2021-2022学年天津市南开区八年级（下）期末数学试题及答案解析

2021-2022学年天津市南开区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.二次根式V7TI有意义的条件是（）

A.x>3B.x>—3C.x>—3D.x>3

2.下列各曲线中表示y是x的函数的是（）

3.如图，已知。4BCD的两条对角线4c与BD交于平面直角坐标系的原点，点4的坐标为（-2,3）,

则点C的坐标为（）

A.（-3,2）

B.（-2,-3）

C.（3,-2）

D.（2,-3）

4.已知一次函数y=x+b的图象经过一、二、三象限，贝此的值可以是（）

A.-2

B.-1

C.0

D.2

5.如图，直线，上有三个正方形，若a,c的面积分别为5和11,则b的面积为（）

C.6D.4

6.将直线y=2%向右平移2个单位所得的直线的解析式是（）

A.y=2x+2B.y=2x-2C.y=2（x—2）D.y=2（x+2）

7.下列条件中，不能判断一个三角形是直角三角形的是（）

A.三个角的比是2：3：5

B.三条边a,b,c满足关系a?=c?-

C.三条边的比是2：4：5

D.三边长为1,2,V3

8.2022年北京一张家口举办了冬季奥运会，很多学校也开设了相关的课程.下表记录了某

校4名同学短道速滑选拔赛成绩的平均数I与方差s2.

队员1队员2队员3队员4

平均数n秒）51505150

方差52（秒2）3.53.514.514.5

据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（）

A.队员1B.队员2C.队员3D.队员4

9.如图，在菱形4BCO中，AC=12,BD=16,则菱形48边上的高CE的长是（）

A.2.4

B.4.8

C.10

D.9.6

10.一次函数yi=kx+b与y2=x+Q的图象如图，则下列结论①kV0；②a>0;（3）

当％V3时，丫1〈为中，正确的个数是（）

、yi=x+a

O/3、X

y\=kx+b

A.0

B.1

C.2

D.3

11.如图，在矩形4BCD中，AB=2,,4£»=3,点E是BC边上靠近点B的三等分点，动点P从

点4出发，沿路径4->。tCtE运动,则44PE的面积y与点P经过的路径长x之间的函数关

系用图象表示大致是（）

A

C

kk“

12.如图，在平面直角坐标系中，A,B两点坐标分别为(0,8),(-6,0),P为线段4。上的一

动点，以PB,P4为边构造平行四边形4PBQ,则使对角线PQ值最小的点Q的坐标为()

A.(-3,4)

B.(-4,3)

C.(-6,4)

D.(-6,3)

二、填空题(本大题共6小题，共18.0分)

13.化简：V32=•

14.为监测某河道水质，进行了6次水质检测，绘制了如图的氨氮含量的折线统计图.若这6

次水质检测氨氮含量平均数为1.5mg/3则第3次检测得到的氨氮含量是mg/L.

15.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架.在1f九

章算术》中的勾股卷中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵底，去本三尺.折者高几何？

意思为：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离

远处竹子三尺远，则原处还有尺竹子.(请直接写出答案，注：1丈=10尺).

16.如图，将一张矩形纸片4BCD沿EF折叠后，点C落在48边上的点G处，点。落在点H处.若

17.若函数y=(m+3)Mm+i+4%—2(x羊0)是关于x的一次函数，m=.

18.己知：正方形4BCD的边长为8,点E、F分别在4。、CO上，AE=DF=2,BE与AF相

交于点G,点H为BF的中点，连接GH,则GH的长为.

三、解答题(本大题共6小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

19.(本小题6.0分)

计算

(I)|V27-4V12+3g;

(n)(V6-2V3)2-(V2+2V5)(2V5-V2).

20.(本小题6.0分)

某高校学生会向全校2900名学生发起了“爱心一日捐”捐款活动，为了解捐款情况，学生会

随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②，请根据相关

信息，解答下列问题：

(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为，图①中m的值是；

(2)求本次你调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；

(3)根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人

图①

21.（本小题8.0分）

如图，等边△ABC的边长是2,D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F,使CF=：BC,

连接CD和EF.

