2021-2022学年上海市闵行区高二年级上册学期期末数学试题含答案

2021-2022学年上海市闵行区高二上学期期末数学试题

一、填空题

［x=1-3//、

\（zeR）

1.参数方程卜=T+4所表示的直线的斜率为.

_4

【答案】一§

【解析】将直线的参数方程化为普通方程，进而可求得所求直线的斜率.

fx=l-3//、/

1（/eR）__4］_

【详解】在参数方程lv=T+〃中消去参数，可得4x+3y-l=0,即>=-亍+弓

_4

因此，所求直线的斜率为一§.

_4

故答案为：-5.

2.已知曲线C的极坐标方程为0=4cos〃，则该曲线的直角坐标方程为.

［答案］一+/2_4*=0

【分析】将P=4cos0的两边同乘0,再根据》="恒$。/=?$泊°得到羽j的关系式，即为C的直

角坐标方程.

［详解］因为夕=4COS（9,所以p2=4pcos<9,且x=pcos。/=psind,

所以V+V=4x,即为一+/一以=°,

故答案为：x2+y2-4x=0

x2y2,x2y2

--F—=1-------=1

3.已知椭圆2516与双曲线加5有共同的焦点，则机=.

【答案】4

【分析】求出椭圆的焦点，再解方程3=标石，即得解.

【详解】解：由题意得椭圆的焦点为（一二°）和（3，°）,

所以3=历？，所以加=4.

故答案为：4

4.已知直线,经过点'（一2,3）,且它的倾斜角等于直线N=x的倾斜角的2倍，则直线/的方程为

【答案】》=-2

【分析】求出直线夕=》的倾斜角，从而可求得直线/的倾斜角，即可得解.

71兀

【详解】解：直线的倾斜角为％,所以直线/的倾斜角为5,

所以直线’的方程为x=-2.

故答案为：x=-2

x2V

---F——=1

5.若A为椭圆259上的点，耳、层为椭圆的左右焦点，则用的周长.

【答案】18

【分析】由椭圆的定义可知△/用周长为M用+M用+闺用=2"2c,进而得解.

【详解】椭圆259中，a=51=3,c=4,

由椭圆的定义可知周长为回+M+闺闾=2"2c,

:.AAF1F2的周长为2a+2c=10+8=18,

故答案为：18.

6.抛物线『=2力上一点0（1,加）到抛物线焦点的距离为5,则实数加=.

【答案】±4

【分析】根据焦半径公式，可求出。=8,从而得到抛物线方程，把点。代入抛物线方程即可求出

加的值.

【详解】由题意可知抛物线的焦点在x轴上，且

因为抛物线V=2px上一点0（1,〃?）到抛物线焦点的距离为5,

所以根据焦半径公式，得"I",所以P=8,即/=16x,

因为点°（1，加）到抛物线上，所以川=16,所以加=±4.

故答案为：±4.

7.著名的天文学家、数学家开普勒发现了行星运动三大定律，其中开普勒第一定律又称为轨道定

律，即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且太阳中心处在椭圆的一个焦点上.记地球绕太阳运

动的轨道为椭圆C,在地球绕太阳运动的过程中，若地球轨道与太阳中心的最远距离与最近距离之

比为2,则C的离心率为

【答案】3

^-=2

【分析】设椭圆C的焦距为2c,实轴长为2a,进而得a-c,再根据离心率公式计算即可.

【详解】解：根据题意，设椭圆C的焦距为2c,实轴长为2“，

所以地球轨道与太阳中心的最远距离为a+C,最近距离为"-J

_a_+__c—230—_c——1

所以〃一「,即"3c,-a-3

故C的离心率为3

故答案为：3

8.已知圆的方程为犬+/一米-2夕-公=0,则当该圆面积最小时，圆心的坐标为.

【答案】(0，1)

【分析】将圆的方程化成标准形式，求出圆心及半径即可分析计算作答.

(x--)2+(^-l)2=—+1(-,1)

【详解】依题意，圆的方程化为：24,于是得该圆圆心2,半径

5k2

S=冗r1=4(---+

因此，该圆面积4,当且仅当％=0时取“=”，

所以当该圆面积最小时，圆心的坐标为(°，1).

故答案为：(°，1)

9.实数x，y满足xW+，3=i,则点区内到直线x+y+仁。的距离的取值范围是—.

(4+乌

【答案】22

【解析】分段讨论去绝对值判断出表示的图形，可得出表示的图形在

y=-X和x+y-&=o之间，利用平行线间距离公式即可求出.

