2021-2022学年安徽省滁州市定远县高二年级下册学期期中考试数学试题及答案

2021-2022学年安徽省滁州市定远县高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1.在等差数列｛4｝中，4=-9,a5=-\.记7；=4%…。"("=1，2,…)，则数列｛(,｝().

A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项

C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项

【答案】B

【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存

在最大项和最小项.

【详解】由题意可知，等差数列的公差”=写4=1^=2,

则其通项公式为：4,=4+(〃—1)4=-9+(”-l)x2=2〃-ll,

注意到a）<a2<a3<a4<a5<Q<a6=I<a7<

且由4<0可知Z<0（i26,ieN）,

由7=《>1（摩7,ieN）可知数列｛7；｝不存在最小项,

li-\

由于q=_9,2=-7,。3=-5,6Z4=-3,%=-1,%=1,

故数列｛北｝中的正项只有有限项：=63,(=63x15=945.

故数列｛4｝中存在最大项，且最大项为7?

故选：B.

【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知

识，属于中等题.

2.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里

斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿

基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟先他10米，

当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟先他1_所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，

若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.1米时，乌龟爬行的总距离为()

【答案】D

【分析】根据题意，是一个等比数列模型，设苗=100,9=（，4=0.1,由

a.=0.1=100x,解得〃=4,再求和.

【详解】根据题意，这是一个等比数列模型，

设q=100,q=^,an=0.1,

/1、〃-1

所以a=0.1=100x—,

解得〃=4,

ioo[i-f—

所以S=刍（1一。）=[1=10,T.

11-q,190

1-----

10

故选：D.

【点睛】本题主要考查了等比数列的实际应用，还考查了建模解模的能力.属于中档题.

3.已知等比数列也｝的各项都为正数,且当n22时有,则数列｛ln«„｝的前20项和为（）

A.190B.210C.220D.420

【答案】B

【分析】根据等比数列的性质可得%=e",即可求出数列｛In%｝的通项，最后根据等差数列求和公

式计算可得；

【详解】解：依题意等比数列｛%｝的各项都为正数，且当“22时有一。,1。用=/"

所以aj=e2",所以a"=e"

n

所以Inan=Ine=n

所以数列｛In4｝的前20项和为1+2++20=0+2?X2O=2"

故选：B

【点睛】本题考查等比数列的通项公式以及等差数列求和公式的应用，属于基础题.

a19

4.设等差数列｛%｝的前〃项和为S“，^<O,gL—=Z7,则当S.取最小值时，〃的值为（）

A.21B.20C.19D.19或2()

【答案】B

【解析】由题得出则S“=]1-20血，利用二次函数的性质即可求解.

【详解】设等差数列｛”“｝的公差为d,

a|9

由H=X得21%=19%,则21（0,+10d）=19（q+%0，

,39

解得a]=一■—d,4<0,.'.d>09

S„=na.+d=-n2-20dn,对称轴为”=20,开口向上，

22

.•.当”=20时，S”最小.

故选：B.

【点睛】方法点睛：求等差数列前〃项和最值，由于等差数列S“=〃q+与义”=（〃2+（4-q）〃是

关于〃的二次函数，当％与d异号时，S“在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当％与d同

号时，S“在”=1取最值.

5.如图，函数的图象在P点处的切线方程是y=-x+8,若点尸的横坐标是5,则/（5）+/（5）=（）

【答案】C

【详解】试题分析：函数y=/（x）的图象在点p处的切线方程是y=-x+8,所以，在P处的导数值

为切线的斜率，/（5）+/'（5）=_5+8-1=2,故选C.

【解析】本题主要考查导数的几何意义.

点评：简单题，切线的斜率等于函数在切点的导函数值.

6.已知函数Ax）和g（x）在区间句上的图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A./(x)在a到b之间的平均变化率大于g(x)在。到b之间的平均变化率

B.fM在。到b之间的平均变化率小于g(x)在a到b之间的平均变化率

C.对于任意x°e(a,b),函数f(x)在x=%处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率

D.存在为e(a,b),使得函数f(x)在尤=%处的瞬时变化率小于函数g(x)在尤=%处的瞬时变化率

【答案】D

【解析】由平均变化率和瞬时变化率的概念即可判断.

