2022届高三数学二轮复习-解析几何大题训练

2022届高三数学二轮复习大题训练(10)

(解析几何)

1.已知F为抛物线C:f=2py(p>0)的焦点，直线/:y=2x+l与C交于A,3两点.且

|AF|+|BF|=20.

(1)求C的方程；

(2)设动直线机平行于直线/,且与C交于M,N两点，直线AM与凯相交于点7,证明：

点T在一条定直线上.

2.已知双曲线的对称中心在直角坐标系的坐标原点，焦点在坐标轴上，双曲线的一条渐近线的方

程为y=6x,且双曲线经过点(4,6).过双曲线上的一点尸(在第一象限)作斜率不为土石的

直线/,/与直线x=l交于点。且/与双曲线有且只有一个交点.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)以尸。为直径的圆是否经过一个定点？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，请

说明理由.

3.已知O为坐标原点，抛物线E:/=2py(p>0),过点C(0,2)作直线/交抛物线£于点A、B(其

中点A在第一象限)，。4。8=-4且4。=彳。8(；1>0).

(1)求抛物线E的方程；

(2)当4=2时，过点A、8的圆与抛物线£在点A处有共同的切线，求该圆的方程.

4.已知椭圆C:=+马=l(a>6>0)的焦距为2,点P(l，)在椭圆C上.

a2b-2

(1)求椭圆C的方程；

(2)设〃，N是椭圆C上的两个动点，O为坐标原点，且直线PM,PN的倾斜角互补,

求AOMN面积的最大值.

22

5.已知椭圆C:^+3=l（a>8>0）的短轴长为2,冗，鸟分别为椭圆C的左、右焦点，8为椭圆

的上顶点，68皆£=6.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设P为椭圆C的右顶点，直线/与椭圆C相交于"，N两点（M,N两点异于P点），且

PM工PN,求|PM||PN|的最大值.

6.在平面直角坐标系中，已知点M（0一），点P到点”的距离比点P到x轴的距离大!，记P

88

的轨迹为C.

（1）求C的方程：

（2）过点P（x°,%）（其中七力0）的两条直线分别交C于E,F两点，直线PE,PF分别交y

轴于A,3两点，且满足记尢为直线砂的斜率，及为C在点尸处的切线斜

率，判断左+网是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.

7.已知椭圆E：W+/=13>b>0)的左、右焦点分别为耳，尸2,离心率e=专,P为椭圆上一

动点，面积的最大值为2.

(1)求椭圆E的方程；

(2)若C,。分别是椭圆£长轴的左、右端点，动点用满足MOLCD,连结CM交椭圆于点

N,O为坐标原点.证明：OM-ON为定值；

(3)平面内到两定点距离之比是常数的点的轨迹是圆.椭圆E的短轴上端点为A,点Q

在圆f+V=8上，求21QA|+1。尸|-1Pg|的最小值.

2022届高三数学二轮复习大题训练(10)

(解析几何)

1.已知产为抛物线C:f=2py(p>0)的焦点，直线/:y=2x+l与C交于A,3两点.且

|AF|+|BF|=20.

(1)求C的方程；

(2)设动直线机平行于直线/,且与C交于M,N两点，直线4M与凯相交于点7,证明：

点T在一条定直线上.

【解答】

(1)由题意可得F(0,^),准线方程为y=-],

联立方程([=2x+l,整理可得：f_4*_2P=0,

[厂=2py

设A(x-yj,B(X2,y2)»可得石+赴=40,所以y+%=2(玉+x2)+2=8p+2,

所以IAF|+|BF|=X+%+p=8p+2+p=9p+2=20,解得p=2,

则抛物线方程为V=4y；

(2)证明：设M(w，%)，N(x&,%),T(x0,%),TM=27X(21),

因为A8〃MN,所以77V="8,设动直线方程为y=2x+rQKl),

联立方程，再，4',两式相减可得：(%,+迎)(占-x>)=4(y-%)，

¥=4丫2

可得3+X,=4()1-*)=8,

工—

七一X。=4(芭—x)

同理可得%+%=8,由0

x4-x0=2(X2-x0)

两式相加可得Xj+x4-2x0=2(Xj+x2-2x0),

即(4一Xo)(l_4)=O,Hwl,解得％=4,

所以丁在定直线x=4上.

2.己知双曲线的对称中心在直角坐标系的坐标原点，焦点在坐标轴上，双曲线的一条渐近线的方

程为y=后,且双曲线经过点(4,6).过双曲线上的一点尸(在第一象限)作斜率不为±6的

直线/,/与直线x=l交于点Q且/与双曲线有且只有一个交点.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)以PQ为直径的圆是否经过一个定点？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，请

说明理由.

