2021-2022学年吉林省洮南市高一年级上册学期第三次月考数学试题含答案

2021-2022学年吉林省济南市第一中学高一上学期第三次月考数学试

题

一、单选题

1.函数/（月=^+"7彳的定义域为（）

1gX

A.（0,2]B.（0,2）C.（0,1）（1,2]D.（y,2]

【答案】C

【分析】对数的真数大于零，分母不为零，偶次根式要求被开方式大于等于零，依据以上三点，列

不等式组求解即可.

【详解】欲使函数有意义，

x>0x>0

则,IgXHO,即，XHl

4-2x>0[x<2

解得Xe（O,l）51,2]

故选：C.

2.^log2[log05（log2x）]=0,则x的值是（）

A.72B.2C.yD.1

【答案】A

【解析】根据对数的基本性质log“1=0,log,,”=1,解方程即可求出x的值.

【详解】因为1%口呜）.5（1。82刈=0,所以IOgo.5（bg2X）=l，

所以k）g2X=0.5,所以x=0.

故选：A

3.已知则函数尸诡+6的图像必定不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】根据指数函数的图象结合图象的平移可得正确的选项.

【详解】因为故y="的图象经过第一象限和第二象限,

且当X越来越大时，图象与X轴无限接近.

因为〃<-1,故丫="的图象向下平移超过一个单位，故y=/+b的图象不过第一象限.

故选：A.

4.若lg“，Igb是方程2/-4x+l=0的两个根，则1的值等于()

A.2B.』

2

C.4D.-

4

【答案】A

lga+lgb=2

【详解】Iga,Igb是方程—4x+l=0的两个根，贝IJ,…1lg=(lga-lgZ?)2=(lg

lga-lg/?=-

a+lgZ?)2—41galgh—2z—4x—=2.

故选A

点睛：本题考查对数的运算性质，求解的关键是熟练掌握对数的运算性质，以及一元二次方程的根

与系数的关系，熟练应用Igf=楣。-怆6是关键.

b

5.若2*-2><3-*-37,则()

A.ln(_y-%+l)>0B.ln(y-x+l)<0C.ln|x-y|>0D.In|x-^|<0

【答案】A

【分析】将不等式变为2、-3T<2>-3-,根据/(。=2'-3T的单调性知x<y,以此去判断各个选

项中真数与1的大小关系，进而得到结果.

【详解】由2"-2><3-'-3:'得：2*-3一*<2'-3->',

令/⑺=25、

y=2、为R上的增函数，y=3-*为R上的减函数，二/⑺为R上的增函数,

Qy—x>0,.-.y-x+l>l,.1.ln(y-x+l)>0,则A正确，B错误；

Q|x-y|与1的大小不确定，故CD无法确定.

故选：A.

【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单

调性得到的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.

6.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，国家有关规定：驾驶员血液中的酒精

含量大于或等于20mg/100ml,小于80mg/10()ml的驾驶行为为酒后驾车，80mg/100ml及以上认定

为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了100mg/100ml.如果

停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过()小时才能驾

驶.(参考数据Ig5分。7,1g7®0.85)

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】列出停止喝酒后”、时血液中酒精含量的函数解析式，使其小于20mg/100ml,并使用对数

运算知识进行求解即可.

【详解】设某驾驶员血液中的酒精含量上升到了l()()mg/l(X)ml,停止喝酒后f小时(reN"),血液中

酒精含量为丫mg/100ml,则y=100x(l_30%)',

当血液中的酒精含量小于20mg/100ml,才能驾驶，

y=100x(1-30%/<20,二0,7<0,2,

两边同时取对数,得1g07<1g0.2,...fig0.7<1g0.2,

.­.Mg0.7x—!—1

Vlg0.7<lgl=0,>lg0.2x

lg0.7lg0.7igo5

.「I。，弓_]glg5_"0.7J4

,■lg0.7-,2-lg7-lgl0~0.85-1-3

e10

,**reN*,

的最小值为5,即至少经过5小时，该驾驶员才能驾驶机动车.

故选：C.

7.若/(司=怆仁-2依+1+4)在区间(-名1]上递减，则”的取值范围为()

A.[1,2)B.[1,2]C.[1,+e)D.[2,+oo)

【答案】A

【分析】令〃=1-2如+1+4,根据题设条件可得该函数在(—[]为减函数且恒正，从而得到。的

取值范围.

