2021年北京市昌平区中考数学二模试卷

2021年北京市昌平区中考数学二模试卷

ー、选择题（本题共16分,每小题2分）第L8题均有四个选项,符合题意的选项只有一

个

1.（2分）自2021年1月1日起,全市启动九类重点人群新冠疫苗接种工作.昌平设置46

个疫苗接种点位,共配备医务人员1200多名.截至3月28日18时,昌平区累计新冠疫苗

接种共完成1015000人次,整体接种秩序井然.将1015000用科学记数法表示应为（）

A.10.15xl06B.1.015xl06C.0.1015xl07D.1.015x10?

2.（2分）下列几何体的主视图和俯视图完全相同的是（）

3.（2分）下列图形中是轴对称图形,但不是中心对称图形的是（）

C.------------>正方形D.\-------（正六边形

4.（2分）实数〃,b,c,1在数轴上对应的点的位置如图所示,下列结论正确的是（

)

----------・・・>

ab0cd

A.\a\<\h\B.ad>0C.a+c>0D.d-a>0

5.（2分）如果ー个多边形的内角和与外角和相等,那么这个多边形的边数是（）

A.3B.4C.5D.6

6.（2分）如图,在平面直角坐标系ズOy中,正方形ABCD和正方形らEFG是以原点0为位

似中心的位似图形，且相似比是丄，点A,B,E在ズ轴上,若正方形8EFG的边长为12,

3

则点。的坐标为（

c.(4,4)D.(8,4)

7.（2分）疫情期间进入学校都要进入测温通道,体温正常オ可进入学校,昌平某校有2个

测温通道,分别记为A、8通道,学生可随机选取其中的ー个通道测温进校园.某日早晨

该校所有学生体温正常.小王和小李两同学该日早晨进校园时,选择同一通道测温进校园的

概率是（）

8.（2分）世界各国温度的计量单位尚不统ー,常用的有摄氏温度（て）和华氏温度（°F）两种,

它们之间的换算关系如表所示:

摄氏（单位。C）0123456

华氏（单位。F）3233.835.637.439.24142.8

那么当华氏度与摄氏度对应相等时的温度值是（）

A.32B.-20C.-40D.40

二、填空题（本题共16分,每小题2分

9.（2分）代数式イ2X-4:有意义时,x应满足的条件是ー.

10.（2分）将一副三角板如图摆放，斜边与直角边上相交于点ド,则48此=

11.（2分）写出一个比え小的正整数是ー.

12.（2分）如图所示的网格是正方形网格,点A,B,C,ハ是网格线交点,则AABC的

面积与的面积大小关系为:5.8（填'="或“<”）.

13.（2分）方程组『"十ア:4的解为

[x-y=2

14.（2分）今年五月某中学举行一次“新冠”防疫知识竞赛,该校九年级1班、2班各选派

了6名学生参赛,为了全面了解、比较两个班级的参赛学生的实カ,请你根据表格成绩对他

们进行统计分析:

1班657070707582

2班557070758082

请问:[ー兀，s；—s；.（填“〉”"=”或“<”）

15.（2分）有一条抛物线,两位同学分别说了它的ー个特点:

甲:对称轴是直线イ=4；

乙：顶点到x轴的距离为2.

请你写出一个符合条件的解析式：—.

16.（2分）盒子里有甲、乙、丙三种粒子,若相同种类的两颗粒子发生碰撞,则变成一颗

乙粒子;不同种类的两颗粒子发生碰撞，会变成第三种粒子.例如一颗甲粒子和一颗乙粒子

发生碰撞则变成一颗丙粒子,现有甲粒子6颗,乙粒子4颗，丙粒子5颗，如果经过各种两

两碰撞后，只剩下1颗粒子，给出下列结论：

①最后一颗粒子可能是甲粒子;

②最后ー颗粒子一定不是乙粒子;

③最后一颗粒子可能是丙粒子.

其中正确结论的序号是:—.

三、解答题（本题共68分,第17-22题,每小题5分,第23-26题,每小题5分,第27-28

题,每小题5分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程

17.（5分）计算:+1-2Msin45°.

