2021-2022学年安徽省滁州市定远县高一年级下册学期期末考试数学试题1含答案

2021-2022学年安徽省滁州市定远县高一下学期期末考试数学试题

一、单选题

1.《孙子算经》中有这样一个问题：“今有丁一千五百万，出兵四十万.问科一兵？翻译成现代文

就是：“今有1500万壮丁，要出兵40万.问几个壮丁中要征一个兵？”这个问题体现了中国古代的

概率思想，则对于其中任意一个壮丁，被征为士兵的概率为()

_2_1273

A.75B.15c.15D.75

【答案】A

【分析】根据古典概率模型即可得解.

【详解】依题意：要从1500万壮丁中选出40万,

c402

r—-------=—

任意一个壮丁被征为士兵的概率为150075.

故选：A

2.为了测试小班教学的实践效果，刘老师对A、B两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统

计如图所示；记本次测试中，A、8两班学生的平均成绩分别为乙,与，A、8两班学生成绩的

方差分别为S：,s；,则观察茎叶图可知()

Z班8班

458

35136

426245

6884673340

28651832

5291

X>X

A.XA<XB,B.ABtS；<s；

X<XX>XS>S

C.^B,D.ABtAB

【答案】B

【分析】观察茎叶图，根据平均数和方差的定义即可得到答案.

【详解】根据茎叶图中数据的分布可得，A班学生的分数多集中在［70,80］之间,

8班学生的分数集中在&0，70］之间，所以

相对两个班级的成绩分布来说，A班学生的分数更加集中，B班学生的分数更加离散,

所以s：＜

故选：B

【点睛】本题主要考查平均数和方差，同时考查了茎叶图的应用，属于简单题.

5

_,2(P2Z=------------

3.设i是虚数单位，复数4=「一，复数24+3i,则4—在复平面上对应的点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【分析】根据虚数单位的性质和复数的运算公式求出中句的代数形式，由此确定

.20”,55(4-3i)43.43.

年1mz一■一『不

【详解】1)

(-塔

所以z「Z2在复平面内对应的点的坐标为I55人该点在第二象限，

故选：B.

4.已知。为“8C的外心，网=电卜4=10板,若彩=+y就，且32x+25户16,则

网=()

A.8B.1°C.12D.14

【答案】A

【分析】把言•存，芯算两次，得出苍卜及衣•刀的关系，从而求得'J，砺然后可

得结论.

【详解】作于。，OEJ.AC于E,因为。是08c外心，所以，2E分别是中点,

加.万=丽园cosZ.OAB=画•丽=；|阿=128

------、--2---------------------------

乂=-----+---------=-----+yAB-AC^ABAC=t,则

AO-AB=256x4-256x+y，=128,①

^o-^c=-|^c|2=100

同理2lI

AO-AC—(xAB+yAC)-AC=xAB-AC+yAC=xt+200y

所以x/+200y=100,②

又32x+25y=16,③，即256x+200y=128,由①得f=200,

代入②得200x+2°°〉=l0°,X+J?=i,④，

x=—,y=0

由③④联立方程组解得2',

所以而=》在+再=那|阿=义两=8

故选：A.

5.设向量。=0'-3）,b=（m,2-m）t若£/方，则实数，”的值为（）

1_1

A.2B,-2C.2D.-1

【答案】D

【解析】利用向量共线的坐标表示即可求解.

【详解】向量、0，一3）,……）,

若£4,则lx（2-〃?）-（-3>〃=0,

解得”?=T.

故选：D

【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示，需熟记关系式，属于基础题.

C=—rsin[工+/]=

6.在“8C中，若。=1,6,b=j3,则U/（）

A.2B.2C.2D.2

【答案】D

.（兀八

sin—+A

【分析】根据余弦定理求边C,从而求出角A,结合变名的诱导公式即可求出12J的值

c2=a2+b2-2abcosC=l+3-2xlx石cos—=1

【详解】由余弦定理可得6，即c=l,

A=C=%

又因为。=1,所以6,

•乃

sin—+力4=cosA=

(2

所以T

故选：D.

7.如图所示，河边有一座塔°尸，其高为20m,河对面岸上有“，8两点与塔底。在同一水平面上，

在塔顶部测得"，B两点的俯角分别为45。和30",在塔底部°处测得4B两点形成的视角为150。，则

48两点之间的距离为（）

D.105/42m

【答案】c

【分析】求出和8°,再根据余弦定理可求得结果.

