高中数学选修2-1全套学案

1．1命题及其关系1．1.1命题1.理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题．2.能判断命题的真假．3．能把命题改写成“若p，则q”的形式．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)并非任何语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题．()(2)一个命题不是真命题就是假命题．()(3)有的命题只有结论没有条件．()答案：(1)√(2)√(3)×2．下列语句中，命题的个数是()①空集是任何集合的真子集；②请起立！③单位向量的模为1；④你是高二的学生吗？A．0 B．1C．2 D．3解析：选C.①③是命题．3．下列命题是真命题的是()A．所有素数都是奇数B．若a>b，则a－6>b－6成立C．对任意的x∈N，都有x3>x2成立D．方程x2＋x＋1＝0有实根答案：B4．命题“等腰三角形的两个底角相等”的条件为________，结论为________．答案：一个三角形为等腰三角形这个三角形的两个底角相等命题的判断判断下列语句是否是命题，并说明理由．(1)eq\f(π,3)是有理数；(2)若a与b是无理数，则ab是无理数；(3)3x2≤5；(4)梯形是不是平面图形呢？(5)x2－x＋7＞0；(6)8≥10.【解】(1)是陈述句，并且它是假的，所以是命题．(2)是陈述句，并且它是假的，所以是命题．(3)无法判断真假，所以不是命题．(4)是疑问句，所以不是命题．(5)因为x2－x＋7＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(27,4)＞0，所以是真的，所以是命题．(6)是假的，所以是命题．eq\a\vs4\al()判断语句是否是命题的策略(1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．(2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题．下列语句：①3＞2；②π是有理数吗？③sin30°＝eq\f(1,2)；④x2－1＝0有一个根是－1；⑤x＞2.其中是命题的是()A．①②③ B．①③④C．③ D．②⑤解析：选B.②是一般疑问句，故不是命题；⑤无法判断其真假，故不是命题；①③④都能判断其真假，都是命题．故选B.命题真假的判断判断下列命题的真假．(1)若a>b，则a2>b2；(2)x＝1是方程(x－2)(x－1)＝0的根；(3)若a、b都是奇数，则ab必是奇数；(4)直线y＝x与圆(x－1)2＋y2＝1相切．【解】(1)为假命题，如a＝1，b＝－2时，有a>b，但a2<b2.(2)为真命题，由方程的根的定义，将x＝1代入方程，即可作出判断．(3)为真命题，令a＝2k1＋1，b＝2k2＋1(k1，k2∈Z)，则ab＝2(2k1k2＋k1＋k2)＋1，显然2k1k2＋k1＋k2是一个整数，故ab是奇数．(4)为假命题，圆心到直线的距离d＝eq\f(\r(2),2)小于圆的半径1，直线与圆相交．[变条件]若将本例(3)中“ab”改为“a＋b”，则结果如何？解：取a＝3，b＝7，则a＋b＝10为偶数，故命题错误，为假命题．eq\a\vs4\al()③若a＞b，则a＋c＞b＋c；④矩形的对角线互相垂直．A．1 B．2C．3 D．4解析：选A.①错；②中x＝3，y＝0，则xy＝0，但|x|＋|y|≠0，故②错；③正确；④中矩形的对角线相等不一定互相垂直．4．下列命题正确的是()A．若a>b，则ac2>bc2B．若a>－b，则－a>bC．若ac>bc，则a>bD．若a>b，则a－c>b－c解析：选D.当c＝0时选项A不正确；a>－b时，－a<b，选项B不正确；当c<0时，选项C不正确；由不等式的性质知选项D正确，故选D.5．给出命题：方程x2＋ax＋1＝0没有实数根，则使该命题为真命题的a的一个值可以是()A．4 B．2C．0 D．－3解析：选C.方程无实数根时，应满足Δ＝a2－4<0，故当a＝0时符合条件．6．把命题“末位数字是4的整数一定能被2整除”改写成“若p，则q”的形式为________________________________________________________________________．答案：若一个整数的末位数字是4，则它一定能被2整除7．给出下列命题：①在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB；②函数y＝x3在R上既是奇函数又是增函数；③函数y＝f(x)的图象与直线x＝a至多有一个交点；④若将函数y＝sin2x的图象向左平移eq\f(π,4)个单位，则得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的图象．其中真命题的序号是________．解析：①A＞B⇒a＞b⇒sinA＞sinB.②③易知正确．④将函数y＝sin2x的图象向左平移eq\f(π,4)个单位，得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))的图象．答案：①②③8．给出下列命题：①若直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，则l⊥m；②若a，b都是正实数，则a＋b≥2eq\r(ab)；③若x2＞x，则x＞1；④函数y＝x3是指数函数．其中假命题的序号为________．解析：①显然错误，所以①是假命题；由基本不等式，知②是真命题；③中，由x2＞x，得x＜0或x＞1，所以③是假命题；④中函数y＝x3是幂函数，不是指数函数，④是假命题．答案：①③④9．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．(1)等腰三角形底边上的中线垂直于底边并且平分顶角；(2)二次函数的图象关于y轴对称．解：(1)若一个三角形是等腰三角形，则其底边上的中线垂直于底边且平分顶角．或：若一条线段是一个等腰三角形的底边上的中线，则这条线段垂直于底边且平分顶角，真命题．(2)若一个函数是二次函数，则它的图象关于y轴对称，假命题．10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)已知x，y∈N*，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2.(2)当m＞eq\f(1,4)时，mx2－x＋1＝0无实根．(3)当x2－2x－3＝0时，x＝3或x＝－1.解：(1)已知x，y∈N*，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2，是假命题．(2)若m＞eq\f(1,4)，则mx2－x＋1＝0无实根，是真命题．(3)若x2－2x－3＝0，则x＝3或x＝－1，是真命题．[B能力提升]11．对于任意实数a，b，c，d，有下列命题：①若a＞b，c≠0，则ac＞bc；②若ac2＞bc2，则a＞b；③若a＞b，则eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)；④若a＞b＞0，c＞d，则ac＞bd.其中真命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选A.当c＜0时，①错误；ac2＞bc2，显然c2＞0，因此②正确；当a＞0＞b时，③错误；当a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2时，显然④错误，故选A.12．给出四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行；②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线均垂直，那么这条直线垂直于这个平面；③如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线相互平行；④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直．其中真命题的个数是()A．4 B．3C．2 D．1解析：选B.①②正确；③中这两条直线的关系不确定，可以平行、相交、异面，所以不正确；④正确，故选B.13．判断“函数f(x)＝2x－x2有三个零点”是否为命题．若是命题，是真命题还是假命题？说明理由．解：这是一个可以判断真假的陈述句，所以是命题，且是真命题，理由如下：函数f(x)＝2x－x2的零点即方程2x－x2＝0的实数根，也就是方程2x＝x2的实数根，即函数y＝2x，y＝x2的图象的交点的横坐标，易知指数函数y＝2x的图象与抛物线y＝x2有三个交点，所以函数f(x)＝2x－x2有三个零点．