4x-6<2x

18.（5分）解不等式组:3X-2x,并把解集表示在数轴上.

----->—

I53

19.（5分）已知ピ+スー1=0,求代数式（3x+l）2-x（x—2）的值.

20.（5分）下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图过程.

已知:NAOB.

求作:ZADC,使/AL>C=2NAOB.

作法：如图,

①在射线OB上任取一点C;

②作线段OC的垂直平分线,交。4于点ハ,交08于点E,连接のC.

所以/Mに即为所求的角.

根据小明设计的尺规作图过程,

（1）使用直尺和圆规,补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面证明（说明:括号里填写作图依据）.

证明：•.•ハE是线段OC的垂直平分线,

:.OD=（）,

:.ZAOB=（）,

ZADC=ZAOB+ADCO,

:.ZADC=2ZAOB.

A

21.（5分）已知关于x的一元二次方程ガー4イ+。=0有两个不相等的实数根.

（1）求〃的取值范围;

（2）请你给出一个符合条件的。的值,并求出此时方程的解.

22.（5分）如图，矩形ABCD,延长">至点ド,使""=4）,连接AC,CF,过点A作

A£//C尸交CZ）的延长线于点£,连接瓦'.

（1）求证:四边形AC正•是菱形;

（2）连接BE交于点G.当ん3=2,tanNACB='时,求タE的长.

23.（6分）为了解昌平区两校学生对垃圾分类知识的掌握情况，从甲、乙两所学校各随机

抽取40名学生进行垃圾分类知识的测试，获得了他们的成绩（百分制）并对数据（成绩）

进行了整理、描述和分析.下面给出了部分信息.

a.甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如表:

成绩ス5Q,x<6060,,xv707Q,x<8080„x<9()9(瀏c1(X)

学校

甲4159102

乙6315142

（说明:成绩80分及以上为优秀,70~79分为良好,60~69分为合格,60分以下为不合

格）

b.甲校成绩在70,,80这ー组的是：70,70,71,72,73,74,76,77,79.

c.甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数如表:

学校平均分中位数众数

甲74.2n85

乙73.57684

根据以上信息，回答下列问题：

（1）写出表中〃的值;

（2）估计乙校200名学生中，成绩优秀的学生人数是.

（3）假设甲校200名学生都参加此次测试,并决定年级排名在前100名的学生都可以被评

为“垃圾分类知识标兵”荣誉称号,预估甲校学生至少要达到一分可以获得此荣誉称号.

24.（6分）在平面直角坐标系xOJ中,反比例函数ツ=ム的图象与直线ハy=-x-2交于点

A（a,-4）,直线，与x轴交于点8.

（1）求。,ス的值;

（2）在y轴上存在一点C,使得ス此=3，求点C的坐标.

25.（6分）如图,A3为〇〇直径,点C,。在〇〇上,且CD=CB,过点C作CE//BD,

交ん3延长线于点E.

（1）求证:CE为0。切线;

（2）过点C作丄ん:交皮）于4点，ZE=3O°,CH=6,求BE的长.

26.（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3a（aキ0）与x轴的交点为点A（l,0）

和点B.

（1）直接写出抛物线的对称轴和点8的坐标:

（2）分别过点尸亿0）和点Q（f+2,0）作x轴的垂线,交抛物线于点M和点N,记抛物线在M,

N之间的部分为图象G（包括M,N两点）.记图形G上任意一点的纵坐标的最大值是，〃，

最小值为”.

①当a=2时，画出抛物线的图象,根据图象直接写出“ー〃的最小值;

②若存在实数f,使得〃7ー〃=2,直接写出。的取值范围.

27.（7分）如图，在等腰直角AABC中，AB=AC,Nfi4C=90。,点り是C4延长线上ー

点,点E是延长线上一点,且AD=BE,过点A作。E的垂线交。E于点ド,交的

延长线于点G.

（1）依题意补全图形;

（2）当NA£Z>=c,请你用含"的式子表示NAGC；

（3）用等式表示线段CG与4）之间的数量关系，并写出证明思路.

