概率论与数理统计(理工类第四版)第三章多维随机变量及其分布习题答案

13.1二维随机变量及其分布习题112312a求a.求习题2(1)习题2(2)习题2(2)P{0<Y≤b}=F(+,b)-F(+,0).习题2(3)(3)P{X>a,Y≤b}.P{X>a,Y≤b}=F(+,b)-F(a,b).2习题3(1)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：Y1023=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+习题3(2)121/40303习题3(3)习题3(3)10020300解答：F(2,3)=P(1,1)+P(1,2)+设X,Y为随机变量，且求P{max{X,Y}≥0}P{max{X,Y}≥0}=P{X,Y至少一个大于等于0}习题5布.布4解答：-1000025/1200Y01P习题6求P{X≤Y}.解答：解答：习题7则(1)确定常数k;(2)求P{X<1,Y<3};5如图所示yy4(1)由,确定常数k,(1)由已知X和Y的联合密度为试求：(1)常数c;(2)X和Y的联合分布函数F(x,y)6(1)由于,c=4.(2)当x≤0或y≤0时，显然F(x,y)=0;当x≥1,y≥1时，显然F(x,y)=1;设0≤x≤1,0≤y≤1有设0≤x≤1,y>1,有最后，设x>0,0≤y≤1,有函数F(x,y)在平面各区域的表达式设二维随机变量(X,Y)的概率密度为求边缘概率密度f,(y).7习题10习题10即0≤x≤1同样的8习题1解答：因为P{x=0,y=0}≠P{x=0}·P{y=0},所以x与y不独立.习题29解答：XPY6/287/285/285/285/28习题3012001020解答：YYPXPXP.PYP习题5Y-1/2.PY-1/2.PX-2-10P表(a)表(b)解答：P{X=x,Y=y}=P{X=x,}P{Y=y,),i=1,2,3,-1/213-2-10P{X+y=1}=P{X=-2,y=3}某旅客到达火车站的时间X均匀分布在早上7:55～8:00,而火车这段时间开出的时间Y的密度函数为求此人能及时上火车站的概率，由题意知x的密度函数为因为x与Y相互独立，所以x与Y的联合密度为故此人能及时上火车的概率为设随机变量X与Y都服从N(0,1)分布，且X与Y相互独立，求(X,Y)的联合概率密度函数.由题意知，随机变量X,Y的概率密度函数分别是因为x与γ相互独立，所以(X,Y)的联合概率密度函数是设随机变量X的概率密度问：X与X是否相互独立?若x与X相互独立，则Va>0,各有P{x≤a}=0或1=P{X≤a},(Va>0),但当a>0时，两者均不成立，出现矛盾，故x与X不独立，设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(0,1)上服从均匀分布，Y的概率密度为(1)求X与Y的联合概率密度；(2)设有a的二次方程a²+2Xa+Y=0,求它有实根的概率.(1)由题设易知又X,Y相互独立，故x与Y的联合概率密度为(2)因{a有实根}={判别式△²=4X²-4Y≥0}={X²≥Y},0故如图所示得到：又φ(1)=0.8413,①(0)=0.5,于是①(1)-①(0)=0.3413,所以P{a有实根}=1-√2π[φ(1)-中(0)]≈1-2.51×0.3413=0.1433,习题1习题1解答：P{U=i,V=i}=P{X=i,Y=j}+P{X=j,Y=jiV123120300-1-12-2011341-1-2-2241-1-1/2-112222P.PZPZ-1PZPZ-112P习题3解答：P{U=1,V=0}=P{X>Y,X≤2Y=1-P{U=0,V=0}-P{U=0,V=1}-P{U=即01001设(X,Y)的联合分布密度为求Z的分布密度，依题意，由当z<0时，F(z)=P(Q)=0;当z20时，故Z的分布函数为Z的分布密度为习题5设随机变量(X,Y)的概率密度为(1)问X和Y是否相互独立?(2)求Z=X+Y的概率密度，由对称性,显然所以x与Y不独立.(2)用卷积公式以当z≤0时，f2)=0;当z>0时，于是，Z=X+Y的概率密度为即时，f(x,z-x)≠0,所习题6习题6设随机变量(X,Y)的概率密度为(1)试确定常数b;(2)求边缘概率密度fx(x),f,(y);(3)求函数U=max{X,Y}的分布函 ,确定常数b,从而(2)由边缘概率密度的定义得(3)因为f(x,y)=f,(x)f,(y),所以X与Y独立，故Fu(u)=P{max{X,Y}≤u}=P{X≤u,Y≤u}=Fx同理因此习题8Y,其概率密度分别为其中a>0,β>0,α≠β,试求系统L的寿命Z的概率密度设Z=min{X,Yl则由于故从而习题9设随机变量X,Y相互独立，且服从同一分布，试证明：P{a<min{X,Y}≤b}=[P{X>a}]²-[P{X>b}]².