【解答】

(1)依题可设双曲线的标准方程为3/-丁=义，

因为双曲线经过点(4,6),所以;1=3x4?-6?=12,

所以双曲线的方程为3/一＞2=12,所以双曲线的标准方程为三-汇=1；

412

(2)直线的斜率显然存在且不为0,设/的方程为)，=fcv+f,也丰土国,

由c，得(3-二-2依-(/+⑵=9(*)，

[3x~-/=12

因为Zw土百且/与双曲线有且只有一个交点，所以(*)方程有且只有一个实数解，

所以△=0即(一2公)2+4(3-k2)(?+12)=0得奴2=『+12,

P的横坐标为一，=-竺，

3-k2t

P的纵坐标为人(—竺)+/=-丝，即点P的坐标为(—竺，一2)，

tttt

直线/与直线X=1的交点。的坐标为(1,左+力，

AL1?

以PQ为直径的圆的方程为(x+—)(x-l)+(yd---)(y-k-t)=0，

tt

化为-%+/-12)+以4%—4-12)+火12-戊一/)=0,

当Y一工+/-12=0且4%一4-12=0,即x=4且y=0时上述方程恒成立，

所以以PQ为直径的圆经过一个定点(4,0).

3.已知O为坐标原点，抛物线E:x2=2py(p>0),过点C(0,2)作直线/交抛物线£于点A、B(其

中点A在第一象限)，。4。8=-4且4。=彳。8(；1>0).

(1)求抛物线E的方程；

(2)当4=2时，过点A、8的圆与抛物线£在点A处有共同的切线，求该圆的方程.

【解答】

(1)设直线43的方程为了=入+2,与抛物线的方程联立，可得f-2。依-4p=0,

设4(占，y),B(X2,%)(占>°，x2<0),司得玉七；=-4",x}+x2=2pk,

(X1^2)~.

>跖=▽=4'

由OA.OB=-4可得百%+y%=—4p+4=—4,解得p=2,

则抛物线的方程为*2=4)，；

(2)由AC=2CB可得一%=2%，又不々=-8,

解得％=4,%=一2,即44,4),8(-2,1),

AS的中点坐标为(1,■!),%=；，则AB的中垂线的方程为y-g=-2(x-l),即为丫二?-2》，

设圆的圆心为M(a,A),可得人=2-2”，①

2

由直线M4的斜率为土心，可得A处的切线的斜率为-士工，

4一〃4-h

由x2=4y即y=；丁,可得了=gx,可得A处的切线的斜率为2,

则一上£=2,②

4-h

由①②解得a=—\b=—1|AM|=5一,

22

所以圆的方程为(x+iy+(y-^)2=..

4.已知椭圆C*+g=1(a>/?>0)的焦距为2,点P(l,g)在椭圆C上.

(1)求椭圆。的方程；

(2)设M,N是椭圆C上的两个动点，O为坐标原点，且直线PN的倾斜角互补,

求AOMN面积的最大值.

【解答】

(1)设椭圆的左、右焦点分别为巴、居，因为焦距为2,P(l,-)

-2

2

所以2c=2且轴，故幺A=士3

a2

又由于片=廿+已2=加+1,所以解得a=2,b=抠,故椭圆C方程为工+.=1；

43

(2)设M(X[,，)，N(Xj，%)，直线MN的方程为y=+M,

由于直线尸PN的倾斜角互补，故号必+&w=0

y=kx+m

联立方程,犬2/,整理得(3+4公》2+8而1¥+4/-12=0,

---1----1

43

故△=(Skm)2-4(3+4k2)(4〉-12)=48(3+4公-M)>0,即m2V3+4〃

8kmW-12

且X]+&=-XlX2=

3+4公3+4公

33

,一5311

——+——2=2k+(k+m—f(----+-----)

PM丁CpNXj—1%—]2&—1/一]

3x+x-238储+85?+6

=2k+(k+m—-)----!——l=2-------=2k-(k+m--)--------------

2%工2一(%+马)+124nr+4Z~+8k九一9

=2八如+皿+6=⑵-6=°,

2(2根+2%+3)2(2a+2Z+3)

所以左=；,故MN的方程为y=；x+〃7,且0,,zz?<3+4公=4

所以弦长|MN|=m2)

12m\

原点到直线班:1-2丁+2加=0的距离为1=

所以S&OMN=~\MN\d=^-押(4->)=与"-(32)2+4,,G,

故当且仅当m=±0时，AOMN的面积的最大值为6.