【详解】在直角三角形中，/尸/°=45°,可得Z°=P°=20m,

BO=P—=20鬲

在直角三角形尸80中，/尸20=30",可得tan300,

又NAOB=150°,af^AB2=AO2+BO2-2AOBOCOSZAOB

（⑸

=400+400x3-2x20x2073x--=2800

<2）,可得N8=20gm,

所以48两点之间的距离为20疗m

故选：C.

8.已知正四面体/8CZ）的表面积为2月，且A、B、C,。四点都在球。的球面上，则球。的体

积为（）

£百1r

r-.......7T------71

A.2W兀B.4C.2D.3兀

【答案】C

【分析】由正四面体的性质特征，可知它的各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为

则根据正四面体48co的表面积即可得出。=应，从而得出对应的正方体的棱长为1,而正方体的

外接球即为该正四面体的外接球，由正方体的外接球性质可得出外接球的半径为2,最后根据球

的体积公式即可得出结果.

【详解】解：正四面体各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为“，

S=4x—xaxa2—=y/3a2-25/3

所以该正四面体的表面积为2V,

所以“=&,又正方体的面对角线可构成正四面体，

若正四面体棱长为血，可得正方体的棱长为1,

所以正方体的外接球即为该正四面体的外接球，

所以外接球的直径为由，半径为2,所以球。的体积为3I2）2.

故选：C.

9.如图，E是正方体/8S-48£已的棱GA上的一点E（不与端点重合），即〃平面第主，

则（）

CD、E=2EC{DD}E=EC]

【答案】D

【分析】设8Cn8G=°,可得平面8GAe平面=由于8〃//平面4",根据线面平

行的性质可得即可得到结果.

【详解】如图，设Acng=。，可得面8CQC面与CE=OE

...BDJ1平面B©E,根据线面平行的性质可得D.B//E0,

•••°为8C的中点，.•上为CQ中点，...*=££

故选：D.

Djg工

AB

旦

10.正四棱锥PUZ8CD的底面积为3,体积为2,E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为

()

P

;

AB

7T7171n

A.6B.3C.4D.2

【答案】B

【分析】连接E°、PO,可知E°〃尸/,求出E°、8°长度后求出tanNOEB即可得解.

【详解】如图，连接EO,尸°,

二

AB

y/21

PO=—fr-EO=-PA

由题意得2,AB=j3,EOUPA豆2,PO上面4BCD,

产7,PA=6,..吁;「A*,

tanZ.OEB==-?=-=上

OEV6

又8OJ./C,，8。」面P/C,，8OJ_OE,.-.2

NOEB=-

/.3.

故选：B.

【点睛】本题考查了异面直线夹角的求法，属于基础题.

11.如图，在正四棱柱"SCO-48GA中，底面Z8CZ）是边长为1的正方形，尸为44上一点，

ZAPD=—

且满足2,4=尸。，则以四棱锥尸一/2。外接球的球心。为球心且与平面P8C相切的

球的体积为（）

后兀垂>兀4加兀4垂!兀

A.万B.而C.D.-^鼠

【答案】B

收

PA=PD=—

【分析】在直角A4。中，求得2,结合球的性质，求得0即为四棱锥P-48c。的外

OM=—尸

接球的球心，分别连接尸MN。,。。，过点。作WPQ,证得W平面尸N。，求得2V5,

厂_[

得到所求球的半径26，结合体积公式，即可求解.

【详解】在直角中，AD=\,PA=PD,可得尸片+尸斤=/。2,

PA=PB=—

即2,

过正方形N8CD的中心。作,平面Z8C。，

取的中点N,连接。N,则°NJ_平面尸月£>,

则直线0°八，=°,则°即为四棱锥尸-/BCD的外接球的球心，

分别连接PMN。，尸。，在△「叫中，过点0作。

又由8c/平面PNQ,可得OW8C,

因为8CnP0=Q,所以W平面尸8C,

一1V-1

OMOQPQ752后

又由"N。和A°OM相似，可得PNPQ,所以2

/■=OM=—

所以。为球心且与平面P8C相切的球的半径为2V5

所以该球的体积为33

故选：B.

12.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍.实现翻番.为更好地了解该地区

农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图:

的总收入

建沙前”济匕入帕演比例二”♦然济也入出龙tt•愉

则下面结论中不正确的是

A.新农村建设后，种植收入减少

B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

【答案】A

【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M,根据题意，得到新农村建设后的经济收入为

2M,之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得

到其相应的关系，从而得出正确的选项.

