴抛物线的函数表达式为；（2）解：∵点G是该抛物线对称轴上的动点，∴，∴，∴当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小，把代入得：，∴点C的坐标为：，设直线的解析式为：，把代入得：，解得：，∴直线的解析式为：，抛物线的对称轴为直线，把代入得：，∴点G的坐标为：；（3）解：连接，过点P作轴，交于点Q，如图所示：∵点D是的中点，∴，∴当面积最大时，面积最大，设，则，，，∴当时，面积取最大值4，∴面积的最大值为．【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，轴对称的性质，解题的关键是作出相应的辅助线，数形结合．2．(1)(2)点N的坐标为或或(3)最小值是【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）分3种情况根据菱形的性质求解即可；（3）连接，由对称性可知，由平行四边形的判定与性质可知，从而，可知当O，Q，D共线时的值最小，然后求出直线的解析式即可求解．【解析】（1）根据题意可得，，解得，∴抛物线的表达式为；（2）∵，∴，如图1，当四边形菱形时，则，∵，∴，∴，∴；如图2，当四边形菱形时，则，设，∴，∴．∵，∴，∴，解得，∴；如图3，当四边形菱形时，则，设，∵与对称轴垂直，∴点N在对称轴上，∴，∴，∴．综上可知，点N的坐标为或或；（3）如图4，连接，由对称性可知．∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∵是定值，∴最小时，也就是最小，∴当点O，Q，D共线时，的值最小．设的解析式为，把代入得，，∴，∴，当时，，∴最小值是．∵，∴，即的最小值为．∴最小值是．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，勾股定理，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，菱形的性质等知识，分类讨论是解（2）的关键，确定Q点的位置是解（3）的关键．3．(1)(2)①；②的最小值为【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解．（2）①在线段上取一点，使得．连接并延长交于点，证明得出则，证明，根据相似三角形的性质求得的长，即可求解；②如图所示，作点关于得到对称点，连接，交于点，设交于点，由，当三点共线时取得最小值，即点于与点重合时，取得最小值，根据轴对称的性质得出的坐标，勾股定理求得的值，进而即可求解．【解析】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于，两点，∴解得：∴抛物线的解析式为（2）解：∵，令，解得：，∴，∴,①如图所示，连接，在线段上取一点，使得．连接并延长交于点．∵，，∴，∴，∴∴∴,∵，∴,∴，即点运动的路径长为；②如图所示，作点关于得到对称点，连接，交于点，设交于点，由（1）可得，∴，∵∴当三点共线时取得最小值，即点于与点重合时，取得最小值，∵，∴是等腰直角三角形，∵，，∴∴是等腰直角三角形，连接，∵∴∴，则是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴的最小值为．【点评】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求解析式，相似三角形的性质与判定，轴对称的性质求线段和的最值问题，掌握以上知识是解题的关键．4．(1)(2)(3)或【分析】（1）利用待定系数法求解；（2）作于点Q，作于点N，交于点M，先求出直线的解析式为，设点，则点，，利用面积法可得，化为顶点式，即可求出取最大值时t的值，将t的值代入二次函数解析式即可求出点P的坐标；（3）分时，时，时，时四种情况，利用二次函数的增减性分别找出最大值、最小值，根据列方程，即可求解．【解析】（1）解：二次函数的图象过，两点，，解得，二次函数的解析式为；（2）解：如图所示，作于点Q，作于点N，交于点M，由（1）知二次函数的解析式为，令，得，点C的坐标为，设直线的解析式为，将，代入，得：，解得直线的解析式为．