【详解】•••实数「y满足

当x2°，”°时，方程为v+/=i,表示一段圆弧，

当xZO,y<0时，方程为/-/=],表示双曲线的一部分，

当x<0,yN0时，方程为_/一*=1,表示双曲线的一部分，

当x<O,y<°时，方程为f+/=一[,不表示任何图形,

画出x|x|+，|y|=l表示的图形,

可知双曲线的一条渐近线为歹=-",和x+y+l=°平行，

设和x+F+l=O平行且和圆x2+/=l在第一象限相切的直线为x+y+a=O,

Mi

则正=，解得。=-&,

可得表示的图形在y=-x和x+y-近=°之间，

1_A/2

则kT和x+y+i=°的距离为02,

卜丁-1[]I应

x+y-0=O和x+y+l=O的距离为夜2,

（五、五]

-,]----

则结合图形可得点（％y）到直线x+y+i=°的距离的取值范围是122J.

T5T

故答案为：12」.

【点睛】本题考查解析几何的综合问题，解题的关键是得出xW+MN=i表示的图形，数形结合可

求出.

口片-片7

10.已知双曲线88的左焦点为R点"在双曲线C的右支上，小0,4）,当△小尸的周

长最小时，尸的面积为.

【答案】12

【解析】尸的周长为MH+四月+MH,其中1/=4&为定值，所以即求|皿+明尸],利用定

义可得MTW+4凡所以周长为心|+|S+8终作图当河、AF三点共线时周长最短,

利用面积分割求得面积.

【详解】如图，设双曲线C的右焦点为尸.由题意可得”2&,尸（广或0,K4）0

因为点M在右支上，所以MT"1=2a=4修所以阿=|M『|+4&,则△牍i尸的周长为

\MA\+\MF\+\AF\=\M/\+\MF'\+Sy/2>|//|+8近=12/

即当M在m'处时，△MX尸的周长最小，此时直线4尸的方程为y=-x+4.

y=-x+4

联立〔88,整理得夕-1=°,则加=1,

［尸尸1］。/|一3尸尸'||yw|=，x8x（4-l=12

故△仙/尸的面积为11121ll?w|2

故答案为：12

【点睛】本题考查双曲线数形结合求最值以及求三角形的面积，属于基础题.

方法点睛：（1）双曲线求最值常用定义的方法，把到一个焦点的距离转化为到另一个焦点的距离.

（2）圆锥曲线中求三角形的面积经常采用面积分割的方法.

11.“康威圆定理''是英国数学家约翰・康威引以为豪的研究成果之一.定理的内容是这样的：如图，

“8C的三条边长分别为8c=。，AC=b,N8=c,延长线段C4至点4,使得以此类推

得到点4田，层,G和Cz,那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆.己知“=4,6=3,c=5,则由

△NBC生成的康威圆的半径为

【答案】历

【解析】利用弦长相等，HGITA闻=|与G|,圆心与弦所在直线距离相等，得圆心是直角

“sc的内心，从而易求得圆半径.

【详解】设〃是圆心，因为MG|=|4闵=|玛£],因此用到直线/5,8C,C/的距离相等，从而

3+4-5

「"MN=CN=------------=1

"是直角的内心，作WNC于N,连接则2,

NG=l+5=6,

所以苗6=户万=历.

故答案为：后.

【点睛】关键点点睛：本题考查求圆心的半径，关键是找出圆心位置，解题根据是利用弦长相等,

则圆心到弦所在直线的距离相等，从而得出圆心是题中直角三角形内心，这样由勾股定理可得结

论.

12.如图，耳、月是椭圆G与双曲线G的公共焦点，48分别是G、C?在第二、四象限的交点,

ZAF}B=^-

若则G与5的离心率之积的最小值为

【答案】2

【分析】根据椭圆和双曲线的定义和对称性，结合三角形面积公式、余弦定理、基本不等式进行求

解即可.

x22

—7H—7=1（。>b>0）,T—b2=C2

【详解】设椭圆方程为。.，

-2

—7——7=1（加,〃>0）,7772+n2=c2

双曲线方程为"〃-，

如下图，连接/巴、鸟8,所以/片88为平行四边形，

由明8号得今典弋,醉止

在椭圆中，由定义可知：s+，=2a,

由余弦定理可知：

4c2=s2+t2-1stcos—4c'=s2+t2-st=（s+t^-3stst=—b2

3'）3

c_1,G_/

典=2'st~=~rb

在双曲线中，由定义可知中：：，-s=2〃?，

由余弦定理可知:

4c2=s2+t2-2.«COSy=>4c2=s2+/2-st=(t-sy+sf=>s,=4〃2

S,印f=；.st•与=亚川

222

SF,F=^-b=5/3n=>b=3〃2

所以6伍3,

』-2=3&_.)n苧+《=422百詈

当且仅当"=6”时取等号,

c2百

------

所以"皿一2,

所以c与G的离心率之积的最小值为2.