14．(选做题)(1)已知“方程ax2＋bx＋1＝0有解”是真命题，求a，b满足的条件；(2)已知命题“若x1<x2<0，则eq\f(a,x1)>eq\f(a,x2)”是假命题，求a满足的条件．解：(1)因为ax2＋bx＋1＝0有解．所以当a＝0时，bx＋1＝0有解，只有b≠0时，方程有解x＝－eq\f(1,b).当a≠0时，方程为一元二次方程，有解的条件为Δ＝b2－4a≥0.综上，当a＝0，b≠0或a≠0，b2－4a≥0时，方程ax2＋bx＋1＝0有解．(2)因为命题当x1<x2<0时，eq\f(a,x1)>eq\f(a,x2)为假命题，所以应有当x1<x2<0时，eq\f(a,x1)≤eq\f(a,x2)，即eq\f(a（x2－x1）,x1x2)≤0.因为x1<x2<0，所以x2－x1>0，x1x2>0，所以a≤0.1．1.2四种命题1．1.3四种命题间的相互关系1.了解命题的原命题、逆命题、否命题与逆否命题．2．理解四种命题之间的关系，会利用互为逆否命题的等价关系判断命题的真假．,1．四种命题(1)原命题与逆命题(2)原命题与否命题(3)原命题与逆否命题2．四种命题之间的相互关系3．四种命题的真假性(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假(2)四种命题的真假性之间的关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题．()(2)两个互逆命题的真假性相同．()(3)对于一个命题的四种命题，可以一个真命题也没有．()答案：(1)√(2)×(3)√2．“若x2＝1，则x＝1”的否命题为()A．若x2≠1，则x＝1B．若x2＝1，则x≠1C．若x2≠1，则x≠1D．若x≠1，则x2≠1答案：C3．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是()A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”答案：B4．已知命题：“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选B.由题意可判断原命题为真命题，故逆否命题也为真命题，其逆命题为“若xy≥0，则x≥0，y≥0”，为假命题，所以否命题也为假命题，故四个命题中，真命题的个数为2.5．命题“若a＞1，则a＞0”的逆命题是________________________________________________________________________，逆否命题是________________．答案：若a＞0，则a＞1若a≤0，则a≤1写原命题的其他三种命题把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题．(1)全等三角形的对应边相等；(2)当x＝2时，x2－3x＋2＝0.【解】(1)原命题：若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等；逆命题：若两个三角形三边对应相等，则这两个三角形全等；否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形三边对应不相等；逆否命题：若两个三角形三边对应不相等，则这两个三角形不全等．(2)原命题：若x＝2，则x2－3x＋2＝0；逆命题：若x2－3x＋2＝0，则x＝2；否命题：若x≠2，则x2－3x＋2≠0；逆否命题：若x2－3x＋2≠0，则x≠2.eq\a\vs4\al()写出一个命题的其他三种命题的步骤(1)分析命题的条件和结论；(2)将命题写成“若p，则q”的形式；(3)根据逆命题、否命题、逆否命题各自的结构形式写出这三种命题．[注意]如果原命题含有大前提，在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．写出命题“正数的平方根不等于0”的逆命题、否命题和逆否命题．解：逆命题：若一个数的平方根不等于0，则这个数是正数；否命题：若一个数不是正数，则这个数的平方根等于0；逆否命题：若一个数的平方根等于0，则这个数不是正数．四种命题的关系及真假判断给出下列命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题．其中是真命题的是________．【解析】①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题是“若a＞b，则ac2＞bc2”，是假命题，所以真命题是①②③.【答案】①②③eq\a\vs4\al()(1)四种命题关系判断的两个要领①在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件和结论，再比较每个命题的条件和结论之间的关系．②原命题与逆否命题互为逆否命题，逆命题与否命题也互为逆否命题．(2)判断四种命题真假的方法①要正确理解四种命题间的相互关系．②正确利用相关知识进行判断推理．③若由“p经逻辑推理得出q”，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明．1.原命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是()A．0个 B．1个C．2个 D．3个解析：选C.因为原命题为真命题，所以其逆否命题也是真命题；其逆命题为：若函数y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数，显然为假．故其否命题也为假．2．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．(1)相等的两个角的正弦值相等；(2)若x2－2x－3＝0，则x＝3.解：(1)逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等．假命题；否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等．假命题；逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等．真命题．(2)逆命题：若x＝3，则x2－2x－3＝0.真命题；否命题：若x2－2x－3≠0，则x≠3.真命题；逆否命题：若x≠3，则x2－2x－3≠0.假命题．等价命题的应用判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a＜2”的真假．【解】原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a≥2，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集”．判断真假如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，因为a≥2，所以4a－7＞0，即抛物线与x轴有交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真，从而原命题为真．eq\a\vs4\al()等价命题的应用原则(1)在证明某一个命题的真假性有困难时，可以证明它的逆否命题为真(假)命题，来间接地证明原命题为真(假)命题．(2)四种命题中，原命题与其逆否命题是等价的，有相同的真假性，否命题与其逆命题也是互为逆否命题，解题时不要忽视．证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.证明：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)”．若a＋b<0，则a<－b，b<－a.又因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)<f(－b)，f(b)<f(－a)，所以f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)．即原命题的逆否命题为真命题．所以原命题为真命题．1．对四种命题相互关系的三点认识(1)四种命题中原命题具有相对性，任意确定一个为原命题，其逆命题、否命题、逆否命题就确定了，所以“互逆”“互否”“互为逆否”具有对称性．(2)在原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题中，有两对互逆命题，两对互否命题，两对互为逆否命题，它们分别为：①两对互逆命题：原命题与逆命题，否命题与逆否命题．②两对互否命题：原命题与否命题，逆命题与逆否命题．③两对互为逆否命题：原命题与逆否命题，逆命题与否命题．(3)由于原命题与其逆否命题的真假性相同，所以原命题与其逆否命题是等价命题，因此当直接证明或判断原命题困难时，可以转化成证明其逆否命题．