设点，则点，，，，，，，，，当时，取最大值，此时，，点P的坐标为；（3）解：二次函数图象的对称轴为，开口向上，分四种情况讨论：当时，y随x的增大而增大，则最大值，最小值，，解得，不满足，舍去；当时，y随x的增大而减小，则最大值，最小值，，解得，不满足，舍去；当时，最大值，最小值，，即解得或（舍）；当时，最大值，最小值，，即解得或（舍）；综上可知，m的值为或．【点评】本题属于二次函数与一次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质、求线段的最值、二次函数图象的增减性、解一元二次方程等，解题的关键是综合运用上述知识，第3问难度较大，注意分类讨论，避免漏解．5．(1)，，(2)①，；②或【分析】（1）首先解方程求得A、B两点的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；（2）①由抛物线y=x2+2x+3解析式，可得对称轴为x=1，根据增减性可知：x=1时，y有最大值，当x=3时，y有最小值；②分5种情况：当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的左侧；当t+1=1时；当函数y在t≤x≤t+1内的抛物线分别在对称轴的两侧，因为两点的横坐标的距离为1，所以距离x=1大于1的值要舍去；当t=1时，函数y在t≤x≤t+1内的抛物线完全在对称轴的右侧；分别根据增减性可解答．【解析】（1）解：，分别是方程的两个实数根，且，用因式分解法解方程：，，，，，，，把，代入得，，解得，函数解析式为．（2）解：①抛物线y=x2+2x+3的对称轴为x=1，顶点为D（1，4），在0≤x≤3范围内，当x=1时，y最大值=4；当x=3时，y最小值=0；②当函数在内的抛物线完全在对称轴的左侧，当时取得最小值，最大值，令，即，解得．当时，此时，，不合题意，舍去；当函数在内的抛物线分别在对称轴的两侧，此时，令，即，解得：（舍，（舍）；或者，即（不合题意，舍去），（舍；当时，此时，，不合题意，舍去；当函数在内的抛物线完全在对称轴的右侧，当时取得最大值，最小值，令，解得．综上所述，或．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的顶点公式，最值问题等知识，注意运用分类讨论的思想解决问题．6．(1)5(2)①（1，2）②或【分析】（1）分别求出A、B的坐标，然后根据直角距离的定义求解即可；（2）①先求出点C的坐标为（m，），则，由此求解即可；②分类讨论当时，当时，当时，三种情况分别求解即可．【解析】（1）解：∵点A是二次函数与y轴的交点，∴点A的坐标为（0，4），∵点B（-1，b）在二次函数的函数图象上，∴，∴点B的坐标为（-1，8），∴；（2）解：①令x=m，则，∴点C的坐标为（m，），∴，∵，，∴，∴当m=1时，有最小值，最小值为3，此时点C的坐标为（1，2）；②∵，∴当时，随m的增大而减小，当时，随m的增大而增大，把代入到中得，把代入到中得，，当时，解得，当时，的最小值，最大值∵，∴，解得或（舍去）；当时，的最小值，最大值∵，∴，解得或（舍去）；当时，的最小值，最大值∵，∴，解得（舍去）；综上所述，或．【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的性质．7．(1)，顶点坐标是(2)①或2；②m的值是2或－7【分析】（1）将点P的坐标代入二次函数解析式可得关于a的方程，再解方程即可得出a的值．将二次函数的解析式进行配方，即可得到图象的顶点坐标．（2）①将点Q的坐标代入二次函数解析式，求解方程即可得到m的值．②根据对称轴与给定范围之间的位置关系进行分类讨论，确定二次函数取得最小值时自变量的取值，再列方程求解即可．【解析】（1）解：∵二次函数的图象经过点，∴．解得a=2．∴二次函数的解析式为．∴图象的顶点坐标是．（2）解：①∵点在该二次函数图象上，且n=11，∴．解得，．∴m的值为-4或2．②当时，即时，对于给定范围，二次函数在x=-1时取得最小值2，不符合题意．当时，对于给定范围，二次函数在x=m时取得最小值，∴．解得（舍），．当时，即时，．对于给定范围，二次函数在x=m+3时取得最小值，∴．解得，（舍）．∴m的值为2或-7．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，解一元二次方程，二次函数的最值，解题的关键是能够正确应用分类讨论思想和数形结合思想求解．8．（1）2；（2）；（3）最大值为，最小值为-8；（4）或．