EE

备用图

28.（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形",N,给出如下定义:P为图形M上任

意一点,。为图形N上任意一点,如果P,。两点间的距离有最小值,那么称这个最小值

为图形M,N间的‘‘闭距离’’,记作特殊地,当图形M与图形N有公共点时,

规定d(M,N)=O.

已知点ん-2,0）,8（0,2あ）,C（2,0）,。（〇,附.

（1）①求d（点0,线段A8）；

②若メ（线段CD,直线AB）=1,直接写出机的值;

（2）。。的半径为r,若"（。0,AB）,,1,直接写出r的取值范围:

（3）若直线丫=3+わ上存在点E,使d（E,AA8C）=l,直接写出ん的取值范围.

2021年北京市昌平区中考数学二模试卷

参考答案与试题解析

ー、选择题（本题共16分,每小题2分）第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一

个

1.（2分）自2021年1月1日起,全市启动九类重点人群新冠疫苗接种工作.昌平设置46

个疫苗接种点位,共配备医务人员1200多名.截至3月28日18时,昌平区累计新冠疫苗

接种共完成1015000人次,整体接种秩序井然.将1015000用科学记数法表示应为（）

A.10.15xl06B.1.015xl06C.0.1015xl07D.1.015xl07

【解答】解:将1015000用科学记数法表示为:1.015x10，

故选:B.

2.（2分）下列几何体的主视图和俯视图完全相同的是（）

【解答】解:A、主视图是矩形,俯视图是圆,故本选项不合题意;

8、主视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项不合题意;

C、主视图是矩形,俯视图是三角形,故本选项不合题意;

つ、主视图和俯视图完全相同,是等圆,故本选项符合题意.

故选:D.

3.（2分）下列图形中是轴对称图形,但不是中心对称图形的是（）

【解答】解:ん、等边三角形是轴对称图形,但不是中心对称图形.故本选项符合题意;

3、圆既是轴对称图形,又是中心对称图形.故本选项不合题意:

C、正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形.故本选项不合题意;

ハ、正六边形既是轴对称图形，又是中心对称图形.故本选项不合题意.

故选:A.

4.（2分）实数〃,b,c,グ在数轴上对应的点的位置如图所示,下列结论正确的是（

）

-----«-----•J,•----------•1>

ab0cd

A.I«|<|/?IB.ad>0C.a+c>0D.d-a>0

【解答】解:由实数。,b,c,d在数轴上对应的点的位置可知，a<b<O<c<d,

:\a\>\b\,ad<0>a+c<0,d—a>0,

因此选项ハ正确，

故选:D.

5.（2分）如果ー个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是（）

A.3B.4C.5D.6

【解答】解:设多边形的边数为",根据题意

（«-2）-180°=360°,

解得〃=4.

故选:B.

6.（2分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD和正方形班户G是以原点0为位

似中心的位似图形,且相似比是丄,点A,B,E在x轴上,若正方形BEFG的边长为12,

【解答】解：•.•正方形和正方形班FG是以原点〇为位似中心的位似图形,且相似比

是丄，正方形跳尸G的边长为12,

3

/.BC//EF,—BC=4,

EF3

:.△〇BCS^OEF，

OBBC1BnOB1

OEEF3OB+123

解得,03=6,

.,.点C的坐标为（6,4）,

故选:B.

7.（2分）疫情期间进入学校都要进入测温通道,体温正常オ可进入学校,昌平某校有2个

测温通道,分别记为A、8通道,学生可随机选取其中的ー个通道测温进校园.某日早晨

该校所有学生体温正常.小王和小李两同学该日早晨进校园时,选择同一通道测温进校园的

概率是（）

1

A〇!r1D2

4323

【解答】解:画树状图如图:

开始

小李ABAB

共有4个等可能的结果,小王和小李两同学该日早晨进校园时,选择同一通道测温进校园的

结果有2个,

.•.小王和小李两同学该日早晨进校园时，选择同一通道测温进校园的概率为2=丄，

故选:C.