2．应用四种命题的关系应注意的两点(1)当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提始终不变．(2)对于有多个并列条件组成的命题，在写其他三种命题时，应把其中一个(或几个)作为大前提．1．已知a，b∈R，命题“若a＋b＝1，则a2＋b2≥eq\f(1,2)”的否命题是()A．若a2＋b2＜eq\f(1,2)，则a＋b≠1B．若a＋b＝1，则a2＋b2＜eq\f(1,2)C．若a＋b≠1，则a2＋b2＜eq\f(1,2)D．若a2＋b2≥eq\f(1,2)，则a＋b＝1解析：选C.将原命题的条件与结论同时否定，得否命题为“若a＋b≠1，则a2＋b2＜eq\f(1,2)”．故选C.2．命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1或x＜－1，则x2＞1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1解析：选D.原命题的条件是“若x2＜1”，结论为“－1＜x＜1”，则其逆否命题是：若x≥1或x≤－1，则x2≥1.故选D.3．下列命题中为真命题的是()A．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题B．命题“x＞1，则x2＞1”的否命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若x2＞0，则x＞1”的逆否命题解析：选A.命题：“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”是真命题．故选A.4．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②若一个四边形对角互补，则它内接于圆；③正方形的四条边相等；④圆内接四边形对角互补；⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．解析：命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断．答案：②和④，③和⑥①和⑥，②和⑤①和③，④和⑤,[A基础达标]1．对于原命题“正弦函数不是分段函数”，下列说法正确的是()A．否命题是“正弦函数是分段函数”B．逆否命题是“分段函数不是正弦函数”C．逆否命题是“分段函数是正弦函数”D．以上都不正确解析：选B.否命题为“不是正弦函数的函数是分段函数”，所以A错误；B正确．C不正确，故选B.2．“x，y∈R，若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题是()A．若x，y∈R且x2＋y2≠0，则x，y全不为0B．若x，y∈R且x2＋y2≠0，则x，y不全为0C．若x，y∈R且x，y全为0，则x2＋y2＝0D．若x，y∈R且xy≠0，则x2＋y2≠0解析：选B.“x，y∈R，若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题是“若x，y∈R且x2＋y2≠0，则x，y不全为0”．故选B.3．(2017·宝鸡高二检测)有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．其中真命题为()A．①② B．②③C．①③ D．③④解析：选C.①逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真命题；②否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，假命题；③当q≤1时，Δ＝4－4q≥0，所以原命题是真命题，其逆否命题也是真命题；④的逆命题为“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假命题．故选C.4．命题“已知a，b为实数，若eq\r(a)>eq\r(b)，则a>b”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．4解析：选C.互为逆否的命题同真同假，原命题是真命题，故其逆否命题也为真，逆命题为“已知a，b为实数，若a>b，则eq\r(a)>eq\r(b)”，这个命题是假命题，故否命题也为假，从而有2个是真命题．5．若命题A的否命题为B，命题A的逆否命题为C，则B与C的关系是()A．互逆命题 B．互否命题C．互为逆否命题 D．以上都不正确解析：选A.交换否命题的条件与结论就是逆否命题，符合互逆命题的定义．6．(2017·泉州高二检测)设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是______________.解析：根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．答案：若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤07．在命题“若数列{an}是等比数列，则an≠0”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．解析：原命题为真命题，故其逆否命题为真命题，它的逆命题与否命题均为假命题．答案：28．给定下列命题：①若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若x＋y≠8，则x≠2或y≠6；③“矩形的对角线相等”的逆命题；④“若xy＝0，则x，y中至少有一个为零”的否命题．其中真命题的序号是________．解析：①中，当k＞0时，Δ＝22＋4k＝4＋4k＞0，故方程有实根，为真命题；②中，其逆否命题为“若x＝2且y＝6，则x＋y＝8”为真，故原命题亦真；③中，其逆命题为“若一个四边形的对角线相等，则这个四边形为矩形”为假命题；④中，否命题为“若xy≠0，则x，y全不为零”为真命题，故为真命题的序号是①②④.答案：①②④9．写出命题“已知a，b∈R，若a2＞b2，则a＞b”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．解：逆命题：已知a，b∈R，若a＞b，则a2＞b2；否命题：已知a，b∈R，若a2≤b2，则a≤b；逆否命题：已知a，b∈R，若a≤b，则a2≤b2.因为原命题是假命题，所以逆否命题也是假命题．因为逆命题是假命题，所以否命题也是假命题．10．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c＞0无解”．(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假．解：(1)命题p的否命题为：“若ac＜0，则二次不等式ax2＋bx＋c＞0有解”．(2)命题p的否命题是真命题．判断如下：因为ac＜0，所以－ac＞0⇒Δ＝b2－4ac＞0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根⇒ax2＋bx＋c＞0有解，所以该命题是真命题．[B能力提升]11．原命题为“若eq\f(an＋an＋1,2)＜an，n∈N*，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，真，真 B．假，假，真C．真，真，假 D．假，假，假解析：选A.eq\f(an＋an＋1,2)＜an⇔an＋1＜an⇔{an}为递减数列．原命题与其逆命题都是真命题，所以其逆否命题和否命题也都是真命题，故选A.12．已知命题“若m－1＜x＜m＋1，则1＜x＜2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________．解析：由已知得，若1＜x＜2成立，则m－1＜x＜m＋1也成立．所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－1≤1，,m＋1≥2，))所以1≤m≤2.答案：[1，2]13．同住一房间的四名女生，她们在某天下午课外活动时间中，有一人在看书，有一人在梳头发，有一人在听音乐，另外一人在修剪指甲．有以下五个命题：(1)A不在修剪指甲，也不在看书；(2)B不在听音乐，也不在修剪指甲；(3)若C在修剪指甲，则A在听音乐；(4)D既不在看书，也不在修剪指甲；(5)C不在看书，也不在听音乐．若上面的都是真命题，则她们各自在干什么？解：由于以上五个命题都是真命题，所以我们可以列表如下；修剪指甲A不在做B不在做D不在做看书A不在做D不在做C不在做梳头发听音乐B不在做C不在做由表格看出：C在修剪指甲，B在看书．又由命题(3)：若C在修剪指甲，则A在听音乐，可知A在听音乐，最后我们确定出D在梳头发．14．