2021-2022学年广西玉林市高二年级上册学期期末模拟考试数学（理）试题含答案

2021-2022学年广西玉林市高二上学期期末模拟考试数学(理)试题

一、单选题

1.命题“Vx>2,2x-4N0”的否定是（）

A.Vx<2,2x-4<0B.Vx>2,2x-4<0

C.Hr0<2,2x0-4<0D.3x0>2,2x0-4<0

【答案】D

【解析】任意改存在，x改为厮，否定结论即可.

【详解】全称命题的否定是特称命题，且将结论否定，

故其否定为：3X0>2,2X0-4<0

故选：D.

【点睛】本题考查全称命题的否定.

2.已知向量”(一2,3,1),3=(1,-2,4),则〃+八()

A.(―1,1,5)B.(-3,5,—3)C.(3,—5,3)D.(1,-1,-5)

【答案】A

【分析】利用空间向量加法的坐标运算，即得解.

【详解】因为。=(-2,3,1),2,4).所以。+6=(—1,1,5).

故选：A

3.双曲线[-1=1的渐近线方程是()

A.y—?~xB.y=±-xC.y=ixD.y=i'x

4332

【答案】D

【解析】由双曲线标准方程W-¥=1对应的渐近线方程y=±2》即可知=1的渐近线方程

a2b2a43

【详解】根据双曲线二一《小的渐近线方程：y=±-x,知：

abja

]-1=1的渐近线方程为丫=±#X

故选：D

【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，根据双曲线标准方程对应渐近线方程求题设给定双曲线的渐

近线方程

4.椭圆4/+6）2=24的短轴长是（）

A.2B.娓C.4D.2面

【答案】C

【分析】将椭圆的方程化为标准方程，由此求得人的值，进而求得短轴长2b.

【详解】椭圆方程变形为4+}=1，

可得从=4,

b=2,短轴长为26=4.

故选：C

5.抛物线>=2/的准线方程是（）

A.4x+l=0B.4y+l=0C.8x+l=0D.8y+l=0

【答案】D

【分析】根据抛物线的定义，将抛物线化成标准式，即可求出其准线方程.

【详解】解：y=2x2

；.p=；,则该抛物线y=2V的准线方程是>=-《=-：,即8y+l=0.

42o

故选：D

【点睛】本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，属于基础题.

6.执行下面的程序框图，若输入的A=l,则输出的A的值为（）

A.7B.-17C.31D.-65

【答案】C

【分析】根据程序框图依次计算得到答案.

【详解】A=l,忆=1；A=—5,k=1-A=l,k-3；A=—\l,k=4；A=31,%=5.

结束，输出答案31

故选C

【点睛】本题考查了程序框图，根据程序框图依次计算是一种常用的方法，需要同学们熟练掌握.

7.某校选取20人参加网络安全知识竞赛（总分100分），对这20人的成绩x和人数），进行统计分析,

得下表数据：

X[0,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

y15932

若XN80,记为优秀.现从成绩优秀的学生中随机抽取2人，则恰有1人成绩落在［90,100］内的概率为

（）A.-B.—C.-D.g

5562

【答案】B

【分析】结合题意，运用概率知识即可求出结果.

【详解】由题意可知X280的人数为5人，其中80Vx<90的人数为3人，90Vx<100的人数为2人,

C'C'3

则从中随机抽取2人，恰有1人在90Vx<100的概率为哀•=1,

故选：B

8.如图，在三棱锥「一ABC中，点。，E,F分别是A8,PA,CQ的中点，设PA="，PB=b,

PC=c，则EF=（）

B.—a—b--c

442

I1,1

D.——a+—b+—c

442

【答案】D

【分析】利用空间向量的线性运算、三角形的中位线及线段中点的向量表示进行化简求解.

【详解】如图，连接OE,

因为点。，E分别是A8,24的中点，

所以

2

因为点。是A8的中点，

所以CC=；（C4+CB）

=-（PA-PC+PB-PC\=-a+-b-c.

2、>22

因为点尸是C。的中点，

所以DF——CD——u—bH—c,

2442

贝ijEF=ED+DF=--a+-/?+-c.

442

故选：D.

9.甲，乙两位同学最近5次的数学测试成绩的茎叶图如图所示，分别用x和y表示甲、乙两位同学

数学测试成绩的平均分，则（）

甲乙

988

97649368。

A.工>>B.x=y

C.xvyD.x和y的大小与a有关

【答案】A

【分析】分别计算出甲、乙的总分，然后进行比较，即可判断其平均分的大小.