8.（2分）世界各国温度的计量单位尚不统ー,常用的有摄氏温度（©和华氏温度（°F）两种,

它们之间的换算关系如表所示:

摄氏（单位。C）0123456

华氏（单位。F）3233.835.637.439.24142.8

那么当华氏度与摄氏度对应相等时的温度值是（）

A.32B.-20C.-40D.40

【解答】解：设华氏度y与摄氏度x的函数关系式是y=丘+わ,

試行解得一k'

5，

=32

即y与ズ的函数关系式是yg+32；

令y=x,

则x=—x+32，

5

解得,x=—40,

即当华氏度与摄氏度对应相等时的温度值是TO度.

故选:C.

二、填空题（本题共16分,每小题2分

9.（2分）代数式イ2X-4有意义时,x应满足的条件是x.2

【解答】解:由题意,得2x—4..0,

解得X..2.

故答案为:x.,2.

10.（2分）将一副三角板如图摆放,斜边んB与直角边のビ相交于点ド,则石=_60。

【解答】解:,・・NDA£；=Nど=45。,ZCAF=30°,

:.ZEAF=ZDAE-ZDAF=15°,

NBRE=44E+NE=15。+45。=60。,

故答案为：60°.

11.（2分）写出ー个比誤小的正整数是2

【解答】解:・・・4v8V9,

2<>/8<3,

.•.写出ー个比而小的正整数是2.

故答案为:2（答案不唯一）.

12.（2分）如图所示的网格是正方形网格,点A,B,C,ハ是网格线交点,则AABC的

面积与的面积大小关系为:S-C—M—SWB（填“〉”‘‘=”或‘'<"）•

【解答】解:•.•AB2=8,BCユ=2,AC2=10,

/.AB2+BC-=AC2,

「.AABC是直角三角形，

'''S^BC=xx272=2,5刖=；x2x2=2,

••^MBC=SAAB。’

故答案为:=.

13.（2分）方程组ドx+>=4的解为[=2

[x-y=2ーレ=0—

【解答】解:ド+»=%,

[x-y=2②

①+②,得3x=6,

解得:x=2,

把ス=2代入②,得2-y=2,

解得:y=。,

所以方程组的解是F=2,

レ=。

故答案为:ドーニ.

い=0

14.（2分）今年五月某中学举行一次“新冠”防疫知识竞赛,该校九年级1班、2班各选派

了6名学生参赛,为了全面了解、比较两个班级的参赛学生的实カ,请你根据表格成绩对他

们进行统计分析：

1班657070707582

2班557070758082

请问:%_=_1，S；—sb(填“〉”"=”或“<”)

【解答】解:...065+70x3+75+82=72,三=55+70x2+75+80+82=フ2,

66

1QC

2

s；=-x[(65-72)2+3X(70+72)2+(75_72)2+(82-72)]=—,

63

S；=_X[(55-72)2+2x(70+72)2+(75-72)2+(82-72)2+(80-72)2]=—,

63

..—A?29*<$2•

故答案为:=><.

15.(2分)有一条抛物线,两位同学分别说了它的ー个特点:

甲:对称轴是直线x=4；

乙：顶点到x轴的距离为2.

请你写出一个符合条件的解析式：y=2d-16x-34(答案不唯一).

【解答】解:设抛物线的表达式为：y=ax2+bx+c,

则其对称轴为直线x=-2=4,

2a

•.•顶点到ズ轴的距离为2,

额顶点坐标为(4,-2)或(4,2),

把顶点坐标代入抛物线解析式得：1&/+4シ+¢=12,

b，

,/---=4,

2a

即:2b+c=±2,

故满足这样条件的抛物线不唯一.

设4=2,当ル+c=2时,

a=2

则,わ=-16,

c=34

设。=2,当あ+c=-2时,

a=2

则,み=-16,

c=30

故其中一个符合条件解析式为:y=-2x2-16x+34.

故答案为:y=-2f-16x+34.答案不唯一.