【分析】（1）令x=0，则y=2，即可求得二次函数的图象与y轴的交点的纵坐标；（2）应用待定系数法即可求出抛物线解析式；（3）利用配方法求得抛物线的顶点坐标，即最大值，再利用离对称轴最远的点求得最小值，即可；（4）分类讨论，通过数形结合求解．【解析】解：（1）令x=0，则y=2，∴二次函数的图象与y轴的交点的纵坐标为2；故答案为：2；（2）将A（-3，0），B（1，0）代入得：，解得，∴二次函数的关系式为；（3）∵，∵抛物线开口向下，对称轴为直线．∴当时，y取最大值为，∵，∴当时，y取最小值；（4）PQ=，当时，PQ=-3m-4，PQ的长随m的增大而减少；当时，PQ=3m+4，PQ的长随m的增大而增大；∴满足题意，解得：m<-，①P到对称轴直线x=-1的距离为-1-m，当PQ<2(-1-m)时，线段PQ与二次函数y=ax2+bx+2(-3<x<)的图象只有1个公共点，如图：∴2(-1-m)，解得：m>-2，∴；②如图：当x=时，y=-x2-x+2=，在y=-x2-x+2中，令y=，得：-x2-x+2=，解得：x=或x=，∴当时，线段PQ与二次函数y=ax2+bx+2(-3<x<)的图象只有1个公共点，综上，线段PQ与二次函数y=ax2+bx+2(-3<x<)的图象只有1个公共点时，m的取值范围是或．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，将函数解析式配方，通过数形结合的方法求解．9．（1）；；（2）或；（3）0个单位或个单位；【分析】（1）根据题意得出二次函数的顶点坐标和点B的坐标，再根据待定系数法计算即可；（2）过作D的对称点，过作D的对称点，DE交y轴于点M，根据勾股定理求出，设，再根据勾股定理计算即可；同理设，根据已知条件计算即可；（3）根据已知条件求出新的抛物线解析式为，再根据直线l与抛物线的交点个数计算即可；【解析】（1）由题意得，顶点坐标为，，设抛物线的解析式为，把点B代入得：，∴，把点B代入y＝kx+中得，解得，∴；（2）过作D的对称点，过作D的对称点，DE交y轴于点M，联立方程组，得到，解得：，，∴，∴，∴，设，∴，，在中，，即，∴，∴，把代入中得，∴；设，则，，，在中，，即，解得：，∴，把代入中得，∴；（3）令，解得，，∴，，∵沿x轴折叠，∴新抛物线的解析式为，有4种情况，如下图：当l过点B时有3个交点，把代入中得；当l过点A时，与图象有2个交点，不符合题意；当l与抛物线上点Q相交时，与图像有1个交点，不符合题意；当l与新抛物线上半部分有一个交点时，与“W”形状的新图象有3个交点，∴，∴，令，解得：；∴向上平移0个单位或个单位时有3个交点；【点评】本题主要考查了二次函数综合，结合勾股定理计算是解题的关键．10．（1）；（2）顶点，对称轴为；（3）存在，；（4）存在，【分析】（1）分别令进而求得的坐标，待定系数法求解一次函数解析式即可；（2）将二次函数解析式根据配方法化为顶点式，进而求得顶点坐标和对称轴；（3）根据轴对称确定最短路线问题可知存在点，即与对称轴的交点坐标使的线段最小；（4）过点作轴交于点，求得的长，根据求得的面积，进而根据二次函数的性质求得取得最大值时的点的坐标．【解析】（1）令，则整理得解得令，则设直线的解析式为解得直线的解析式为（2）顶点，对称轴为；（3）由对称性可知，与对称轴的交点即为使得线段最小的点，时，存在点，使得线段最小（4）如图，过点作轴交于点，则当时，的面积最大为，此时存在点，使得的面积最大．【点评】本题考查了二次函数综合，二次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质，轴对称确定最短路线问题，二次函数最值问题，掌握以上知识是解题的关键．11．（1）y＝x2﹣x﹣；（2）最小值为；M（3，﹣2）；（3）存在，点D的坐标为（2，﹣3）或（2，2+）或（2，2﹣）或（2，5）【分析】（1）运用待定系数法将A，B，C的坐标代入y=ax2+bx+c，解方程组求出a，b，c即可；（2）作PH⊥直线y=-于点H，作MH′⊥直线y=-于点H′，根据抛物线y=ax2+bx+c上的任意一点到定点Q（2，-）的距离与到直线y=-的距离相等，可得：MQ=MH′，可得出MP+MQ=MP+MH′，当P，M，H′三点在同一条直线上且PM⊥直线y=-时，MP+MH′最小，即可求出答案；（3）先求出抛物线对称轴，再根据以A、P、D三点构成的三角形为直角三角形进行分类讨论即可．