（1）求证：四边形DCFE是平行四边形;

（2）求EF的长.

22.（本小题8.0分）

如图，点。是菱形48CD对角线的交点，CE〃BD,EB//AC,连接OE.

（I）求证：OE=CB；

（II）如果。8=24,AD=13,求四边形OBEC的周长.

23.（本小题8.0分）

工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因故停产检修机器一次，然后以原来的工作效

率继续加工，由于时间紧任务重，乙组工人也加入共同加工零件.设甲组加工时间为t（时）,

甲组加工零件的数量为、尹（个），乙组加工零件的数量为（个），其函数图象如图所示.

（I）填空：

①a=-----：

②甲组工人每小时加工零件个；

③乙组工人每小时加工零件个；

④甲组加工______小时的时候，甲、乙两组加工零件的总数为480个.

（11）直接写出丁砂y,与t之间的函数关系式.

24.(本小题10.0分)

如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，矩形。ABC的顶点4(12,0),C(0,9),将矩形04BC

的一个角沿直线BD折叠，使得点4落在对角线OB上的点E处，折痕与x轴交于点D,

(I)线段。8的长度为

(□)求线段DE的长，以及直线BD所对应的函数表达式;

(HI)若点N为该平面内一点，且使得NDBN=45。，直接写出满足条件的直线8N的解析式.

(备用图)

答案和解析

I.【答案】c

【解析】解：,•,要使VTH有意义，必须x+320,

•1•x>-3,

故选：C.

根据二次根式有意义的条件求出4+320,求出即可.

本题考查了二次根式有意义的条件的应用，注意：要使府有意义，必须a20.

2.【答案】D

【解析】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，故。正

确.

故选：D.

根据函数的意义求解即可求出答案.

主要考查了函数的定义.注意函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直x轴的直线在左

右平移的过程中与函数图象只会有一个交点.

3.【答案】D

【解析】解：•.・在平行四边形ZBCD中，4点与C点关于原点对称

C点坐标为(2,-3).

故选D

根据平行四边形是中心对称的特点可知，点4与点C关于原点对称，所以C的坐标为(2,-3).

主要考查了平行四边形的性质和坐标与图形的关系.要会根据平行四边形的性质得到点4与点C关

于原点对称的特点，是解题的关键.

4.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数丫=履+匕(屐b为常数，k于0)是一条直线，

当k>0,图象经过第一、三象限，y随工的增大而增大；当k<0,图象经过第二、四象限，y随》的

增大而减小；图象与y轴的交点坐标为(0,b).根据一次函数图象与系数的关系得到k>0,b>0,

然后对选项进行判断.

【解答】

解：•••一次函数y=x+b的图象经过一、二、三象限，

；.b>0,

・•・各选项中只有2符合题意.

故选D.

5.【答案】B

【解析】解：根据题意，得AC=CD,^LABC=Z,CED=/.ACD=90°,

:.Z.BAC+乙BCA=90°,Z.BCA+(ECD=90°,

・•・Z.BAC=乙ECD,

在△B4C和△EC。中，

/-ABC=Z-CED

Z.BAC=Z-ECD,

AC=DC

・•.AB=CE,BC=DE,

a,c的面积分别为5和11,

•••AB2=5,DE2=11,

BC2=11,

根据勾股定理，得AC?=AB2+BC2=5+11=16,

匕的面积为16,

故选：B.

根据正方形的性质，易证△B4C三△ECDQUS),可得AB=CE,BC=DE,根据a,c的面积以及

勾股定理即可求出b的面积.

本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及正方形的性质，勾股定理等，熟练掌握全等三角形的

判定方法是解题的关键.

6.【答案】C

【解析】解：根据题意，得直线向右平移2个单位，

即对应点的纵坐标不变，横坐标减2,

所以得到的解析式是y=2(x-2).

故选：C.

根据平移性质可由已知的解析式写出新的解析式.

本题考查一次函数的图象与几何变换，正比例函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知

识，属于中考常考题型.