【详解】甲的总分：89+94+96+97+99=475

乙抛去最后一次的分：88+93+96+98=375

475-375=100

所以无论。为多少，都不会大于100,

所以甲的总分大于乙的总分，

又两个的成绩次数一样，都为5次，

所以甲的平均分大于乙的平均分，

从而,

故选:A

10.已知命题P：若直线/与抛物线C有且仅有一个公共点，则直线/与抛物线C相切，命题4：若,〃＞5,

则方程方2

y=1表示椭圆.下列命题是真命题的是

m+\

A.pv(r)B.(-.p)A(7C.PMD.(/)人(p)

【答案】B

【解析】若直线与抛物线的对称轴平行，满足条件，此时直线与抛物线相交，可判断命题P为假;

当机＞5时，,〃+1＞机-3＞(),命题。为真，根据复合命题的真假关系，即可得出结论.

【详解】若直线与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线只有一个交点，

直线与抛物不相切，可得命题。是假命题，

当相＞5时，＞m-3＞0,

22

方程」一+上•=1表示椭圆

m-3团+1

命题4是真命题，

则(〜)Aq是真命题.

故选:B.

【点睛】本题考查复合命题真假的判断，属于基础题.

11.己知椭圆E：(+1=1的左、右焦点分别为1，B，定点A(l,4),点p是椭圆E上的动点，则

|/科+归用的最大值是()

A.7B.10C.17D.19

【答案】C

【分析】计算忸用=疹不=5,利用|P4|+|P用=12+|网-归段V12+|A闾得到答案.

【详解】由题意可得玛（4,0）,则宣段=在彳=5.|以一|「闾4|伍|=5.

因为点尸在椭圆E上,所以|尸制+|尸词=24=12所以归凰=12-归用

故|网+俨耳|=12+|母-|%|417.

当AF2P共线且P在AF2延长线上时取等号.

故选：C

【点睛】本题考查了椭圆线段的最值问题，利用1Ml=12-归闾是解题的关键，意在考查学生的转

化能力和计算能力.

12.双曲线=1，（。＞0乃＞。）的左、右焦点分别为K，尸2,渐近线分别为4,右，过点耳且与人

ab

垂直的直线/交4于点P,交4于点2,若PQ=2FR则双曲线的离心率为（）

A.41B.石C.2D.3

【答案】B

【解析】记。为坐标原点，根据双曲线方程表示出左焦点打（-。,0）和两条渐近线方程4、/一/：并

将直线/与渐近线方程6,求出户的坐标，可知归用=可。4=".根据向量关系可知归@=2|尸制，则

得伊。|=»,|00|=必奇，再由余弦定理转化即可求解离心率.

［详解】记。为坐标原点.由题意可得耳（-c，0）,不妨设l,：y=~x,l2：y=^x,则直线/：y=^x+c）.

aa2

y=-（x+c）x=——

联立直线/与渐近线方程4，\，解得,c,

bab

故由两点间距离公式可得归与=可。"=a.

因为PQ=2耳尸，所以|尸。=2|尸制，

所以|PQ|=»,\OQ\=yJa2+4h2>

c2++4b2—9b2

则在口QO耳中，cosZQOF=-

.-2s/f储+4铲9.

因为tan/QO居=2,所以cos/QOF,=@,

ac

所以由补角性质可得COSNQO耳+cos/QOFZ=十当今"工泌？+@=。,

2cy]a2+4b2c

整理得cJ4a2c2+3/=O,

则e4—4e2+3=0,解得e=>/3.

故选：B.

【点睛】本题考查了双曲线的几何性质简单应用，直线与双曲线的位置关系应用，由余弦定理解三

角形，齐次式法求双曲线渐近线方程，属于中档题.

二、填空题

13.某校高一年级有800人，一次数学测试后，随机抽取了100份试卷，其中及格的人数为70,则

此次数学测试高一年级及格的人数大约是.

【答案】560

【分析】由样本及格率估计总体合格人数即可.

【详解】因为随机抽取了100份试卷，其中及格的人数为70,

故样本及格率为啬=70%,

所以预测数学测试高一年级及格的人数大约是800*70%=560人，

故答案为：560

14.已知双曲线C：《-£=l的左、右焦点分别为百、鸟，点A在双曲线C的左支上，且|A周=12,

164

则|4号=.

【答案】20

【解析】利用双曲线的定义可求出|A6].