【解析】解：（1）∵抛物线C：y=ax2+bx+c（a≠0），过点A（-1，0）、B（5，0），并交y轴于点C（0，-），∴，解得：，∴抛物线C的表达式为：y=x2-x-；（2）如图1，作PH⊥直线y=-于点H，作MH′⊥直线y=-于点H′，∵抛物线y=ax2+bx+c上的任意一点到定点Q（2，-）的距离与到直线y=-的距离相等，∴MQ=MH′，∴MP+MQ=MP+MH′，当P，M，H′三点在同一条直线上，MP+MH′最小，∴M与M′重合时，MP+MQ最小，∵P（3，4），∴PH=4-（-）=，∴MP+MQ的最小值为；当x=3时，y=×32-3-=-2，∴M（3，-2）；（3）∵y=x2-x-=（x-2）2-；∴抛物线对称轴为x=2，设点坐称为（2，m），∵A（-1，0），P（3，4），D（2，m），∴AP=4，AD2=9+m2，PD2=1+（m-4）2，∵以A、P、D三点构成的三角形为直角三角形，∴分三种情况讨论：∠DAP=90°或∠ADP=90°或∠APD=90°，①当∠DAP=90°时，AP2+AD2=PD2，∴（4）2+9+m2=1+（m-4）2，解得：m=-3，∴D1（2，-3）；②当∠ADP=90°时，PD2+AD2=AP2，∴1+（m-4）2+9+m2=（4）2，解得：m1=2+，m2=2-，∴D2（2，2+）；D3（2，2-）；③当∠APD=90°时，PD2+AP2=AD2，∴1+（m-4）2+（4）2=9+m2，解得：m=5，∴D4（2，5）；综上所述，点D的坐标为（2，-3）或（2，2+）或（2，2-）或（2，5）．【点评】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，点到直线的距离，直角三角形性质，勾股定理等，熟练掌握二次函数图象和性质，勾股定理等相关知识，并灵活运用数形结合思想，分类讨论思想和方程思想是解题关键．12．（1）四边形COBD是“乐学四边形”，OC，CD是“善思线段”，理由见解析；（2）存在，点E的横坐标为4+4；（3）【分析】（1）先求得A（，0），B（，0），C（0，5），D（4，8），由勾股定理得CD＝5，运用新定义“乐学四边形”，“善思线段”即可得出答案．（2）过点E作EH⊥x轴于点H，连接AE，BE，利用，求出EH，令y＝2，得，解方程即可．（3）在抛物线y＝ax2+bx+2中，顶点D的坐标为（，），C（0，2），根据CD＝OC．可得（﹣0）2+（﹣2）2＝22①，根据△ABD为等腰直角三角形，可得②，联立①②，且ab＜0，解得a＝，b＝，得出抛物线解析式为，进而可得，运用二次函数性质可得：当x0＝时，t有最大值，再结合题意求解即可得出答案．【解析】（1）四边形COBD是“乐学四边形”，OC，CD是“善思线段”．理由如下：当a＝，b＝，c＝5时，，令y＝0，得，解得：x1＝，x2＝，令x＝0，得y＝5，∴A（，0），B（，0），C（0，5），∵，∴顶点D（4，8），∴OC＝5，∵CD＝∴OC＝CD，∴四边形COBD是“乐学四边形”，OC，CD是“善思线段”．（2）存在．点E的横坐标为．过点E作EH⊥x轴于点H，连接AE，BE，则，∵AB＝-＝，∴EH＝2，∵点E在第一象限内，∴点E的纵坐标为2，令y＝2，得，解得：x1＝，x2＝（舍去），∴点E的横坐标为．（3）在抛物线y＝ax2+bx+2中，顶点D的坐标为（，），C（0，2），∵CD＝OC．∴CD2＝OC2．∴（﹣0）2+（﹣2）2＝22①，∵△ABD为等腰直角三角形，过点D作DK⊥AB于点K，∴DK＝AB，在y＝ax2+bx+2中，令y＝0，得ax2+bx+2＝0，解得：x1＝，x2＝，∴A（，0），B（，0），∴AB＝﹣＝，∵DK＝，∴②，联立①②，且ab＜0，得a＝﹣，b＝，∴抛物线解析式为，∴，∴当x0＝﹣时，t有最大值，∵恒成立，∴，∴，∴＝，∴m的最小值为．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图像和性质，函数的思想求最值，新定义，等腰直角三角形性质，勾股定理等，解题关键是熟练掌握二次函数图像和性质，理解并运用新定义．13．(1)(2)见解析(3)；【分析】（1）将点A、B坐标代入列方程求出a、b即可得；（2）由、且，利用平行线分线段成比例定理可得；（3）利用待定系数法求得直线解析式，从而求得点E的坐标，作轴于点F，轴于点G，设点，根据的面积为列出函数解析式，配方成顶点式可得答案．