16.（2分）盒子里有甲、乙、丙三种粒子,若相同种类的两颗粒子发生碰撞,则变成一颗

乙粒子;不同种类的两颗粒子发生碰撞,会变成第三种粒子.例如一颗甲粒子和一颗乙粒子

发生碰撞则变成一颗丙粒子,现有甲粒子6颗,乙粒子4颗，丙粒子5颗，如果经过各种两

两碰撞后,只剩下1颗粒子,给岀下列结论:

①最后一颗粒子可能是甲粒子;

②最后ー颗粒子一定不是乙粒子;

③最后一颗粒子可能是丙粒子.

其中正确结论的序号是:①②③.

【解答】解;由题目知每次碰撞都会减少ー个粒子,现在共有15颗粒子，碰撞14次后只剩

!颗粒子，

（1）每次碰撞后乙粒子的数量增多或者减少一个，题目中开始有8颗乙粒子，14次碰撞之

后剩余的乙粒子也是偶数不可能是1个;

（2）每次碰撞之后,甲,丙粒子的总数不变或者减少两个，题目中甲和丙粒子之和为11

个，无论碰撞多少次甲和丙都没有了是不可能的,

综上,剩下的粒子可能是甲或丙不可能是乙,

故答案为;①②③.

三、解答题（本题共68分，第17-22题,每小题5分,第23-26题,每小题5分,第27-28

题,每小题5分）解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程

17.（5分）计算;V8-（-y'+|-2|-4sin45o.

【解答】解;原式=2竝ー2+2-4x也

=20-2+2-2忘

=0.

4x-6<2x

18.（5分）解不等式组:3X-2x,并把解集表示在数轴上.

----->—

I53

【解答】解:解不等式4x-6v2x,得:xv3,

解不等式ユ口>そ,得:x>3,

532

则不等式组的解集为ユVx<3,

将不等式组的解集表示在数轴上如下:

------------------------------------6-»

-10132厂

2

19.（5分）己知づ+x—l=O,求代数式（3x+l>-x（x-2）的值.

【解答】解:（3x+l）2—x（x-2）

=9ギ+6x+1-+2x

=8x2+8x+1,

,.■X2+x-l=O,

.'.X2+X=1,

.,.原式=8（x2+x）+1=9.

20.（5分）下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角的2倍”的尺规作图过程.

已知:NAOB.

求作:ZADC,使/AQC=2NAO8.

作法：如图,

①在射线OB上任取一点C：

②作线段OC的垂直平分线,交。4于点ハ,交OB于点E,连接ハC.

所以厶。C即为所求的角.

根据小明设计的尺规作图过程,

（1）使用直尺和圆规,补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面证明（说明：括号里填写作图依据）.

证明：•.•。后是线段OC的垂直平分线，

:.OD=_DC_(),

;.ZAOB=(),

ZADC=ZAOB+ZDCO，

:.ZADC=2ZAOB.

A

（2）证明:•.•即是线段OC的垂直平分线,

:.OD=DC（线段垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等），

:.ZO=ZDCO（等边对等角），

■.■ZADC=ZO+ZDCO（三角形任意一个外角等于与它不相邻的两内角的和），

.-.ZADC=2ZAOB,

故答案为线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等:三角形任意ー个外角等于

与它不相邻的两内角的和.

21.（5分）已知关于x的一元二次方程ガー4イ+。=0有两个不相等的实数根.

（1）求〃的取值范围;

（2）请你给出ー个符合条件的。的值,并求出此时方程的解.

【解答】解:（1）•.•关于x的一元二次方程バー4x+a=0有两个不相等的实数根.

△=42-4x1xa>0,

解得a<4.

(2)由(I)知,实数a的取值范围为a<4,

故取a=3,

则ザー4イ+3=0,即(X-3)(X-1)=0,

解得,キ=3,々=1.

22.(5分)如图,矩形/1BCハ,延长位)至点ド，使。ド=4),连接AC,CF,过点A作

AE〃CF交C。的延长线于点E,连接EF.

(1)求证:四边形AC/花是菱形;

(2)连接らE交AD于点G.当AB=2,tanNAC3=’时,求BE的长.