(选做题)证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.证明：“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．因为a＝2b＋1，所以a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.所以命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确．1．2充分条件与必要条件1．2.1充分条件与必要条件1．2.2充要条件1.理解充分条件、必要条件与充要条件的意义．2.结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法．3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明．,1．充分条件与必要条件2.充要条件1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．()(3)q不是p的必要条件时，“peq\o(⇒,\s\up0(/))q”成立．()答案：(1)√(2)√(3)√2．“θ＝0”是“sinθ＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既是充分条件，也是必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A3．已知sinα＜0，则“tanα＞0”是“α为第三象限角”的()A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：C4．“log3M＞log3N”是“M＞N”成立的________条件．答案：充分不必要充分、必要、充要条件的判断判断下列各题中p是q的什么条件？(1)p：α＝eq\f(π,3)，q：cosα＝eq\f(1,2)；(2)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；(3)在△ABC中，p：a>b，q：sinA>sinB；(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．【解】(1)因为α＝eq\f(π,3)⇒cosα＝eq\f(1,2)，cosα＝eq\f(1,2)eq\o(⇒,\s\up0(/))α＝eq\f(π,3)，所以p是q的充分不必要条件．(2)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以推出(a－2)(a－3)＝0，因此p是q的必要不充分条件．(3)因为由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，知a>b⇒sinA>sinB，sinA>sinB⇒a>b，所以p是q的充要条件．(4)因为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(四边形的对角线相等eq\o(⇒,\s\up0(/))四边形是平行四边形，,四边形是平行四边形eq\o(⇒,\s\up0(/))四边形的对角线相等，))所以p是q的既不充分也不必要条件．eq\a\vs4\al()充分、必要、充要条件的判断方法(1)定义法若p⇒q，qeq\o(⇒,\s\up0(/))p，则p是q的充分不必要条件；若peq\o(⇒,\s\up0(/))q，q⇒p，则p是q的必要不充分条件；若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件；若peq\o(⇒,\s\up0(/))q，qeq\o(⇒,\s\up0(/))p，则p是q的既不充分也不必要条件．(2)集合法对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下：若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件；若AB，则p是q的必要不充分条件．(3)等价法等价转化法就是在判断含有与“否”有关命题条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．指出下列各题中，p是q的什么条件(充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件)．(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；(2)p：x2＞1，q：x＞1；(3)p：△ABC有三个内角相等，q：△ABC是正三角形；(4)p：|a·b|＝a·b，q：a·b＞0.解：(1)因为p⇒q，qeq\o(⇒,\s\up0(/))p，所以p是q的充分不必要条件．(2)因为peq\o(⇒,\s\up0(/))q，q⇒p，所以p是q的必要不充分条件．(3)因为p⇒q，q⇒p，即p⇔q，所以p是q的充要条件．(4)因为a·b＝0时，|a·b|＝a·b，所以“|a·b|＝a·b”eq\o(⇒,\s\up0(/))“a·b＞0”，即peq\o(⇒,\s\up0(/))q.而当a·b＞0时，有|a·b|＝a·b，即q⇒p.所以p是q的必要不充分条件．充分条件、必要条件、充要条件的应用已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【解】p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件，即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}，故有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≥－2,1＋m＜10))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m＞－2,1＋m≤10))，解得m≤3.又m＞0，所以实数m的取值范围为{m|0＜m≤3}．1．[变条件]若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．因为p是q的充分不必要条件，设p代表的集合为A，q代表的集合为B，所以AB.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2,1＋m＞10))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－m＜－2，,1＋m≥10.))解不等式组得m＞9或m≥9，所以m≥9，即实数m的取值范围是m≥9.2．[变问法]本例中p、q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．若p是q的充要条件，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2＝1－m,10＝1＋m))，m不存在．故不存在实数m，使得p是q的充要条件．eq\a\vs4\al()由条件关系求参数的取值(范围)的步骤(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系；(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解．1.已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(x－3)＜0，若q是p的充分条件，则a的取值范围为________．解析：化简p：a－4＜x＜a＋4，q：2＜x＜3，由于q是p的充分条件，故有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－4≤2，,a＋4≥3，))解得：－1≤a≤6.答案：[－1，6]2．若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值为________．解析：因为x2＞1，所以x＜－1或x＞1.又因为“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件．所以x＜a⇒x2＞1但x2＞1eq\o(⇒,\s\up0(/))x＜a.如图所示：所以a≤－1，所以a的最大值为－1.答案：－1充要条件的证明求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.【证明】充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根)因为ac<0，所以一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，所以方程一定有两不等实根．