【解析】（1）解：将点，代入，得：，解得：，则抛物线的解析式为；（2）解：∵，∴抛物线的对称轴为直线，则、，∵，∴，即；（3）解：∵点、，∴设直线解析式为，则，解得：，∴直线解析式为；当时，，∴，如图，作轴于点F，轴于点G，设点，则的面积为：，，∴当时，S取得最大值，最大值为．【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、平行线分线段成比例定义及割补法求三角形的面积．14．(1)(2)当时，面积的最大，最大值为；点的坐标为(3)或．【分析】（1）将点坐标为．点坐标为，代入抛物线解析式即可求解；（2）先求得直线的解析式为，直线的解析式为，设，由,直线的解析式为，设直线交轴于点，令，得出的坐标，然后得出，根据得到关于的二次函数，根据二次函数的性质求得最值以及的坐标即可求解；（3）根据题意得出是等腰直角三角形，，进而得出平移方式，进而求得点，根据勾股定理求得菱形的边长，通过平移的方式求得点的坐标即可求解．【解析】（1）解：∵，抛物线与x轴交于、两点，点坐标为．点坐标为∴，解得：，∴抛物线解析式为；（2）解：设过点，的直线解析式为，则解得：∴直线的解析式为，由抛物线，令，即，解得：，∴,∵直线，设直线的解析式为，将点代入得，解得：，∴直线的解析式为，设，由,设直线的解析式为，则解得：∴直线的解析式为，设直线交轴于点，令，解得：∴∵交于点，由解得：，∴∴当时，面积的最大，最大值为；此时点的坐标为（3）解：依题意，抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，∵直线的解析式为，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴抛物线向右平移一个单位，向上平移1个单位得到新抛物线：∵，则新抛物线的解析式为，∴，解得：，即，，∵以、、、为顶点的四边形是菱形且为菱形的边，∴，如图，过点分别引坐标轴的垂线，交于点，则，在中，，∴，∴点先向上平移个单位，然后向右平移个单位，∴点的坐标为，当点在点左侧时，，综上所述，点的坐标为或．【点评】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，特殊四边形问题，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．15．(1)(2)存在，(3)【分析】（1）利用待定系数法直接求出直线和抛物线解析式；（2）先判断出点的位置，即可得出坐标；（3）利用平行于轴的直线上的两点之间的距离确定出函数函数关系式即可确定出最大值．【解析】（1）解：抛物线的图象与轴的一个交点为，与轴交于点，，，抛物线的解析式为；（2）如图，点，是抛物线与轴的交点，点，关于抛物线的对称轴对称，抛物线的对称轴上的点，使得的周长最小，点就是抛物线的对称轴与直线的交点，设直线的解析式为，，，，直线的解析式为；当时，，；（3）如上图，抛物线的解析式为；，，设点，，，，当时，最大是．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，函数极值的确定，解（1）的关键是掌握待定系数法确定函数解析式，解（2）的关键是利用对称点确定三角形周长最小时的点的位置，解（3）的关键是确定出的函数关系式．16．(1)抛物线的解析式为：；直线的函数解析式为：(2)的面积最大值为：；(3)或者或者或者【分析】（1）由求出，，再用待定系数法可求得抛物线的解析式为：，直线的函数解析式为：（2）过作轴交于，由是等腰直角三角形，知面积最大时最大，此时最大，即可得出由二次函数的性质可出答案．（3）由（2）可知是等腰三角形，当与相似时，再根据等腰直角三角形的性质分两种情况即可得到点的坐标．【解析】（1）解：∵抛物线：交轴于两点∴得到方程：∴解得：∴，∴将，代入抛物线：∴可得方程为：∴解得：∴抛物线的解析式为：∵抛物线：与轴的交点∴∵设直线的函数解析式为：∴可得方程：∴∴直线的函数解析式为：（2）∵，∴是等腰直角三角形∴∵∴∴是等腰直角三角形∴的面积最大时最大∵轴∴∴是等腰直角三角形∴最大时，最大∴最大时，面积最大∴设，则∴∴当时，最大为∴∴∴的面积最大值为：（3）解：存在点，使与相似时，为等腰直角三角形∵轴∴∴当时如图此时与纵坐标相等∴在中∵∴可得方程：∴或∴∴的横坐标为∵在∴可得方程：∴解方程可得：，(舍去)∴∴的横坐标；当时，如图：设，则∵∴，∵是等腰直角三角形∴∴解得(舍去)或或(此