2

【解答】解:(1)证明:•.•矩形ABCD,

.•.ZADC=90。，

ムド丄C£,

・;DF=AD,

:.AE=EF,AC=CF,

:.ZAED=ZFED,

・・・AE//CF,

：.ZAED=ZECF,

.\ZFED=ZECF,

:.EF=CF,

:.AE=EF=AC=CF,

.♦.四边形AC正是菱形;

(2)解:如图,

B

­.•矩形ABCD,

r.ZABC=N3CE=90°,CD=AB=2,

由（1）知四边形ACFE•是菱形,

.\CD=DE=2,

:.EC=4,

-.AB=2,tanZACB=-,

2

:.BC=4,

BE=y/BC2+CE2=4&.

23.（6分）为了解昌平区两校学生对垃圾分类知识的掌握情况,从甲、乙两所学校各随机

抽取40名学生进行垃圾分类知识的测试,获得了他们的成绩（百分制）并对数据（成绩）

进行了整理、描述和分析.下面给出了部分信息.

«.甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如表:

成绩X50,,%v6060,,xv7070,,xv8080„x<9090M100

学校

甲4159102

乙6315142

（说明:成绩80分及以上为优秀,70~79分为良好,60~69分为合格,60分以下为不合

格）

b.甲校成绩在70,,x<80这ー组的是:70,70,71,72,73,74,76,77,79.

c.甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数如表:

学校平均分中位数众数

甲74.2n85

乙73.57684

根据以上信息,回答下列问题:

（1）写出表中”的值;

（2）估计乙校200名学生中，成绩优秀的学生人数是ー包ー；

（3）假设甲校200名学生都参加此次测试,并决定年级排名在前100名的学生都可以被评

为“垃圾分类知识标兵”荣誉称号，预估甲校学生至少要达到分可以获得此荣誉称号.

【解答】解:(1)甲校40名学生的成绩从小到大排列,处在中间位置的两个数,即第20、

第21位的两个数都是70,因此中位数是70,即〃=70;

(2)200xざジ=80(人)，

40

故答案为:80；

(3)由甲校学生成绩的中位数是70分,即一半学生在70分以上,一半学生在70分以下，

200名学生中的前100名,即一半获奖,因此至少要在70分,

故答案为:7〇.

24.(6分)在平面直角坐标系xの中，反比例函数y=丄的图象与直线ハy=-x-2交于点

X

A(a,-4),直线/与x轴交于点B.

(1)求。,人的值；

(2)在y轴上存在一点。,使得^^=3，求点C的坐标.

【解答】解:(I)将点&“,-4)的坐标代入y=-x-2中,

得-4=一a—2,

解得a=2；

.,.点A(2,-4),

将点A(2,-4)的坐标代入反比例函数y=丄中,

X

得ん=2x(—4)=-8；

答:a»ス的值为2,-8;

(2)当y=0,—x—2=0»解得ス=—2,

.•・点B的坐标为(一2,0).

设。(〇"),

丁SAAB。=3,

.-.-x|/+2|x2+-x|r+2|x2=3,

22

即ル+2|=—,

../=ー丄或ーエ,

22

/.C(0,—)或C(0,—).

22

25.(6分)如图,AB为〇〇直径,点。,ハ在。〇上,且CD=C4,过点、C作CE//BD,

交AB延长线于点S.

(1)求证:CE为〇〇切线;

(2)过点C作C尸丄AE交亜于H点,NE=30。,CH=6,求3石的长.

•/CD=BD,

：.OC±BD9

•：CE/IBD,

.•.0C丄CE,

..CE为〇〇切线;

(2)解:在RtACEO中,ZE=30°,

/.ZEOC=60°,

・・・OB=OC,

.•.ABOC为等边三角形,

:ZCBO=ZBCO=60°.

•,BD±OC,CF±OB,

/.ZCBD=ZOCF=/BCE=30°,

/.ZCKH=ZCHK=ZKCH=60°,BC=BE,

:.CK=CH=6,

在RtABCK中,tanZCBK=tan300=—,

BCBC3

BC=BE=6あ.