【详解】解：•••/(X)在。到6之间的平均变化率是驾S丝，

g(x)在。到。之间的平均变化率是与(一仪"),

2b-a

又f(b)=g(b),f(a)=g(a),

.gS)-g(a)

•・----------=----------，

b-ab-a

・・・A、B错误；

易知函数f(x)在X=%处的瞬时变化率是函数/(x)在X=X0处的导数，

即函数"X)在该点处的切线的斜率，

同理可得：函数g(x)在X=X。处的瞬时变化率是函数g(x)在该点处的导数，

即函数g(x)在该点处的切线的斜率，

由题中图象可知：

%e(a,b)时，函数/(X)在x=/处切线的斜率有可能大于g(x)在x=/处切线的斜率，也有可能小于

g(x)在x=xO处切线的斜率，故C错误，D正确.

故选：D.

7.已知〃x)=r+2x+3,尸为曲线C：y=/(x)上的点，且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值

7TTT\

范围为则点P的横坐标的取值范围为()

A.[-8，-]B.[—1,0]C.[0,l]D.--,+°°j

【答案】D

【解析】设点P的横坐标为%,利用导数求切线的斜率，根据倾斜角范围求斜率范围，建立不等式

即可求解.

【详解】设点P的横坐标为4,则点尸处的切线倾斜角a与.%的关系为

tana=/(%)=lim=2Xfl+2.

AX

..乃乃)

.a—,一,

G[42)f

tanaG[1,+CO),

2x0+2>l,即

点P的横坐标的取值范围为-g，+8).

故选：D

8.已知数列｛叫满足：4=L/J："；""则/=

[2%+1,4“为偶数

A.16B.25C.28D.33

【答案】C

【解析】依次递推求出小得解.

【详解】n=l时，4=1+3=4,

n=2时，/=2x4+1=9,

n=3时，/=9+3=12,

n=4时，a5=2x12+1=25,

n=5时，%=25+3=28.

故选：C

【点睛】本题主要考查递推公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

]_1

9.数列,•*•…的通项公式可能是4=()

7，"9'11

(-1严D(-1产

A(一了BC(-D"

3〃+22〃+32〃+33"+2

【答案】C

【分析】由分母构成等差数列即可求出.

【详解】数列的分母5,7,9,•形成首项为5,公差为2的等差数列，则通项公式为

5+(〃—1)x2=2/1+3,

所以“=日1.

“2〃+3

故选：C.

10.已知函数y=〃x)满足/'(不)=10,当人一0时，,小+如)()

Ax

A.20B.-20C.—D.--

2020

【答案】A

【分析】根据导数的定义有ArfO时尸(x°)=fa>+黑一『5),即可知"X"+2R-/(x。).

【详解】•；/(入。)二八么=]0,而―.0,

Ax

.f(x+2Ax)-f(x)f(x+Ax)-f(x)f(x+2Ax)-f(x)

••----0-----------0-->----0---------0-,nx----0-----------0--->zu.

2AxAxAx

故选：A

11.某物体的运动方程为Mf)=3/(位移单位：m,时间单位：s),若丫=1加=生也二型=18m/s,

则下列说法中正确的是()

A.18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度

B.18nVs是物体从3s到(3+Ar)s这段时间内的速度

C.18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度

D.18m/s是物体从3s到(3+At)s这段时间内的平均速度

【答案】C

【解析】由瞬时变化率的物理意义判断.

【详解】•=lims(3+A力-s(3)是物体在3s这一时刻的瞬时速度.

A—oA/

故选：C.

12.函数y=/(x)的图象如图所示，/'(X)是函数/(X)的导函数，则下列数值排序正确的是()

A.2/,(4)<2/,(2)</(4)-/(2)

B.2/'(2)</(4)-/(2)<2/'(4)

C.2r(2)<2八4)<〃4)_〃2)

D./(4)-/(2)<2/((4)<2/((2)

【答案】B

【分析】由导数的几何意义判断

【详解】由图象可知/(X)在(0，*»)上单调递增

故((2)<"?二<⑵<,⑷，即2门2)<〃4)-/(2)<2r(4)

故选：B

二、填空题

13.数列｛4｝满足4+2+(T)"a,=3〃-l,前16项和为540,则q=.

【答案】7

【分析】对〃为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数

项用4表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立q方程，求解即可得出结论.