7.【答案】C

【解析】解：4三个角的比是2：3：5,可得最大角=180。x喻融=90。，是直角三角形，不

符合题意；

222

B、三条边a,b,c满足关系a?=c2—62,可得：a+6=c,是直角三角形，不符合题意；

C、三条边的比是2：4：5,(2x)2+(4x)2中(5x)2,不是直角三角形，符合题意；

D.12+(V3)2=22,是直角三角形，不符合题意；

故选：C.

根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案.

本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要

利用勾股定理的逆定理加以判断即可；若已知角，只要求得一个角为90。即可.

8.【答案】B

【解析】解：因为队员2和队员4的平均成绩比队员1和队员3好，

所以从队员2和队员4选其中一人参加，

又因为队员2的方差比队员4的方差小，

所以要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择队员2.

故选:B.

先比较平均数，再比较方差即可.

本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方

差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳

定性越好.

9.【答案】D

【解析】解：对角线4C,8。交于点0,则△48。为直角三角形

则AO=0C=6.B0=DO=8,

AB=山1。+。。2=10,

二菱形的面积根据边长和高可以计算，根据对角线长也可以计算，

即S=gxl2xl6=10xCE,

解得：CE=9.6,

故选：D.

对角线4C,BD交于点0,则△4B0为直角三角形，在RtAZB。中，已知40,B0根据勾股定理即

可求得4B的长，根据菱形面积不同的计算方法可以求得CE的长度，即可解题.

本题考查了菱形面积的计算方法，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理

计算力B的值是解题的关键.

10.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了两条直线相交问题，难点在于根据函数图象的走势和与y轴的交点来判断各个函数k,

b的值.根据yi=kx+b和及=x+a的图象可知：k<0,a<0,所以当x<3时，相应的x的值，

yi图象均高于丫2的图象.

【解答】

解：・；y1=kx+b的函数值随x的增大而减小，

/c<0；故①正确

•••丫2=x+a的图象与y轴交于负半轴，

a<0；

当x<3时，相应的x的值，yi图象均高于刈的图象，

•1•yi>y2<故②③错误•

故选8.

11.【答案】A

【解析】解：•.•在矩形4BCD中，48=2,AD=3,

•••CD=AB=2,BC=AD=3,

•••点E是BC边上靠近点B的三等分点，

：.CE=^2x3=2,

①点P在40上时，△4PE的面积y=1x-2=x(0<x<3),

包)点P在CO上时，—S梯形AECD-S△工DP—S^CEP,

1II

=2(2+3)x2——x3x(%—3)——x2x(34-2—%)>

一

=5--3%+-9-5+x,

1,9

=-2X+2'

19

y=--^x+-(3<x<5),

=

点P在CE上时,SA/IPE=,X(3+2+2—x)x2—x+7,

,■1y=-x+7(5<x<7),

故选：A.

求出CE的长，然后分①点P在4D上时，利用三角形的面积公式列式得到y与x的函数关系；②点P

在CD上时,根据儿”£=S梯形AECD~SAADP-SACEP列式整理得到y与％的关系式;③点P在CE上时,

利用三角形的面积公式列式得到y与x的关系式，然后选择答案即可.

本题考查了动点问题函数图象，读懂题目信息，根据点P的位置的不同分三段列式求出y与x的关

系式是解题的关键.

・•.PQ//BO,

•・•四边形4PBQ是平行四边形，

:,APHBQ,

・•.PO//BQ,

•••PO//BQ,PQ//BO,Z.BOP=90°,

・•・四边形POBQ是矩形，

.・・PQ=BO=6,

・・・Q(_6,3).

故选：D.

由端点分别在两条平行线上的所有线段中，垂直于平行线的线段最短，当QP1OC时，PQ最短,

易证尸Q〃B。，由平行四边形的性质得出，PO//BQ,由乙BOP=90。，则四边形POBQ是矩形，即

可得出结果，

本题考查了平行线之间的距离、垂线段最短、平行四边形的性质、平行线的判定、矩形的判定与

性质等知识；正确判断出当QP140时，PQ最短是解题的关键.

13.【答案】4V2

【解析】解：V32=V16x2=4V2.

故答案为4企.

根据算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根.所以结果必须为

正数，而屈的平方根为±4近，所以原算术平方根为4vL

他主要考查了算术平方根的定义，注意算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误.规

律总结：弄清概念是解决本题的关键.