【详解】^u=x2-2ax+}+a>则f(〃)=lgw,

配方得"=x2-2ar+l+a=(x-a)2-a2+a+l,故对称轴为x=a,如图所示:

u

由图象可知，当对称轴a并时，〃=/_2以+1+4在区间(Y0』上单调递减，

又真数f-2ar+l+a>0,二次函数〃-2ar+l+a在(TO』上单调递减，

故只需当x=l时，若x2-2ar+l+a>0,

则X€(YO,1］时，真数丁-2"+1+°>0，

代入x=l解得〃<2,所以。的取值范围是1,2).

故选：A.

【点睛】本题考查与对数函数有关的复合函数的单调性，此类问题应根据同增异减来判断，注意真

数大于零的要求，本题属于中档题.

|lgA：|,0<A：<10

8.已知函数f(x)=<1，若a,b,。均不相等，且/(。)=f(b)=f(c),则,a的取值范

——x+6,x>10

2

围是()

A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)

【答案】C

【分析】画出函数图象，根据/(a)=/3)=/(c),不妨设a<b<c,结合图象可求出范围

【详解】函数的图象如图所示，

不妨设a<%<c,则一怆4=3人=-3。+6€(0,1),

所以而=1,0<--c+6<1,

2

所以昉=1,10<c<12,

所以1()〈必c<12,

故选：C

二、多选题

9.下列命题正确的有()

A.函数〃x)=lnx+x-2有1个零点.B.¥=的最大值为1

C./(x)=lgx2与g(x)=2lgx是同一函数.D.f(x)=lg上」是奇函数.

【答案】ABD

【分析】先判断函数的单调性，又因为/(l)=T<0,〃2)=ln2>0,结合零点的存在性定理，即

可判断A选项；令^=国20,根据指数函数的图象和性质，可知y=在定义域内单调递增，从

而可求出函数的最大值，即可判断B选项；分别求出对数型函数的定义域，并结合同一函数的定义,

即可判断C选项；先求出函数的定义域，再利用定义法判断函数的奇偶性，即可判断D选项.

【详解】解：对于A,可知/(x)=lnx+x—2的定义域为(0,+8),

因为y=lnx在(0,+8)上为增函数，y=x-2在定义域内为增函数，

二f(x)=Inx+x-2在(0,+8)上为增函数，

又因为/⑴=-1<0,/⑵=ln2>0,

所以〃x)=lnx+x-2有1个零点，故A正确；

对于B,令f=W20,则》=(£)’在定义域内单调递增，

=1'当且仅当f=o时，即x=0时取等号，

.•.y=(g)"的最大值为1,故B正确;

对于C，f(x)=lg/的定义域为卜|"0},g(x)=2lgx的定义域为{x|x>0},

所以两个函数的定义域不同，故它们不是同一函数，故C不正确;

对于D,由二X—」\>0可解得：X<—1或X>1,

x+1

所以f(x)=lg含■的定义域为(3,-l)U(l,y),关于原点对称,

:

x/(力+/(一力=坨x二+1\+怆-二x+41=地x*+41+也x二-1

x—1x+1

=lg=lgl=o,

x+1x-\

所以“-工人-”切，故/(x)=lg£1是奇函数，故D正确.

故选：ABD.

10.为了得到函数y=ln(ex)的图象，可将函数y=lru'的图象()

A.纵坐标不变，横坐标伸长为原来的e倍

B.纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1

e

C.向上平移一个单位长度

D.向下平移一个单位长度

【答案】BC

【分析】根据函数图像变换求得结果.

【详解】解：由题意函数y=lnx的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的

e

可得到函数y=ln(〃)的图象，则A错误，B正确；

因为y=ln(dr)=lnx+1,

则将函数了=Iru•的图象向上平移一个单位可得到函数y=ln(ex)的图象，

则C正确，D错误.

故选：BC.

11.若直线y=3a与函数y=|/-l|(a>0,且〃=1)的图象有两个公共点，则。可以是()

A.2B.-C.—D.-

348

【答案】CD

【分析】分类讨论作出两函数的图象，数形结合可得.

【详解】由题意，直线y=3a与函数丫=|优-且。二1)的图象有两个公共点,

⑴

当Ocacl时,)'=|优-1|的图象如图(1)所示,

由已知I得0<36/<1>0<tz<—；

当时，y=|优-11的图象如图(2)所示,

由已知可得0<3a<l,

0<a<1,结合a>l可得a无解.

综上可知。的取值范围为(Of).