设两根为x1，x2，则x1x2＝eq\f(c,a)<0，所以方程的两根异号．即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac<0)因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝eq\f(c,a)<0，即ac<0.综上可知：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.eq\a\vs4\al()充要条件的证明策略(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.证明：必要性：因为方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，即a＋b＋c＝0.充分性：因为a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b.代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1.所以关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.1．充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明分充分性和必要性的证明．在证明时要注意两种叙述方式的区别：①p是q的充要条件，则由p⇒q证的是充分性，由q⇒p证的是必要性；②p的充要条件是q，则由p⇒q证的是必要性，由q⇒p证的是充分性．(2)探求充要条件，也可先证出必要性，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件．2．充分条件、必要条件、充要条件的传递性(1)若p是q的充分条件，q是s的充分条件，即p⇒q，q⇒s，则有p⇒s，即p是s的充分条件；(2)若p是q的必要条件，q是s的必要条件，即q⇒p，s⇒q，则有s⇒p，即p是s的必要条件．(3)若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件．1．(2016·高考四川卷)设p：实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：实数x，y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≥x－1，,y≥1－x，,y≤1，))则p是q的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.取x＝y＝0满足条件p，但不满足条件q，反之，对于任意的x，y满足条件q，显然必满足条件p，所以p是q的必要不充分条件，故选A.2．(2016·高考山东卷)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b.又a⊂α，b⊂β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．3．设集合M＝{x|x＞2}，N＝{x|x＜3}，那么“x∈M或x∈N”是“x∈M∩N”的()A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.x∈M或x∈N即x∈M∪N，因为(M∩N)⊆(M∪N)，所以“x∈M或x∈N”是“x∈M∩N”的必要不充分条件．4．(2016·高考北京卷)设a，b是向量．则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选D.取a＝－b≠0，则|a|＝|b|≠0，|a＋b|＝|0|＝0，|a－b|＝|2a|≠0，所以|a＋b|≠|a－b|，故由|a|＝|b|推不出|a＋b|＝|a－b|.由|a＋b|＝|a－b|，得|a＋b|2＝|a－b|2，整理得a·b＝0，所以a⊥b，不一定能得出|a|＝|b|，故由|a＋b|＝|a－b|推不出|a|＝|b|.故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．5．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是()A．m＝－2 B．m＝2C．m＝－1 D．m＝1解析：选A.当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.,[A基础达标]1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.因为A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，若a＝3，则A＝{1，3}，所以A⊆B，所以a＝3⇒A⊆B；若A⊆B，则a＝2或a＝3，所以A⊆Beq\o(⇒,\s\up0(/))a＝3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．2．设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A.因为q：2x＞1⇔x＞0，所以q：x＞0，p：1＜x＜2.又(1，2)(0，＋∞)，所以p是q的充分不必要条件．3．设a、b都是非零向量．下列四个条件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分条件是()A．a＝－b B．a∥bC．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|解析：选C.对于A，当a＝－b时，eq\f(a,|a|)≠eq\f(b,|b|)；对于B，当a∥b时，eq\f(a,|a|)与eq\f(b,|b|)可能不相等；对于C，当a＝2b时，eq\f(a,|a|)＝eq\f(2b,|2b|)＝eq\f(b,|b|)；对于D，当a∥b且|a|＝|b|时，可能有a＝－b，此时eq\f(a,|a|)≠eq\f(b,|b|).综上所述，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分条件是a＝2b.4．x2＜4的必要不充分条件是()A．－2≤x≤2B．－2＜x＜0C．0＜x≤2D．1＜x＜3解析：选A.x2＜4即－2＜x＜2，因为－2＜x＜2能推出－2≤x≤2，而－2≤x≤2不能推出－2＜x＜2，所以x2＜4的必要不充分条件是－2≤x≤2.5．(2017·成都高二检测)下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要条件是()A．a≥b＋1 B．a＞b－1C．a2＞b2 D．a3＞b3解析：选A.由a≥b＋1＞b，从而a≥b＋1⇒a＞b；反之，如a＝4，b＝3.5，则4＞3.5eq\o(⇒,\s\up0(/))4≥3.5＋1，故a＞beq\o(⇒,\s\up0(/))a≥b＋1，故A正确．6．“函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[1，＋∞)上是增函数”是“a<2”的________条件．解析：因为函数f(x)＝x2－2ax＋3的图象开口向上，对称轴为x＝a，所以当f(x)在[1，＋∞)上为增函数时，a≤1，而a≤1⇒a<2，a<2eq\o(⇒,\s\up0(/))a≤1，所以是充分不必要条件．答案：充分不必要7．下列说法正确的是________．(填序号)①“x＞0”是“x＞1”的必要条件；②已知向量m，n，则“m∥n”是“m＝n”的充分条件；③“a3＞b3”是“a＞b”的必要而不充分条件；④在△ABC中，“a＞b”不是“A＞B”的充分条件．解析：①中，当x＞1时，有x>0，所以①正确；②中，当m∥n时，m＝n不一定成立，所以②不正确；③中，当a＞b时，a3＞b3一定成立，但a3＞b3也一定能推出a＞b，即“a3＞b3”是“a＞b”的充要条件，所以③不正确；④中，当a＞b时，有A＞B，所以“a＞b”是“A＞B”的充分条件，所以④不正确．答案：①8．设p：eq\f(1,2)≤x≤1；q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．解析：因为q：a≤x≤a＋1，p是q的充分不必要条件，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＜\f(1,2)，,a＋1≥1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤\f(1,2)，,a＋1＞1，))解得0≤a≤eq\f(1,2).答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))eq\a\vs4\al(9.)