14.【答案】1

【解析】解：由题意可得，

第3次检测得到的氨氮含量是：1.5x6-(1.6+2+1.5+1.4+1.5)=9-8=lmg/L,

故答案为：1.

根据题意可以求得这6次总的含量，由折线统计图可以得到除第3次的含量，从而可以得到第3次

检测得到的氨氮含量.

本题考查算术平均数、折线统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.

15.【答案】U

【解析】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10-乃尺，

根据勾股定理得:x2+32=(10-x)2,

解得：x=|J.

故答案为：黑

竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面“尺，则斜边为(10-乂)尺.利用勾股定

理解题即可.

此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解

题.

16.【答案】56°

【解析】解：,•・4V/BC,

zl=Z.FEC=62°,

由翻折可得：乙FEG=NFEC=62°,

乙BEG=180°-62°-62°=56°,

故答案为：56°

根据平行线的性质和翻折的性质解答即可.

此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质和翻折的性质解答.

17.【答案】0或一：或一3

【解析】解：)函数y=(m+3)/m+i+4%—2(%W0)是关于％的一次函数，

・•・2m4-1=1,m+3+4H0,

解得：m=0；

或2m+1=0,

解得：m=—I；

或m+3=0,

解得：m=-3.

故答案为：=0或一：或-3.

由一次函数的定义可知27n+l=l,m+3+4H0或27n+1=0或m+3=0,从而可求得m的值.

本题主要考查的是一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解题的关键.

18.【答案】5

【解析】解：•・•四边形4BCD为正方形，

・・・乙BAE=4=90°,AB=AD,

vAB=ADfZ-BAE=ZD,AE=DF

・•・△ABE三△DAF(SAS),

:.Z.ABE=乙DAF,

vZ-ABE+乙BEA=90°,

・・・Z,DAF+乙BEA=90°,

・・・Z,AGE=乙BGF=90°,

•・・点H为BF的中点，

・・・GH=3BF,

•・,BC=8,CF=CD-DF=8-2=6

・•・BF=y/BC2+CF2=10

・・・GH=5

故答案为：5

根据正方形的四条边都相等可得4B=AD,每一个角都是直角可得/B4E=ND=90。，然后利用

“边角边”证明△ABE=hDAF^AABE=Z.DAF,进一步得/AGE=乙BGF=90°,从而知GH=

IBF,利用勾股定理求出8F的长即可得出答案.

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角

形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键.

19.【答案】解：(/)原式=|x36-4x2遍+3x；b

=2V3-8V3+V3

-5V3；

(〃)原式=6-12V2+12-(20-2)

=6-1272+12-20+2

=-12V2.

【解析】(/)先根据二次根式的性质进行计算，再算乘法，最后合并同类二次根式即可；

(〃)先根据平方差公式，完全平方公式和二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减进行

计算即可.

本题考查了二次根式的混合运算，能正确运用二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键，注

意运算顺序.

20.【答案】50；20

【解析】解：(1)调查的学生数是：4+8%=50(人)，

m100=32.

故答案是:50,32；

(2)平均数是：4X5+16X10+12青+10X20+8X30=应元),众数是：10元，中位数是：15元；

(3)该校本次活动捐款金额为10元的学生人数是：2900x32%=928(人).

(1)根据捐款数是5元的，所占的百分比是8%,即可求得总人数，然后根据百分比的意义求得m的

值；

(2)根据平均数、众数、中位数的定义即可求解；

(3)利用总人数2900乘以对应的百分比即可求解.

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的

信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分

占总体的百分比大小.

21.【答案】(1)证明：•••£)、E分别为48、4C的中点，

DE为△ABC的中位线，

DE//BC,DE=^BC

•.•延长BC至点尸，使CF=：BC,

:.DE=FC,•:DE〃FC,

四边形DCFE是平行四边形.

（2）解：•••DE//FC,DE=FC

四边形CEFC是平行四边形，

DC=EF,

•••£）为48的中点，等边AABC的边长是2,

AD=BD=1,CD1AB,BC=2,

•••DC=EF=V22-I2=V3.

