高中数学椭圆几何性质练习题

2．1.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质双基达标（限时20分钟）1．已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为()．A．(±13，0) B．(0，±10)C．(0，±13) D．(0，±eq\r(69))解析由题意知，椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(69)，故焦点坐标为(0，±eq\r(69))．答案D2．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为()．A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(2,3)解析将椭圆方程x2＋4y2＝1化为标准方程x2＋eq\f(y2,\f(1,4))＝1，则a2＝1，b2＝eq\f(1,4)，c＝eq\r(a2－b2)＝eq\f(\r(3),2)，故离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2).答案A3．已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－eq\r(2)，0)，(eq\r(2)，0)，离心率是eq\f(\r(6),3)，则椭圆C的方程为()．A.eq\f(x2,3)＋y2＝1 B．x2＋eq\f(y2,3)＝1C.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 D.eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,3)＝1解析因为eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3)，且c＝eq\r(2)，所以a＝eq\r(3)，b＝eq\r(a2－c2)＝1.所以椭圆C的方程为eq\f(x2,3)＋y2＝1.答案A4．已知椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于eq\r(5)，则此椭圆的标准方程是________．解析设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，焦距为2c，则b＝1，a2＋b2＝(eq\r(5))2，即a2＝4.所以椭圆的标准方程是eq\f(x2,4)＋y2＝1或eq\f(y2,4)＋x2＝1.答案eq\f(x2,4)＋y2＝1或eq\f(y2,4)＋x2＝15．已知椭圆eq\f(x2,k＋8)＋eq\f(y2,9)＝1的离心率为eq\f(1,2)，则k的值为________．解析当k＋8>9时，e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(k＋8－9,k＋8)＝eq\f(1,4)，k＝4；当k＋8<9时，e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(9－k－8,9)＝eq\f(1,4)，k＝－eq\f(5,4).答案4或－eq\f(5,4)6．求椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．解已知方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,1)＝1，所以，a＝2，b＝1，c＝eq\r(4－1)＝eq\r(3)，因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为2a＝4，2b＝2，离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)，两个焦点分别为F1(－eq\r(3)，0)，F2(eq\r(3)，0)，椭圆的四个顶点是A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0，－1)，B2(0，1)．综合提高（限时25分钟）7．已知椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m＝()．A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．2D．4解析将椭圆方程化为标准方程为x2＋eq\f(y2,\f(1,m))＝1，∵焦点在y轴上，∴eq\f(1,m)>1，∴0<m<1.由方程得a＝eq\r(\f(1,m))，b＝1.∵a＝2b，∴m(2)对于x轴上的点P(t，0)，椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围．解(1)由题意可得，c＝1，a＝2，∴b＝eq\r(3).∴所求椭圆E的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)设M(x0，y0)(x0≠±2)，则eq\f(xeq\o\al(2,0),4)＋eq\f(yeq\o\al(2,0),3)＝1. ①eq\o(MP,\s\up6(→))＝(t－x0，－y0)，eq\o(MH,\s\up6(→))＝(2－x0，－y0)，由MP⊥MH可得eq\o(MP,\s\up6(→))·eq\o(MH,\s\up6(→))＝0，即(t－x0)(2－x0)＋yeq\o\al(2,0)＝0. ②由①②消去y0，整理得t(2－x0