【详解】A在双曲线C的左支上，由双曲线的定义可得娟=2，记=8,

因此，|伍|=|M|+8=20.

故答案为：20.

【点睛】本题考查双曲线定义求焦半径，考查计算能力，属于基础题.

15.在区间上随机取一个数x,则0«sin2x43的概率为_______.

L44J2

【答案】g

jrJrjrjr/0

【解析】由xw得出2xw，利用正弦函数的性质得出不等式04sin2xW里的解集,

_44J\_22]2

再由几何概型概率公式求解即可.

【详解】所有基本事件构成的区间长度为?-=5

当xe7171时।，2》一万7C,万71

乃

61

由04sin2x4理•，得2xe0,[c71--

xe0,—贝”=£3

2L3.6

2

故答案为：—

【点睛】本题主要考查了利用几何概型概率公式求概率，属于基础题.

16.已知抛物线C：V=2px(p>0)的焦点为尸，过点F的直线/与抛物线C在第一象限交于点M,

与抛物线C的准线交于点N,过点M作抛物线C的准线的垂线，垂足为从若|M@=2|NF|,

\NH\=645,则抛物线C的标准方程是.

【答案】丁=8x

【分析】设MG，y),计算得到％=*丫2=-殍根据

\NH卜国+母=6由计算得到P=4得到答案.

【详解】设MQM，4-/巴).因为|财=2即|,所以|知川=玉+勺32，

所以再=甲，又=亚P，则%:一手.

乙2.

因为MHLNH,所以“[-5,石p),所以加川=石0+率=66，则P=4

故抛物线C的标准方程是/=8x.

故答案为：V=8x

【点睛】本题考查了抛物线方程的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力.

三、解答题

17.某健康社团为调查居民的运动情况，统计了某小区100名居民平均每天的运动时长（单位：小

时），并根据统计数据分为［1,1.5）,［1.5,2）,［2,2.5）,［2.5,3）,［3,3.5）,［3.5,4］六个小组（所调查的

居民平均每天运动时长均在［1,4］内），得到频率分布直方图如图所示.

时长（小时）

（1）求出图中加的值，并估计这100名居民平均每天运动时长的平均值及中位数（同一组中的每个数

据可用该组区间的中点值代替）；

（2）为了分析该小区居民平均每天的运动量与职业、年龄等的关系，该社团按小组用分层抽样的方法

抽出20名居民进一步调查，试问在［152）时间段内应抽出多少人？

【答案】（1）根=0.5,平均数为2.4小时，中位数为2.4小时

（2）4人

【分析】（1）根据频率分布直方图的性质可得小，再利用平均数与中位数的计算公式直接计算；

（2）根据分层抽样等比例的性质直接计算.

【详解】（1）由频率分布直方图可知（0.2+0.4+2m+0.3+0.1）x0.5=l,解得：m=0.5,

平均数：（1.25x0.2+1.75*0.4+2.25x0.5+2.75x0.5+3.25x0.3+3.75x0.1）*0.5=2.4小时；

中位数：由（0.2+0.4）?0.50.3<0.5,（0.2+0.4+0.5）?0.50.55>0.5,得中位数在［2,2.5）内，

设中位数为。，贝IJ（0.2+0.4）x0.5+（。-2）x0.5=0.5,解得：«=2.4,即中位数为2.4小时

（2）由已知可得在［1.5,2）时间段内的频率为04x0.5=0.2,

所以在［152）时间段内应抽出20x0.2=4人.

18.已知p：函数«r)=(a-m)x在R上单调递减，q：关于x的方程x2-2ar+/-1=。的两根都

大于1.

(1)当，〃=5时，"是真命题，求a的取值范围；

(2)若p为真命题是q为真命题的充分不必要条件，求小的取值范围.

【答案】(1)(5,6)；(2)m>2.

【分析】(1)由，"=5,得到火x)=(a-5)x,再根据指数函数的单调性求解；

(2)先根据命题为真，化简命题p,q,然后根据?为真命题是夕为真命题的充分不必要条件求解.

【详解】(1)因为m=5,所以式x)=(4-5)x

因为〃是真命题，

所以0<a-5<l,

解得5<a<6.

故a的取值范围是(5,6)

(2)若p是真命题，则解得，"Va<nz+1.

关于x的方程x2-2ax+a2-1=0的两根分别为a-1和a+1.

若q是真命题，则解得a>2.

因为p为真命题是q为真命题的充分不必要条件，

所以/n>2.