【详解】4,,2+(T)Z,=3〃-l,

当"为奇数时，«„+2=«„+3/7-1；当〃为偶数时，all+2+a„=3n-1.

设数列｛”“｝的前〃项和为

S|6=生+"2+“3+a4++ai6

=aA+a3+a5+a15+(a2+«4)+(a14+«l6)

=G+(q+2)+(q+10)+(%+24)+(q+44)+(%+70)

+(q+102)+(q+140)+(5+17+29+41)

=8q+392+92=8q+484=540,

••%=7.

故答案为：7.

【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能

力，属于较难题.

14.己知过点尸（-L1）的直线m交x轴于点A,抛物线/;丫上有一点8使24_LP3,

若A3是抛物线/=、的切线，则直线"，的方程是—.

【答案】x+3y-2=0或x-y+2=0.

【详解】分析：由题设B（f,产），求导得到直线A8:y=2fx-"，然后分f=0和，rO两种情况讨论即

可得到直线机的方程.

详解：由题设39一），求导2x=y，即38=2乙则直线A8:y=2枕--，

当，=0时，验证符合题意，此时A（-2,0）,故m:x-y+2=0,

当rrO时,电，。），PJ=（^+1-1）.P5=（/+1J3-1）,

PA.P8=0n（f+呜+l—+l）=0=r=4或f=T（8,P重合，舍去）

此时P（-1,1）,A（2,O）,故mx+3y—2=0

点睛：本题考查曲线的切线方程的求法，垂直关系的斜率表示等，属基础题.

15.如图，画一个边长为2cm的正方形，再将这个正方形的各相邻边的中点相连得到第二个正方形,

依此类推，这样共画了8个正方形，则这8个正方形的面积和为cm2.

【答案】言

【分析】根据题意，分析可得这些正方形的面积组成以4为首项，■为公比的等比数列，结合等比

数列的前n项公式分析可得答案.

【详解】根据题意，第一个正方形的边长为勿利，其面积为4c/,

再将这个正方形的各相邻边的中点相连得到第二个正方形，

依此类推每一个小正方形的面积都是前边正方形的面积的g

这些正方形的面积组成以4为首项，g为公比的等比数列，

<1-4）8]

255

则这8个正方形的面积和Ss=——

1--12

2

255

故答案为:

32

【点睛】本题考查等比数列的前〃项和公式，根据正方形的面积公式得到面积关系是解决本题的关

键.属于基础题.

16.若点A（2,l）在曲线y=〃x）上，且⑵=-2,则曲线y=/（x）在点A处的切线方程是.

【答案】2x+y-5=0

【解析】利用点斜式可得出所求切线的方程.

【详解】由题意知，切线的斜率左=-2.

所以，曲线尸/（力在点A（2,l）处的切线方程为y-l=-2（x-2）,即2x+y-5=0.

故答案为：2x+—=0.

三、解答题

17.设数列｛4｝的前〃项和为S“，满足S,M=44+2（“eN"），且q=l.

⑴若c"喙,求证：数列｛%｝是等差数列；

⑵求数列｛%｝的前〃项和

【答案】（1）证明见解析

（2）（3n-4）x2H-'+2

IS,,H=1

【分析】⑴根据“s_SiN2作差得到…4­），从而得到

（2）首先求出仁｝的通项公式，再根据a„=2"q,求出｛4｝的通项公式，最后根据S„+l=44+2代入

计算可得；

【详解】（1）解：因为S“+i=4q,+2（〃eN*）,且4=1,当〃=1时S?=44+2,则生=5,当〃22时

S“=4a,i+2,所以S,用—S“=4a,,+2—（4a,i+2）,g|Ja„+l=4（a„-a„_,）,所以

翁+爵=黑+当泮=煞=争，即%+%=2%,所以｛%｝是等差数列；

⑵解：因为《=*=；,哮=；，所以c2-q=：d，所以匕｝是以g为首项，:为公差

的等差数列，所以q,=；+(〃-l)x?=/l,所以4=2匕=空-2",则

S,,i=4““+2=4X^1X2"+2=(3〃-1)X2"+2,所以S“=(3"-4)*2"‘+2

18.已知曲线丫=一；1+2/一3x+l.