【详解】设新农村建设前的收入为M,而新农村建设后的收入为2M,

则新农村建设前种植收入为0.6M,而新农村建设后的种植收入为0.74M,所以种植收入增加了，

所以A项不正确；

新农村建设前其他收入我0.04M,新农村建设后其他收入为0.1M,故增加了一倍以上，所以B项

正确；

新农村建设前，养殖收入为0.3M,新农村建设后为0.6M,所以增加了一倍，所以C项正确；

新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的30%+28%=58%>50%,所以超过

了经济收入的一半，所以D正确；

故选A.

点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的

信息即可得结果.

二、填空题

13.在三角形4BC中,角的对边分别是a,b,c,若c・sinc=asin"+(a+b)sin8,角C的角

平分线交边工2于点。，且CD=&a=2b,则边。的大小为.

【答案】

【分析】根据c.sinc=esin'+(a+b)sin8,利用正弦定理边化角求得4再利用

$=SKD+SBCD,可得至|j"=63+"),结合条件求得°力的值，利用余弦定理求得答案.

22

【详解】由Lsinc=esin"+(a+b)sinB可得：=a+b+ab

「a2+b2-c21

、、)cosC=---------------=——

^a2+b2-c2^-ab,所以lab2,

厂2兀

由于Ce(0㈤，故3,

—ahsin—=—b-CD-sin—+—tz-CD-sin—

故由S△迎=SACD+SBCD可得:232323

又CD=6,故。b=G(b+a),联立〃=2b,

a

解得2

c2=a2+b2-2abcosC=27+—+2x3A/3Xx—=

故4224

3匹

c=----

故2,

3折

故答案为：F

14.如图，在四面体力中，BD=2C,AC=2,M、N分别为8C、40的中点，MN=1,

则异面直线ZC与8。所成的角是

【答案】45。##4

【分析】取CO的中点E,连接ME,NE,即可得到NNEM即为异面直线/C与8。所成的角，再

由线段关系及勾股定理逆定理得到AMNE为等腰直角三角形，即可得解；

【详解】解：取°的中点后，连接加£,NE,因为M为8c的中点，N为的中点,

NE=-ACME=-BD

所以NE///C且2,MEHBDR2,

所以NNEM即为异面直线ZC与8。所成的角或其补角,

又BD=2贬,AC=2,MN=1,

所以NE=1,ME=g,所以ME?=MN?+NE2,所以NMNE=90。,

所以为等腰直角三角形，所以NNEM=45。；

故答案为：45。

15.某企业利用随机数表对生产的800个零件进行抽样测试，先将800个零件进行编号，编号分别

为001,002,003,....800从中抽取20个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：若从表中

第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号是.

32211834297864540732524206443812234356773578905642

84421253313457860736253007328623457889072368960804

32567808436789535577348994837522535578324577892345

【答案】522

【分析】根据随机数表的抽取方法从表中第6行第6列开始向右依次读数即可.

【详解】从表中第6行第6列开始向右依次读数为：

808（舍去），436,789,535,577,348,994（舍去），837（舍去），522,578,324,

所以得到的第6个样本编号是522,

故答案为：522

16.2021年湖南新高考实行“3+1+2模式”，即语文、数学、英语必选，物理与历史2选1,政治、

地理、化学和生物4选2,共有12种选课模式.今年高一小明与小芳都准备选历史与政治，假设

他们都对后面三科没有偏好，则他们选课相同的概率为.

【答案】3

【分析】求出基本事件的总数，以及他们选课相同包含的基本事件的个数，由古典概率公式即可求

解.

【详解】今年高一的小明与小芳都准备选历史与政治，假若他们都对后面三科没有偏好，

则基本事件有

（地，地），（地，化），（地，生），

（化，地），（化，化），（化，生），

（生，地），（生，化），（生，生）共9个，

他们选课相同包含的基本事件有：（地，地），（化，化），（生，生）共有3个，

所以他们选课相同的概率3

故答案为：3.

三、解答题

17.已知'ON）,'MT】）

（1）设3,书的夹角为生求cos。的值；

⑵若向量2+口与。一口互相垂直，求A的值

_V2

【答案】⑴10;

【分析】（1）根据平面向量的夹角公式即可解出；

（2）根据平面向量的坐标运算以及垂直的坐标表示即可解出.

a-b1x（-3）+2x1-1y/2

\/VMS-HV

【详解】⑴因为〉心雨4c°s。，所以|律EFxgy+J&M10

（2）由Z=（L2）,B=（-3,l）可得£+元=（1,2）+%（-3,1）=（1-3Z,2+〃），

”以=（1,2）-左（-3,1）=（1+3攵,2-”因为向量a+疡与〃一届互相垂直，

叵

所以0+疡）（1疡）=（1一3%）（1+3%）+（2+虫2/）=。，即"2=],解得：卜=土方.