下列各题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？(1)p：c＝0，q：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过原点；(2)p：x＞1且y＞1，q：x＋y＞2且xy＞1；(3)p：0＜x＜3，q：|x－1|＜2.解：(1)c＝0⇒抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过原点；抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过原点⇒c＝0.故p是q的充要条件，q是p的充要条件．(2)x＞1且y＞1⇒x＋y＞2且xy＞1；而x＋y＞2且xy＞1eq\o(⇒,\s\up0(/))x＞1且y＞1.故p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．(3)0＜x＜3⇒|x－1|＜2，|x－1|＜2⇒－1＜x＜3eq\o(⇒,\s\up0(/))0＜x＜3.故p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．10．已知p：x2－2x－3<0，若－a<x－1<a是p的一个必要条件但不是充分条件，求使a>b恒成立的实数b的取值范围．解：由于p：x2－2x－3<0⇔－1<x<3，－a<x－1<a⇔1－a<x<1＋a(a>0)．依题意，得{x|－1<x<3}{x|1－a<x<1＋a}(a>0)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－a≤－1，,1＋a≥3，,2a>4，))解得a>2，则使a>b恒成立的实数b的取值范围是b≤2，即(－∞，2]．[B能力提升]11．对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，下列结论正确的是()①Δ＝b2－4ac≥0是函数f(x)有零点的充要条件；②Δ＝b2－4ac＝0是函数f(x)有零点的充分条件；③Δ＝b2－4ac＞0是函数f(x)有零点的必要条件；④Δ＝b2－4ac＜0是函数f(x)没有零点的充要条件．A．①④ B．①②③C．①②③④ D．①②④解析：选D.①Δ＝b2－4ac≥0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根⇔f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点，故①正确．②若Δ＝b2－4ac＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，因此函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点，故②正确．③函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，未必有Δ＝b2－4ac＞0，也可能有Δ＝0，故③错误．④Δ＝b2－4ac＜0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根⇔函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)无零点，故④正确．12．下列各题中，p是q的充要条件的是________．(填序号)①p：m＜－2或m＞6，q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点；②p：eq\f(f（－x）,f（x）)＝1，q：y＝f(x)为偶函数；③p：cosα＝cosβ，q：tanα＝tanβ；④p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA.解析：对于①，q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点⇔q：Δ＝m2－4(m＋3)＞0⇔q：m＜－2或m＞6⇔p.对于②，当f(x)＝0时，qeq\o(⇒,\s\up0(/))p.对于③，若α，β＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，则有cosα＝cosβ，但没有tanα＝tanβ，peq\o(⇒,\s\up0(/))q.对于④，p：A∩B＝A⇔p：A⊆B⇔q：∁UB⊆∁UA.答案：①④13．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根关于a的充要条件．解：当a＝0时，x＝－eq\f(1,2)符合题意．当a≠0时，令f(x)＝ax2＋2x＋1，由于f(0)＝1＞0，当a＞0时，－eq\f(1,a)<0，若Δ＝4－4a≥0，则a≤1，即0＜a≤1时，f(x)有两个负实数根．当a＜0时，因为f(0)＝1，Δ＝4－4a＞0恒成立，所以方程恒有负实数根．综上所述，a≤1为所求．14．已知集合p：A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(y＝x2－\f(3,2)x＋1，x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))))))，q：B＝{x||x－m|≥1}，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．解：先化简集合A，由y＝x2－eq\f(3,2)x＋1，配方，得y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(7,16).因为x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))，所以y∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,16)，2)).所以A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(7,16)≤y≤2)))).由|x－m|≥1，解得x≥m＋1或x≤m－1.所以B＝{x|x≥m＋1或x≤m－1}．因为命题p是命题q的充分条件，所以A⊆B.所以m＋1≤eq\f(7,16)或m－1≥2，解得m≤－eq\f(9,16)或m≥3.故实数m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(9,16)))∪[3，＋∞)．命题与充要条件(强化练)一、选择题1．命题“若a＞0，则a＞1”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选C.命题“若a＞0，则a＞1”是假命题，它的逆命题为：“若a＞1，则a＞0”为真命题．所以在三个命题中真命题的个数是2.故选C.2．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，则s是p的()A．逆否命题 B．逆命题C．否命题 D．原命题解析：选A.设命题p为：“若m，则n”，则r为“若¬m，则¬n”，s为“若¬n，则¬m”是p的逆否命题．故选A.3．设a，b∈R，则“a＜b”是“(a－b)a2＜0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.若a＝0，b＝1，满足a＜b，但(a－b)a2＜0不成立，若(a－b)a2＜0，则a＜b且a≠0，则a＜b成立，故“a＜b”是“(a－b)a2＜0”的必要不充分条件．故选B.4．设向量a＝(2，x－1)，b＝(x＋1，4)，则“x＝3”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.当a∥b时，有2×4－(x－1)(x＋1)＝0，解得x＝±3.因为集合{3}是集合{3，－3}的真子集，故“x＝3”是“a∥b”的充分不必要条件．故选A.5．下面的命题中是真命题的是()A．y＝sin2x的最小正周期为2πB．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根同号，则eq\f(c,a)＞0C．如果A⊆B，那么A∪B＝AD．在△ABC中，若eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＞0，则B为锐角解析：选B.y＝sin2x＝eq\f(1－cos2x,2)，T＝eq\f(2π,2)＝π，故A为假命题；若A⊆B，则A∪B＝B，故C为假命题；当eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＞0时，向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))的夹角为锐角，B为钝角，故D为假命题．