故选：CD.

12.某医药研究机构开发了一种新药，据监测,如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每

毫升血液中的含药量y(微克)与时间f(小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线.据进一步测

定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则()

B.注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时

C.注射该药物5小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克

O

31

D.注射一次治疗该病的有效时间长度为5瓦时

【答案】AD

【分析】利用图象分别求出两段函数解析式，再进行逐个分析，即可解决.

4/(0„t<1)

【详解】由函数图象可知丫=nr、，、，

当f=l时，y=4,即(/)'-"=4,解得a=3,

4/(0„Z<l)

y=h-/八，故A正确，

旧(口)

药物刚好起效的时间，当41=0.125,即，$，

药物刚好失效的时间《尸=0/25,解得f=6,

131

故药物有效时长为6-五=5记小时，

药物的有效时间不到6个小时，故8错误，O正确；

注射该药物:小时后每毫升血液含药量为4x：=0.5微克，故C错误，

OO

故选：AD.

三、填空题

13.函数产。川-3与g(x)=log“(x+%)+〃(a>0且的图象经过同一个定点，则初的值是

【答案】!##0.25

4

【分析】先求出指数型函数所过定点，再由对数型函数过该定点求出实数加，”的值即可.

【详解】当a>0且。工1时，a°为定值1,

故令x+l=0,则x=-l,此时y=优句-3=“°-3=1-3=-2,

函数y=a用一3(。>0且awl)的图象过定点(一1,一2),

由已知，函数g(x)=log«(x+m)+"(4>0且4/1)的图象也过定点(一1,一2),

...g(-l)=10g“(-l+，")+〃=-2,

;当。>0且awl时,log/为定值0,

-1+〃2=1m=2

，解得

logfll+n=-2n=-2

、1

mn=2^=—

4

故答案为：：

4

14.若函数f（x）=3-k）g2（x+a）的反函数的图象经过点（1,0）,则”

【答案】4

【分析】由反函数所过点求得了（力图象所过点，由此求得”的值.

【详解】依题意函数/*）=3-1■2。+〃）的反函数的图象经过点（1，0），

所以的图象经过点（0,1）,

所以"0）=3-log2a=1,log2a=2,a=4

故答案为：4

15.已知函数〃力=|2"-2|,若/⑷=/（呵“司）,则a+6的取值范围是一

【答案】（一8,2）

【分析】画出函数图象，可得〃<1<从2"+2”=4,再根据基本不等式可求出.

【详解】画出/（x）的函数图象如图，不妨设

因为F（a）=〃b）（a"）,则由图可得

.-.|2a-2|=|2fr-2|,可得2-2"=2〃一2,即2"+2〃=4，

又4=2"+2"N2衍，当且仅当。=匕取等号，因为。，所以等号不成立,

所以解得a+b<2,即a+b的取值范围是（—8,2）.

故答案为：（-8,2）.

16.已知a>0,且“1.若函数/(x)=/a+3有最大值，则关于x的不等式］og“(x2_5x+7)>0的

解集为.

【答案】(2,3)

【分析】由复合函数单调性可确定“=x=2x+3在(T,1)上单调递减，在(1收)上单调递增；由函

数有最大值可知/(“)="'单调递减，得到0<“<1；根据对数函数单调性可将不等式化为

0<X2-5X+7<1,解不等式求得结果.

【详解】Q/(X)=/3+3,\/(x)定义域为R

(3〃=*2一2》+3在(-^/)上单-调递减，在&+8)上单调递增

/(X)有最大值，.■./(")=/需在R上单调递减，

由log“(x2-5x+7)>0,得0</-5工+7<1,解得：2cx<3

..•不等式的解集为(2,3)

故答案为：(2,3)

【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数单调性求解函数不等式，涉及到复合函数单调性的求解、

根据函数有最值求解参数范围等知识，解题的关键是通过复合函数的单调性确定函数有最值时，对

数的底数所处的范围，再利用对数函数的单调性解不等，考查学生的转化能力与运算求解能力，属

于中档题.

四、解答题

17.求下列各式的值：

(I)(lg2)2+lg5xlg20+lg0.l

门5_1

(2)1-1+log,5x厩9-0.0273

17

【答案】(1)0；(2)--

【分析】(1)根据对数运算法则计算即可得答案；

(2)根据对数运算与指数运算法则运算求解即可.