18.在中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，a=3,6=2j3,,3.

（1）求J

cosA--]

（2）求I3J的值.

石+3及

【答案】（1）。=1;（2）6

【分析】（1）结合余弦定理列出方程，解方程即可求出结果；

（2）结合同角的平方关系求出sinB,然后利用正弦定理求出sinH,再次结合同角的平方关系求出

cos/,进而结合两角差的余弦公式即可求出结果.

12=9+C2-2X3XCX

【详解】解:（1）由余弦定理知〃=/+c2-2accos8即

整理，得C2+2C—3=0,解得c=l或-3（舍负），故c=l.

3x逑

由正弦定理知sin"sin5,即b2V33；

Zejo,外cosZ@

又a<b,所以I2九所以3,

cosf/—出〕=8s/cos&+sin/sin¥=^^

所以I3j336

19.甲、乙去某公司应聘面试.该公司的面试方案为:应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题,

按照答对题目的个数为标准进行筛选.已知6道备选题中应聘者甲有4道题能正确完成，2道题不能

2

完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是3,且每题正确完成与否互不影响.

（1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望；

（2）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大？

【答案】（1）甲、乙的分布列见解析；甲的数学期望2、乙的数学期望2；（2）甲通过面试的概率较

大.

【分析】（1）设出甲、乙正确完成面试题的数量分别为X,Y,由于X~"（6,3,4）,

I3人分别写出分布列，再求期望值均为2；

（2）由于均值相等，可通过比较各自的方差.

【详解】（1）设X为甲正确完成面试题的数量，y为乙正确完成面试题的数量,

依题意可得：X〜"（6,3,4）,

P（X=l）=gf4p（x=2）=笔二P（X=3）=^^=：

・・・x的分布列为：

X123

131

P---

555

131

£X=lx-+2x-+3x-=2

:.555.

一闾

p（y=o）=q|）$P（y=i）=c；2|=±=2

1279,

―1I闾吟号尸…:嗤闾*

.•・丫的分布列为:

Y0123

1248

P

279927

£；y=Ox—+1X-+2X-+3XA=2

...279927

222

£>Z=1x(l-2)+(2-2)xj+(3-2)x1=|

⑵5555,

2I2

DY=np(\-p)=3x-x-=-

vDX<DY,

・••甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大.

【点睛】本题考查超几何分布和二项分布的应用、期望和方差的计算，考查数据处理能力，求解时

注意概率计算的准确性.

20.如图，在四棱柱“8C°一/由GR中，点旧是线段BQ上的一个动点，瓦尸分别是5C,CM的中

点.

PG

Q)求证：EF〃平面BDRBI；

CG

(2)在棱8上是否存在一点G,使得平面GEF//平面8DR4?若存在，求出访的值；若不存

在，请说明理由.

3=1

【答案】(1)证明见解析；(2)存在；GD.

【解析】(1)连接BM,由中位线定理可得收〃8加，进而证明EF〃平面8。2与；

(2)当G为棱C。中点时，平面GEF〃平面8。"片，再由平面与平面平行的判定定理，即可证明结

论.

【详解】证明：(1)连接B",如下图所示，

:BE=EC,CF=FM,：.EF//BM,

又EFa平面BDD[B],BMu平面BDRB、,

.-.EF〃平面BDRBI:

(2)当G为棱8中点时，平面GE尸〃平面

理由如下：

,；E为BC中点，：.EG#BD,

又EG0平面BDD\B\,BDU平面BDD\B\,

...EG〃平面8加（4,又由⑴EF〃平面BDD圈,

CG

EGnE/7=E,平面GEF//平面BDD\B\,且GO

【点睛】本题主要考查线面平行的判定以及面面平行的判定，属于中档题.

21.某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以

额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买,则每个500元.现需

决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更

换的易损零件数，得下面柱状图：

Mitt

记X表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数》表示1台机器在购买易损零件上所需的费

用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数.

（I）若n=19,求y与x的函数解析式；

（n）若要求“需更换的易损零件数不大于””的频率不小于0.5,求