故选B.6．下列说法正确的是()A．命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆命题是“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”B．命题“若x＝2，则x2－5x＋6＝0”的否命题是“若x＝2，则x2－5x＋6≠0”C．已知a，b∈R，命题“若a＞b，则|a|＞|b|”的逆否命题是真命题D．若a，b∈R，则“ab≠0”是“a≠0”的充分条件解析：选D.A命题的逆命题是“若x＝2，则x2－5x＋6＝0”；B命题的否命题是“若x≠2，则x2－5x＋6≠0”；C命题的逆否命题是假命题；D符合题意，因为ab≠0，所以a≠0，正确．故选D.7．命题“当0＜a＜1时，若loga(a＋3)＜loga4，则函数f(x)＝xa在第一象限内单调递增”的逆否命题为()A．当0＜a＜1时，若loga(a＋3)≥loga4，则函数f(x)＝xa在第一象限内单调递减B．当0＜a＜1时，若函数f(x)＝xa在第一象限内不单调递增，则loga(a＋3)≥loga4C．当a≥1时，若loga(a＋3)≥loga4，则函数f(x)＝xa在第一象限内单调递减D．当a≥1时，若函数f(x)＝xa在第一象限内不单调递增，则loga(a＋3)≥loga4解析：选B.命题中“当0＜a＜1时”是大前提，在改写命题时不变，然后把原命题的条件和结论分别否定并且互换位置，便得到其逆否命题“当0＜a＜1时，若函数f(x)＝xa在第一象限内不单调递增，则loga(a＋3)≥loga4”．故选B.8．“m＝eq\f(1,2)”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直”的()A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.当m＝eq\f(1,2)时，直线(m＋2)x＋3my＋1＝0的斜率是－eq\f(5,3)，直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0的斜率是eq\f(3,5)，所以满足k1·k2＝－1，所以“m＝eq\f(1,2)”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直”的充分条件，而当两直线垂直时有(m＋2)(m－2)＋3m·(m＋2)＝0得m＝eq\f(1,2)或m＝－2.所以“m＝eq\f(1,2)”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直”的充分而不必要条件．故选B.9．(2016·高考天津卷)设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0”的()A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选C.由题意得，an＝a1qn－1(a1＞0)，a2n－1＋a2n＝a1q2n－2＋a1q2n－1＝a1q2n－2(1＋q)．若q＜0，因为1＋q的符号不确定，所以无法判断a2n－1＋a2n的符号；反之，若a2n－1＋a2n＜0，即a1q2n－2(1＋q)＜0，可得q＜－1＜0.故“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0”的必要而不充分条件．10．设条件p：|x－2|＜3，条件q：0＜x＜a，其中a为正常数，若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是()A．(0，5] B．(0，5)C．[5，＋∞) D．(5，＋∞)解析：选A.由|x－2|＜3，得－3＜x－2＜3，即－1＜x＜5，即p：－1＜x＜5，因为q：0＜x＜a，a为正常数，所以要使p是q的必要不充分条件，则0＜a≤5，故选A.二、填空题11．命题“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题为________，是________(填“真”或“假”)命题．解析：命题“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”，因为原命题是真命题，所以其逆否命题也是真命题．答案：若x≥2或x≤－2，则x2≥4真12．下列命题中是假命题的是________．(填序号)①“x＞2且y＞3”是“x＋y＞5”的充要条件；②“A∩B≠∅”是“AB”的充分条件；③“b2－4ac＜0”是“ax2＋bx＋c＜0的解集为R”的充要条件；④“sinα＞sinβ”是“α＞β”的充分不必要条件；⑤“M＞N”是“log2M>log2N”的充要条件．解析：当x＞2且y＞3时，x＋y＞5成立，反之，例如x＝1，y＝5，x＋y＞5，但x＜2，故①为假命题；当A＝{1，3}，B＝{1，2}，A∩B＝{1}，但A⃘B，故②为假命题；ax2＋bx＋c＜0的解集为R等价于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＜0，,Δ＝b2－4ac＜0，))故③为假命题；当α＝eq\f(π,3)，β＝eq\f(5π,6)时，sinα＝eq\f(\r(3),2)＞eq\f(1,2)＝sinβ，而α＜β，故④为假命题；当0＞M＞N时，log2M，log2N无意义，故⑤为假命题．故填①②③④⑤.答案：①②③④⑤13．设α，β，γ为平面，m，n，l为直线，则对于下列条件：①α⊥β，α∩β＝l，m⊥l；②α∩γ＝m，α⊥β，γ⊥β；③α⊥γ，β⊥γ，m⊥α；④n⊥α，n⊥β，m⊥α.其中为m⊥β的充分条件的是________．(将正确的序号都填上)解析：①α⊥β，α∩β＝l，m⊥leq\o(⇒,\s\up0(/))m⊥β；②α∩γ＝m，α⊥β，γ⊥β⇒m⊥β；③α⊥γ，β⊥γ⇒α与β可能相交也可能平行，故α⊥γ，β⊥γ，m⊥αeq\o(⇒,\s\up0(/))m⊥β；④由n⊥α，n⊥β得α∥β，又m⊥α，所以m⊥β.答案：②④14．已知p：x≥k，q：eq\f(3,x＋1)＜1，若p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是________．解析：因为eq\f(3,x＋1)＜1，所以eq\f(3,x＋1)－1＝eq\f(2－x,x＋1)＜0，即(x－2)(x＋1)＞0，所以x＞2或x＜－1，因为p是q的充分不必要条件，所以k＞2.答案：(2，＋∞)三、解答题15．写出“若x＝2，则x2－5x＋6＝0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：逆命题：若x2－5x＋6＝0，则x＝2，是假命题；否命题：若x≠2，则x2－5x＋6≠0，是假命题；逆否命题：若x2－5x＋6≠0，则x≠2，是真命题．16．设向量a，b，求证“|a·b|＝|a|·|b|”是“a∥b”的充要条件．证明：充分性：由|a·b|＝|a|·|b|得a与b同向或反向，所以a∥b.必要性：由a∥b可得|cos〈a，b〉|＝1，故|a·b|＝|a|·|b||cos〈a，b〉|＝|a|·|b|.综上可推出“|a·b|＝|a|·|b|”是“a∥b”的充要条件．17．已知函数f(x)＝4sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))－2eq\r(3)cos2x－1，且给定条件p：eq\f(π,4)≤x≤eq\f(π,2).(1)在p的条件下，求f(x)的最值；(2)若条件q：－2<f(x)－m<2，且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．解：(1)p：eq\f(π,4)≤x≤eq\f(π,2)，又f(x)＝4sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))－2eq\r(3)·cos2x－1＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2x))))－2eq\r(3)cos2x－1＝1＋2sin2x－2eq\r(3)cos2x＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋1，当eq\f(π,4)≤x≤eq\f(π,2)时，eq\f(π,6)≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(2π,3)，eq\f(1,2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))≤1，所以3≤f(x)＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋1≤5，即f(x)的最大值为5，最小值为3.