(1)求该曲线斜率为-3的切线方程；

(2)当曲线的切线斜率最大时，切点为P,过点P作直线/与x轴、>轴的正半轴交于A,B两点，求

△OAB面积的最小值.

4

【答案】(1)3x+y-l=0或9x+3y-35=0.(2)-

【分析】(1)先对函数求导，再令导函数等于-3即可求出切点坐标，进而可求切线方程；

(2)先由切线斜率取最大时，求出切点坐标，再设出4B两点坐标，得到直线的截距式方程，将切

点坐标代入直线方程，结合基本不等式即可求解.

【详解】(1)由y=-gx3+2x2-3x+l,得>'=-》2+41一3,

-f+4x-3=-3,解得x=0或x=4.

当x=0时，y=l；当x=4时，y=-1.

切线方程为k1=-3*或y+23(x-4),

即3x+y-l=0或9x+3y-35=0.

(2)Vy=-x2+4x-3=-(x-2)2+l<l,

.♦•当x=2时，切线的斜率取得最大值1,此时y=g,

即尸点坐标为(2,().

由题意，设A(a,0),B(0,Z?)(a>0,b>0),则直线/的方程为土+六l(a>0,6>0).

212

将。=6/?代入一+”=1,解得。=4,/?=—.

a3b3

3v_4

；•直线/的方程为：x+三=1,即x+6y—4=0时，AO4B面积的最小值为

【点睛】本题主要考查导函数的几何意义，根据导数的方法求曲线的切线方程，由切线斜率求切点

坐标，属于基础题型.

19.在等差数列｛%｝中，出+%=-23,Sl0=-145.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

（2）若数列也+4｝是首项为1,公比为〃的等比数列，求也｝的前”项和

【答案】（1）”,,=-3〃+2；（2）当。=1时，S“=即上，当”工0且awl时，臬=三二+如口.

2l-a2

【分析】（1）设等差数列｛q｝的公差为d,根据已知条件可得出关于4、d的方程组，解出这两个

量的值，即可求得数列｛%｝的通项公式；

（2）求得以="-'+3〃-2,分a=l、awl两种情况讨论，结合等差数列求和公式以及分组求和法

可求得5“的表达式.

（、fa,+%=2。[+7d=—23[a,=—1

【详解】（1）设等差数列4的公差为d,则J八',加，解得Ia，

[S10=10tz,+45d=-145[d=-3

因此，4=q+（〃一l）d=-3〃+2；

（2）由题意可得%+%=lx〃i=a”T,则2=尸+3九-2.

①当。=1时，勿=3〃一1,则5〃=（2+3〃力=^21

〃22

②当a#1月.aw0时，则S〃=（l+a+a~++/）+[1+4+7++（3〃-2）]

_\-anH（1+3H-2）_\-an3n2-n

l-a2\-a2

综上所述，当a=l时，5“=即*,当“片0且。工1时，S“=匕《•+即二

2l-a2

170

20.蜥蜴的体温与阳光的照射有关，已知关系式为7（。=枭+15,其中T（r）为体温（单位：C）,

f为太阳落山后的时间（单位：min）.

（1）求从f=0至f=10,蜥蜴的体温下降了多少？

（2）从/=0到7=10,蜥蜴的体温下降的平均变化率是多少？它表示什么实际意义？

（3）求丁（5）并解释它的实际意义.

【答案】（1）16℃;（2）表示从r=0到f=10这段时间内变化率为-1.6,蜥蜴的体温平均每分钟下降

1.6℃；（3）表示太阳落山后5min时，蜥蜴的体温下降的速度为L2°C/min.

【分析】（1）由题意从r=0至”10的体温为7（10）-7（0）,即可求值.

（2）根据平均变化率的定义求f=0到f=10的平均变化率，说出其实际含义即可.

（3）利用导数的定义求丁'（5）,并说明其实际含义即可.

【详解】（1）7（10）-10）=黑+15-（黑+15]=-16,即从f=0到f=10,蜥蜴的体温下降了

10+5（0+5）

16℃,

（2）蜥蜴的体温下降的平均变化率为“10）-7⑼=-1.6（°C/min）,

它表示从/=0到f=10这段时间内，蜥蜴的体温平均每分钟下降16c.

120r120]

（3）；T（5+Af）-5（5）=5+4+5+〔5+5+J=_12,

△t~Ar10+Ar

...当加趋于0