19.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为尸，且抛物线C与直线y=2x的一个交点是M(,”,2).

(1)求抛物线C的方程；

(2)若直线/：y=x+"(w*())与抛物线C交于A,8两点，且。4_LO3(。为坐标原点)，求〃.

【答案】(1)r=4%；(2)n=-4.

[2m=2

【分析】(1)根据题意得到C,，计算得到答案.

[2pm=4

(2)设A(x“x),8优,力)，联立方程利用韦达定理得到％+必=4,乂必=4〃，根据04,08计算

得到答案.

(—2

【详解】(1)由题意可得一解得机=1,。=2.故抛物线。的方程是〉2=4-

[2pm=4

y2=4九

,整理得y-”+4〃=0,

{y=x+〃

则%+%=4,耳必=4”,从而为三=（-%）="2.

216

因为。4J_O8,所以占龙2+%必="2+4〃=0,又〃片0,所以〃=一4.

【点睛】本题考查了抛物线方程，韦达定理的应用是解题的关键，意在考查学生的计算能力.

20.某校针对校食堂饭菜质量开展问卷调查，提供满意与不满意两种回答，调查结果如下表（单位:

人）：

学生高一高二高三

满意500600800

不满意300200400

（1）求从所有参与调查的人中任选1人是高三学生的概率；

（2）从参与调查的高三学生中，用分层抽样的方法抽取6人，在这6人中任意选取2人，求这两人

对校食堂饭菜质量都满意的概率.

32

【答案】（1）y;（2）j

【分析】（1）高三人数除以全校总人数即是所求概率；

（2）采用分层抽样的6人中结果满意的4人，不满意的2人，分别求出基本事件总数和两人都是满

意所包含的基本事件个数，即可得到概率.

【详解】（1）由题意得该校学生总人数为500+300+600+200+800+400=2800人，

则从所有参与调查的人中任选1人是高三学生的概率P=色量&=5.

（2）依题意可得，从调查结果为满意的高三学生中应抽取人，设为4，&,A,,

儿；从调查结果为不满意的高三学生中应抽取400><右，加=2人，设为四，B2.

从这6人中任意选取2人的所有基本事件有（A，4）,（A，&）,（A，Aj,（4山），（A，B2）,（A2.A,）,

（4,A4）,（&,BJ（出为），（AH）,（4.&）,（4出），（4出），（用出）,共15种.

设A表示事件“两人都满意”，则事件A包含的基本事件有（4,4）,（4,4）,（A，4）,区,4）,（4,4），

（4,4）,共6种.

故所求概率P（A）$=|.

【点睛】此题考查根据古典概型求概率，关键在于准确求出基本事件的个数，其中涉及分层抽样，

考查概率与统计知识的综合应用.

21.如图，在四棱锥中，底面4BCD是直角梯形，ZBAD=ZCDA=90,PAl^ABCD,

PA=AD=DC=1,AB=2.

（1）证明：平面R4CL平面

（2）求直线尸。与平面PBC的所成角的正弦值.

【答案】（1）见解析（2）正

【分析】（1）由面面垂直的判定定理证明即可；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【详解】（1）证明：由已知AC=0，BC=叵,AB=2,

AAC2+BC2^AB2,BCA.AC.

又必_L平面ABC。，BCu平面A8CZ）,

/.PAIBC,又ACcP4=A,AC,PAu平面PAC

/.BC1平面PAC.

又BCu平面P8C

平面PBC1平面PAC.

（2）解：以AO所在直线为x轴，A8所在直线为y轴，承所在直线为z轴，建立空间直角坐标系

A-xyz

则P(0,0,l),D(l,0,0),C(l,l,0),3(020)

PD=（1,O,-1）,PC=（1,1,-1）,P8=（O,2,-l）.

设平面P8C的一个法向量为〃=（x,y,z）,则

\n-PB=O,J2y-z=0

几・PC=0,[x+y-z=O

令z=2,则〃=（L1,2）.

设与平面PBC所成的角为。，

；\\PD-n\J3

则sin。=cos（PD,〃）=~r—1=—.

'/|ra|??|6

【点睛】本题主要考查了证明面面垂直，利用向量法求线面角，属于中档题.

22.设椭圆C：5+5=1（。＞6＞0）的左、右焦点分别为耳，工，下顶点为A,椭圆C的离心率是

B,AA片鸟的面积是

2

（1）求椭圆C的标准方程.

（2）直线/与椭圆C交于8,D两点（异于A点），若直线A8与直线A