(2)条件q：－2<f(x)－m<2等价为m－2<f(x)<m＋2，由第一问知在p的条件下，3≤f(x)≤5，又p是q的充分条件，应满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m－2<3，,m＋2>5，))所以3<m<5.18．设函数y＝lg(－x2＋4x－3)的定义域为A，函数y＝eq\f(2,x＋1)，x∈(0，m)的值域为B.(1)当m＝2时，求A∩B；(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．解：(1)由题意得－x2＋4x－3＞0，解得1＜x＜3，所以A＝(1，3)，又函数y＝eq\f(2,x＋1)在区间(0，m)上单调递减，所以y∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,m＋1)，2))，即B＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,m＋1)，2))，当m＝2时，B＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2))，所以A∩B＝(1，2)．(2)首先要求m＞0，因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，所以BA，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,m＋1)，2))(1，3)，从而eq\f(2,m＋1)≥1，解得0＜m≤1.1．3简单的逻辑联结词1．3.1且(and)1．3.2或(or)1．3.3非(not)1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义，会判断含有这类逻辑联结词的命题的真假．2.结合具体实例，在了解“且”“或”“非”含义的基础上，掌握这类联结词的用法．3.在结合实例学习逻辑联结词的过程中，体会用逻辑语言表达数学内容的准确性和简洁性．,1．用逻辑联结词构成新命题构成新命题记作读作用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题p∧qp且q用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题p∨qp或q对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题¬p非p或p的否定2.含有逻辑联结词的命题的真假判断pqp∨qp∧q¬p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)逻辑联结词“且”“或”只能出现在命题的结论中．()(2)“p∨q为假命题”是“p为假命题”的充要条件．()(3)命题“p∨(¬p)”是真命题．()(4)命题的否定与否命题是相同的概念．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．命题“矩形的对角线相等且互相平分”是()A．“p∧q”形式的命题B．“p∨q”形式的命题C．“¬p”形式的命题D．以上说法都不对答案：A3．已知命题p：3≥3，q：3>4，则下列判断正确的是()A．p∨q为真，p∧q为真，¬p为假B．p∨q为真，p∧q为假，¬p为真C．p∨q为假，p∧q为假，¬p为假D．p∨q为真，p∧q为假，¬p为假答案：D4．若p：正数的平方大于0，q：负数的平方大于0，则p∨q：________________．(用文字语言表述)答案：正数或负数的平方大于05．命题“若a＜b，则2a＜2b”的否命题为_____________________________________，命题的否定为_________________________________________________________．答案：若a≥b，则2a≥2b若a＜b，则2a≥2b用逻辑联结词构造新命题分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“¬p”形式的命题：(1)p：π是无理数；q：e不是无理数；(2)p：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根；q：方程x2＋2x＋1＝0的两根的绝对值相等；(3)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角．【解】(1)“p∨q”：π是无理数或e不是无理数；“p∧q”：π是无理数且e不是无理数；“¬p”：π不是无理数．(2)“p∨q”：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；“p∧q”：方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等；“¬p”：方程x2＋2x＋1＝0没有两个相等的实数根．(3)“p∨q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；“p∧q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角；“¬p”：三角形的外角不等于与它不相邻的两个内角的和．eq\a\vs4\al()用逻辑联结词构造新命题的两个步骤在一次模拟打靶的游戏中，小明连续射击了两次，设命题p1“第一次射击击中靶心”，命题p2“第二次射击击中靶心”，试用p1，p2及联结词“或”“且”“非”表示下列命题：(1)两次都击中靶心；(2)两次都没击中靶心；(3)恰有一次击中靶心；(4)至少有一次击中靶心．解：(1)两次都击中靶心是p1且p2；(2)两次都没击中靶心是¬p1且¬p2；(3)恰有一次击中靶心是p1且¬p2，或p2且¬p1；(4)至少有一次击中靶心是p1或p2.含逻辑联结词的命题的真假判断分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“¬p”形式的命题的真假．(1)p：梯形有一组对边平行；q：梯形有一组对边相等．(2)p：1是方程x2－4x＋3＝0的根；q：3是方程x2－4x＋3＝0的根．(3)p：不等式x2－2x＋1＞0的解集为R；q：不等式x2－2x＋2≤1的解集为∅.【解】(1)因为命题p为真命题，命题q为假命题，所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，¬p为假命题．(2)因为命题p，q均为真命题，所以p∧q为真命题，p∨q为真命题，¬p为假命题．(3)因为命题p中x2－2x＋1＞0的解集为{x|x∈R且x≠1}，所以命题p为假命题，又因为当x＝1时，不等式x2－2x＋2≤1成立，所以命题q为假命题．所以p∧q为假命题，p∨q为假命题，¬p为真命题．eq\a\vs4\al()判断命题真假的三个步骤(1)明确命题的结构，即命题是“p∧q”“p∨q”，还是“¬p”．(2)对命题p和q的真假作出判断．(3)由“p∧q”“p∨q”“¬p”的真假判断方法给出结论．分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“¬p”形式的命题，并判断其真假．(1)p：3是9的约数，q：3是18的约数．(2)p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相垂直．解：(1)p∨q：3是9的约数或是18的约数，此命题为真命题．p∧q：3是9的约数且是18的约数，此命题为真命题．¬p：3不是9的约数，此命题为假命题．(2)p∨q：矩形的对角线相等或互相垂直，此命题为真命题．p∧q：矩形的对角线相等且互相垂直，此命题为假命题．¬p：矩形的对角线不相等，此命题为假命题．利用含逻辑联结词的命题的真假求参数的取值范围已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根，若“p∨q”为真命题，且“p∧q”是假命题，求实数m的取值范围．【解】p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝m2－4＞0,－m＜0))⇔m＞2.q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根⇔Δ＝16(m－2)2－16＜0⇔1＜m＜3.所以¬p：m≤2，¬q：m≤1或m≥3.因为“p∨q”为真命题，且“p∧q”是假命题，所以p为真且q为假，或p为假且q为真．(1)当p为真且q为假时，即p为真且¬q为真，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＞2,m≤1或m≥3))，解得m