26.(6分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+3a(aホ0)与x轴的交点为点4(1,0)

和点3.

(1)直接写出抛物线的对称轴和点8的坐标;

(2)分别过点〇)和点QQ+2,0)作x轴的垂线，交抛物线于点M和点N,记抛物线在M,

N之间的部分为图象G(包括M,N两点).记图形G上任意一点的纵坐标的最大值是，”，

最小值为”.

①当4=2时，画出抛物线的图象,根据图象直接写出〃L”的最小值;

②若存在实数f,使得〃2ー〃=2,直接写出。的取值范围.

【解答】解:⑴•.•抛物线y=ox2+bx+3a(a#0)与X轴的交点为点4(1,0),

.\0=a+b+3a,

即と=-4a，

对称轴为直线x=-2=2,

2a

•••8点是函数图象与x轴的另ー交点,

根据对称性可得,8(3,0)；

(2)①当。=2时，函数解析式为ッ=2ボー8x+6(awO),图像如右图,

ュ对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,-2),

•.•由图像知当图象G为对称图形时，〃ー〃有最小值，P{t,0)Q(f+2,0),

「.2—t=1+2—2,

.二プ二1,

•.•点P(r,0)和点Q(r+2,0)作x轴的垂线，交抛物线于点M和点N,

.-.M(1,O),N(3,0),

•.•顶点坐标为(2,-2),

ュ〃，-〃的最小值为0-(一2)=2；

②•.•点尸(7,0)和点QQ+2,0)作x轴的垂线，交抛物线于点M和点N,

由(1)知人=Ta,

M(t9cit~-4af+3a),N(f+2,(i(t+2)~—4a(r+2)+3a),

又•.•抛物线对称轴为2,顶点坐标为(2,-2),

根据M、N点的相对位置和抛物线的开口方向可分以下四种情况讨论a的取值:

(I)当a>0,且f,,0时,即图象G在对称轴左侧时,

此时M点的纵坐标最大,N点的纵坐标最小,

:.a广—Acit+3a-[a(f+2)~-4a(t+2)+3a]=2,

解得[=lー丄,

2a

又,,・厶,0,a>0,

1----,,0a>0,

2a

2

(II)当a>0,且に.2时,即图象G在对称轴右侧时,

此时N点的纵坐标最大,M点的纵坐标最小,

a.(t+2)2—4〃(/+2)+3a—(a广—A-at+3a)=2,

解得f=1+—,

2a

又・.・ム.2,0>0,

1L

1H-..2_LLa>0,

2a

2

(III)当a>0,且〇<ム,1时,即最低点是图形顶点时且M点纵坐标大,

此时M点的纵坐标最大,当x=2时的纵坐标最小,

m=at2—467r+3a,

n=4a—Sa+3a=—a,

即at2-467/+367-(-67)=2,

解得r=2土叵,

a

又・.,〇<ム,1,6Z>0,

/.f=2-----,

a

即〇<2ー叵,,

1,

a

!へ

—„6T<2,

(IV)当。>0,且1</<2时,即最低点是图形顶点时且N点纵坐标大,

此时N点的纵坐标最大,当ス=2时的纵坐标最小,

?.m=a(t+2)2-4a(t+2)+3。,

n=4a—8a+3a=—a

即a(t+2)2一4a(t+2)+3〃ー(ー。)=2,

解得"=2,

a

X,.,1</<2,a>0,

I2グ

/.1<—<4,

a

!へ

2

同理可得当。<0时,-2,。<0也符合条件,

综上,。的取值范围为0<も2或ー2,。<0.

27.(フ分)如图,在等腰直角AABC中,AB=AC,/弘。=90。,点。是C4延长线上ー

点,点E是Aド延长线上ー点,且ん)=お石,过点A作。E的垂线交クE于点ド,交8C的

延长线于点G.

(1)依题意补全图形;

(2)当/A石。=a,请你用含。的式子表示/AGC；

(3)用等式表示线段CG与4)之间的数量关系,并写出证明思路.

EE