22

5.已知椭圆C:^+3=l(a>8>0)的短轴长为2,冗，鸟分别为椭圆C的左、右焦点，8为椭圆

的上顶点，68皆£=6.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设P为椭圆C的右顶点，直线/与椭圆C相交于"，N两点(M,N两点异于P点)，且

PMA.PN,求|PM||PN|的最大值.

【解答】

(1)由题意，b=l,5(0,1),设焦距为2c,则耳(-c,0),6(c,0),

CCC2

F,BFXF2=(,1)(2,0)=2=6,所以c?=3,又b=l,所以/=从+02=4,

所以，椭圆C的标准方程二+丁=1.

4•

(2)由题意知，直线/的斜率不为0,则不妨设直线/的方程为x=^+2).

V2

联立得，4'>消去x得(父+4)y2+2h”y+M—4=0,

x=ky+m

A=4k2m2-4(k2+4)(m2-4)>0,化简整理，得/+4>>.

VLA*/、xrz、mil-2kmnr-4

及”(％，y),N(X2,%)，则乂+%=^7^，X%=1+4・

PMLPN,PM・PN=6.

A2,0),PM=(%1-2,^),PN=(x2-2,y2),得(q—2)(芍-2)+y%=0，

2

将X]=ky\+m,x2=ky2+6代入上式，得(k?+l)x%-2)(y+y2)+(/n-2)=0,

得伏？+l)・乌———+k(m—2)-+{in-2)2=0,解得〃z=9或M=2(舍去)，

k4-4k+45

直线/的方程为x=Q，+t，则直线/恒过点,0),

C1”…I14r-----^―;----8/25(>+4)-36

•••=-1I-I-721=-x-x^/(y,+y2)-4yly2=—xI(/,2+4)2—•

设，=^—,则0<f,,,，S」xJ-360+25f,

《+4425

易知0=假xJ-36/+25t在(0,5上单调递增,••・当f时，S、海取得最大值为最.

132

又S"的=51|•|PN|(\PM\-\PN|)“=2(5.U=--

6.在平面直角坐标系xQy中，已知点M(0，)，点P到点M的距离比点P到x轴的距离大L记尸

88

的轨迹为C.

(1)求C的方程；

(2)过点P(%，%)(其中与=0)的两条直线分别交C于E,F两点，直线PE,PF分别交y

轴于A,B两点,且满足|PA|=|P8|.记4为直线EF的斜率，质为C在点P处的切线斜

率，判断左+&是否为定值？若是，求出该定值：若不是，说明理由.

【解答】

(1)由题可知，点P到点M(0一)的距离与尸到直线y+』=0的距离相等，

88

轨迹一：点尸的轨迹是以M(01)为焦点，直线y+：=0为准线的抛物线，此时p=；,

所以C的方程为f=Ly；

2

轨迹二：点尸的轨迹在y轴上，x=0(y,,0),

综上所述，C的方程为f=gy或x=0();,0).

(2)(i)当直线PE、的不是切线时，

因为|P4HP8|,所以AE48为等腰三角形，

即直线PE与PF的斜率存在且互为相反数，即kPE+kPF=0,

设点E(X1,x),F(X2,%)，直线PE的方程为y-%=A(x-x(j),

联立直线PE与抛物线方程，消去y并整理得，2/-依+5-%=0,

于是司+毛=4,故玉=^一天,

因为直线PE与心的斜率互为相反数，令Tt代替％,得w=-g-x0,

所以&।一•—=——^=2(七+x,)=-4与，Xy'=4x,所以£=4x(,,即勺+&=0；

X)-x2xx-x2

(ii)当PE与PF有一条为切线，则P为切点，不妨设PF为切线,所以点尸与点3重合，

因|PAHP8|,所以445=NP54,若勺+的=0，则NP84=NE84,

所以NE45=NEfi4,即PE//BE,矛盾，

综上所述，4+/不为定值.

7.已知椭圆E:J+£=l(a>b>0)的左、右焦点分别为耳，尸2,离心率e#,尸为椭圆上一

动点，鸟面积的最大值为2.

(1)求椭圆E的方程；

(2)若C,。分别是椭圆£长轴的左、右端点，动点用满足MOLCD,连结CM交椭圆于点

N,O为坐标原点.证明：OM-ON为定值;

(3)平面内到两定点距离之比是常数〃的点的轨迹是圆.椭圆£的短轴上端点为A,点Q

在圆f+y2=8上，求21QA|+1QP|-1Pg|的最小值.

【解答】

(1)当P为短轴端点时，△PKE的面积最大，hc=2,

be=2

£_2