【解析】（1）直接利用三角形中位线定理得出CE〃BC,DE=^BC,进而得出。E=FC；

（2）利用平行四边形的判定与性质得出DC=EF,进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得出EF

的长.

此题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定与性质和三角形中位线定理、勾股定理

等知识，得出DE〃BC,DE=^BC是解题关键.

22.【答案】（I）证明：•・•点。是菱形对角线的交点，

•••BD1.AC,

Z.BOC=90°,

vCE//BD,EB//AC,

.•・四边形BOCE为平行四边形，

而NBOC=90°,

.•・四边形BOCE为矩形，

.•・OE=BC；

（口）解：•••点。是菱形ABCD对角线的交点，

•••BD1AC,OA=OC,OB=OD=^BD=12,

^AOD=90°,

在Rt△4。。中，。4=y/AD2-OD2=V132-122=5，

:.OC=5,

・・・四边形OBEC的周长=2x(5+12)=34.

【解析】(I)先根据菱形的性质得到NBOC=90。，再证明四边形BOCE为平行四边形，则可判定

四边形BOCE为矩形，然后根据矩形的性质得到结论；

(H)先根据菱形的性质得到04=OC,OB=0D=12240。=90。,则利用勾股定理计算出。45,

则0C=5,然后计算矩形BOCE的周长即可.

本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对

角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.也考查了矩形的判定与性质.

23.【答案】280401207

【解析】解：(I)①根据函数图象中的数据，t=3时，甲组加工零件的数量为y尹=120(个)，

t=4时，甲组加工零件的数量为y尹=120(个)，

甲组工人每小时加工零件：120+3=40(个)，

a=120+40x(8-4)=280(个)；

②根据函数图象中的数据，甲组工人每小时加工零件：120+3=40(个)；

③根据函数图象中的数据，乙组工人每小时加工零件：360+(8-5)=120(个)；

④设甲组加工c小时时，甲、乙两组加工零件的总数为480个，

由题意得：120+40(c-4)+120(c-5)=480,

解得c=7,

即甲组加工7小时时，甲、乙两组加工零件的总数为480个.

故答案为：①280;②40;③120：(4)7.

(H)设Vz与t之间的函数关系式是yz=肛+仇

(5k+b=0

i8k+b=360'

解得:忆嚼°，

即Vz与t之间的函数关系式是yz=1201-600(5<t<8).

0<t<3时，丫甲=40t(0<t<3),

3st<4时，丫甲=120(3<t<4),

4WtW8时，设、用=mt+n(4WtW8),

(4m+n=120

18m+n=280，

解得:{㈡o,

:,y甲=40t-40(4<t<8),

'40t(0<t<3)

y甲—-120(3<t<4).

(40t-40(4<t<8)

(I)①根据函数图象中的数据，可以直接得t=3,t=4时甲组加工零件的数量，可得到甲的速度，

然后即可计算出a的值；

②根据函数图象中的数据，可得到甲的速度；

③根据函数图象中的数据，可得乙组工人的速度；

④根据题意，可以列出相应的方程，然后即可得到甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的

总数为480个；

(U)根据函数图象中的数据，可以得到丫/、Vz与t之间的函数关系式，注意t的取值范围.

本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

24.【答案】15

【解析】解：⑴••・4(12,0),C(0,9),

•••OA=12,OC=9,

••・矩形04BC,

OC=AB,

在Rt△48。中，BO=15,

故答案为：15；

(2)由折叠可知，AB=BE=9,AD=ED,

"OA=12,

：.OD=12-AD,

vOB=15,

OE=6>

在RMODE中,(12-40)2=36+402,

解得AD=I，

915

・•・DE=PDO=y,

・・・D(/0)，

・・・力(12,0),C(0,9),

・・・B(12,9),

设直线8。的解析式为y=kx+b,

解得仁篇

:.y=2x-15；

(3)取点P(9,9),过点P作PF1工轴交于点F(9,0),

连接。P,过点P作PG〃BD交汇轴于点G,过点G作GH1OP交于点儿

/.Z-OPF=45°,/.GPF=/-DBA,

vPB=GD,

•••G(f,O),

「、、

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