【详解】解：(1)

(lg2)2+lg5xlg20+lg0.1=(lg2)2+lg5xlg(10x2)+lgl0^

=(lg2)2+lg5+lg51g2-l=(lg2+lg5)lg2+lg5-l=lg2+lg5-l=1-1=0；

门、啕5

1lofe,31।1+2c10"

(2)l-l+log35xlog59-0.027=2+log,9-(0.3)=-+2-0.3-'=5-y=-^

18.(1)已知lg2=〃?，Ig3=n,试用机，“表示logs12；

x2+x~2

(2)已知x+x-i=3(0<x<l),求.

户+x5

【答案】(1)log,12=^^;(2)拽.

【分析】(1)利用换底公式即可求解.

(2)利用指数的运算即可求解.

【详解】(1)由换底公式得logsl2=f£=*^W=]*.

1g51-Ig2\-m

(2)由于(，+工")2++2=5，且Ovxvl,所以户+”=6；

XX2+X-2=(X4-X-1)2-2=32-2=7；

x2+x-27_7>/5

所以-Iu

X2+x2

19.已知函数/(x)=6?优(〃)为常数，a>0,且a")的图象经过点A。,6),8(3,24).

(1)试确定函数/(x)的解析式；

(2)若关于x的不等式(^)+(t)-加20在区间』上恒成立，求实数”的取值范围.

【答案】(l)”x)=3x2、

⑵IT

【分析】（1）根据题意，得到方程组,3»，求得〃力的值，即可求解；

［ba'=24

（2）根据题意转化为函数y=《J+（gj在区间（Y,1］上的最小值不小于加，结合函数的单调性求

得最小值，即可求解.

【详解】（1）解：因为函数/6）=〃?"的图象经过点41,6）和3（3,24）,

［ab-6

可得，,〜，结合”0,且”1,解得。=2,6=3,

［b-a=24

所以函数“X）的解析式为〃X）=3X21

（2）解：要使;|,+X

?根在区间（—』］上恒成立,

只需保证函数在区间（-8』上的最小值不小于用即可，

因为函数y=（gJ+在区间（ro,1］上单调递减，

所以当x=l时，y=（gj+（g）,取得最小值，最小值为.，

所以只需,即可，即实数”的取值范围为1-8,：.

6I6

20.己知函数/（x）="（。>0且。工1）在区间［-2,4］上的最大值是16,

（1）求实数。的值；

（2）假设函数g（x）=log2，-3x+训的定义域是R,求不等式1。身（1-2，）41的实数「的取值范围.

【答案】⑴a=2或。；（2）.

4L22；

【分析】（1）当0<"1时，由函数/（x）在区间［-2,4］上是减函数求解;，当0>1时，函数“X）在区

间［-2,4］上是增函数求解；

（2）根据g（x）=log2（x2-3x+2a）的定义域是R,由/-3x+2a>0恒成立求解.

【详解】（1）当0<。<1时,函数“X）在区间［-2,4］上是减函数，

因此当％=-2时，函数“X）取得最大值16,即。-2=16,

因此Q=L

4

当”>1时，函数“X）在区间［-2,4］上是增函数，

当x=4时，函数/（x）取得最大值16,即，=16,

因此4=2.

（2）因为g（x）=log2，-3x+2a）的定义域是R,

即丁-3*+2。>0恒成立.

则方程d_3x+2。=0的判别式A<0,即（—3）2-4x2«<0,

9

解得

O

又因为或4=2,因止匕4=2.

代入不等式得log2（l-2r）<l,g|J0<l-2r<2,

解得一彳4f<—,

22

因此实数/的取值范围是

21.已知函数/（月=盘.

（1）写出〃x）的定义域；

（2）判断“X）的奇偶性；

（3）已知/（x）在定义域内为单调减函数，若对任意的fe/?,不等式/（产-2r）+/（2--切<0恒成

立，求实数女的取值范围.

【答案】（1）{^\xeR}（2）〃x）为奇函数.（3）

【分析】（1）根据函数成立的条件即可求出〃x）的定义域；

（2）根据函数的奇偶性的定义即可判断/（x）的奇偶性；

（3）利用函数奇偶性和单调性的关系，将不等式进行转化即可.

【详解】解：（1）5'>0,5*+1>0恒成立，

:・R,

即/（X）的定义域为{x|xw/?}.

(2)•.•由⑴得“X)的定义域为｛小wR｝关于原点对称,

.\5一,-11-5*5'-1、

.•〃-x)=EK=-F7