设min{X,Y}=Z,则F(z)=P{min{X,Y}≤z}=1-P{min代入得=[P{X>a}]²-[P{X>b}]².证毕.习题1在一箱子中装有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种试验(1)放回抽样；(2)不放回抽样.我们定义随机变量x,Y如下：试分别就(1),(2)两种情况，写出x和Y的联合分布律.(1)有放回抽样，(X,Y)分布律如下：(2)不放回抽样，(X,Y)的分布律如下：习题2假设随机变量Y服从参数为1的指数分布，随机变量求(X,X₂)的联合分布率与边缘分布率.P{X₁=1,X₂=0}=P{X₁=1}-P{X₁=1,P{X₁=0,X₂=0}=P{Y≤1}=1-eX₂X01001-1习题3P{X=2,Y=0}=CCC/Cs=9/70,P{X=2,Y=1}=C;C:C;/Y012001233/700习题4YP.PX₁Xx₂xP.P1解答：2.类似的有,YXY₁YY₂YP.PX₁Xx₂xP.P1习题5-112解答：解答：综上所述，得(X,Y)联合分布函数为(3),得(X,γ)关于X的边缘分布函数为：同理，由.,得(X,Y)关于γ的边缘分布函数为设随机变量(X,Y)的联合概率密度为求：(1)常数c;(2)P{X²+Y²≤r²}(r<R).(1)因为所以习题7习题7设求fr(x)和f,(y)·习题812αβ 又因x与Y相互独立，故P{X=i,Y=j}=P{X=i}P{Y=},从而β=P{X=3,Y=2}=P{X=3}P{Y=2}设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为(1)确定常数c;(2)求X,Y的边缘概率密度函数；(3)求联合分布函数F(x,y);(4)求P{Y≤X};(5)求条件概率密度函数fxy(xly);(6)求P{X<2|Y<1}.(1)由所以c=2.设随机变量X以概率1取值为0,而Y是任意的随机变量，证明x与Y相互独立.因为X的分布函数为设Y的分布函数为F,(y),(X,Y)的分布函数为F(x,y),则当x<0时，对任意y,有F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=P{(X≤x当x≥0时，对任意y,有F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}=P{(X≤x=F,(x)F,(y).依定义，由F(x,y)=F₁(x)F,(y)知，x与Y独立，习题11设连续型随机变量(X,Y)的两个分量X和Y相互独立，且服从同一分布，试证P{X≤Y}=1/2.因为x,Y独立，所以f(x,y)=f(x)f;(y).注；也可以利用对称性来证，因为X,Y独立同分布，所以有而P{X≤Y}+P{X≥Y}=1,故P{X≤Y}=1/12.习题12X₁XX₂XX₃XaCb解答：XYy①②,,代,,₂0₂01PXX-101P且P{X,X₂=0}=1.01-101000设(X,Y)的联合密度函数为(1)求x与Y的边缘概率密度；(2)求条件概率密度，并问x与Y是否独立?(1)当x<-R或x>R时，当-R≤x≤R时，于是由于x和Y具有对称性，同法可得γ的边缘概率密度为,注意到在y处x值位于K|≤√R²-y³这个范围内，f(x,y)才有非零值，故在此范围内，有即Y=y时X的条件概率密度为同法可得X=x时Y的条件概率密度为由于条件概率密度与边缘概率密度不相等，所以x与Y不独立，-112-12分析：-2011-1PZ1PZ-112P习题16解答解答：当0≤z<1时，当1≤z<2时，综上所述设二维随机变量(X,Y)的概率密度为求随机变量Z=X+2Y的分布函数.按定义F,(Z)=P{x+2y≤z},故分布函数为习题18设随机变量x与Y相互独立，其概率密度函数分别为求：(1)常数A;(2)随机变量Z=2X+Y的概率密度函数.(2)因x与Y相互独立，故(X,Y)的联合概率密度为于是当z<0时，有当0≤z≤2时，有当z>2时，有利用分布函数法求得Z=2X+Y的概率密度函数为设随机变量X,Y相互独立，若X与Y分别服从区间(0,1)与(0,2)上的均匀分布，求U=m