【点睛】关键点睛：在椭圆和双曲线中利用焦点三角形的面积建立等式是解题的关键.

二、单选题

13.直线怎一F-1=°与直线》一何=°的夹角为（）

兀兀715Tl

A.6B.3C.2D.6

【答案】A

【分析】根据斜率分别计算两条直线的倾斜角，进而可得夹角.

【详解】两直线的斜率因为直线倾斜角范围为［0，兀）

，=—

则326,

兀—兀

0=-

故两直线夹角366,

故选：A.

|PM『

14.已知点加（2,0）,点尸在曲线/=4x上运动，点尸为抛物线的焦点,则产用T的最小值为

()

A.百B.2(6-1)C.4石D.4

【答案】D

【解析】如图所示：过点尸作尸及垂直准线于N,交y轴于。，则户/7卜1=归'卜1=俨。1,设

IM54

P(x，y),%>o,则IP用—ix,利用均值不等式得到答案.

【详解】如图所示：过点?作PN垂直准线于N,交y轴于。，则归户卜1TpM-1=归。1,

|PM|2_|PM|2_(x-2)2+y2_(x-2)2+4x_^^4

设P('J),x>0,则已用-\PQ\xx,

4

x=­

当X,即X=2时等号成立.

【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.

15.设点也(%/)，若在圆°：'2+>2=1上存在点N，使得/0MN=45",则％的取值范围是

()

-6FnVT

2

A.叩]B.[T,l]c.L22」D.L.

【答案】B

【分析】首先根据题中条件，可以判断出直线"N与圆。有公共点即可，从而可以断定圆心。到直

线的距离小于等于半径，列出对应的不等关系式，求得结果.

【详解】依题意，直线AW与圆。有公共点即可，

即圆心°到直线的距离小于等于1即可，

过。作。垂足为4,

在加中，因为NOK4=45°,

|0J|=|OM|sin45°=—|0M|

故2G,

所以则J/2+14友

解得TWx。W1.

故选：B.

【点睛】该题考查的是有关直线与圆的问题，涉及到的知识点有直线与圆的位置关系，解直角三角

形，属于简单题目.

16.已知椭圆,W+J一的左顶点为A,过点T（L°）作不与坐标轴垂直的直线/交椭圆C于点

M，N两点,直线/"4N与直线x=l分别交于尸下列说法正确的是（）

A.阳+图为定值B.惘一陶为定值

回+匹［

c.加•图为定值D.阳加为定值

【答案】C

【分析】设直线/的方程为"（XQJ'H，%）,联立直线与椭圆方程可得

v+x=J^_XX=^±。「，工1,,1,

121+4公1+4公，利用直线方程可得〔芭+2）,I£+2人则可求得"|+阳,

TP\TQ\

M-M.\TP\-\TQ\^^+国的值，从而可得答案.

【详解】解：由题可设直线/的方程为、="（"-1）,加（内，乂）、N（X2,力）,

蝴4左2-4

j=0,所以ML国小=由,

则/M方程占+N，令x=l,得玉+2

%。厂2）

\TP\+\TQ\=\PQ\=^--^-

I十NX）十乙x（x2+2（x,+X2）+4

所以

‘4公-48A2]

2+

29k。J+4/1+4A-J

9k[%1%2-（X,+工2）+1]_3

\TP\-\TQ\=9yM=

（xi+2）（々+2）xx+2（±+X）+44*_4c8公-4

x22X

-------5-+2------2-+4

1+4/[+4k

3k

3k[2须吃+（斗+工2）-3（心”1+4/+1$+4一后24J]

惘-阿=1普+期xx+2（芭+々）+4一+2xf

12+4阿

1+4-1+4公

附JTQ|177f+70『（]T0|+|研）2-2图.加工--2*4.n4

|T0|\TP\~|r0|-TP\\TQ\-\TP\3-3公

4

则只有"H叫为定值.

故选：C.

三、解答题

17.已知直线4：2x+y_3=o.

(1)若直线42与直线4垂直，且过点(1,1),求直线6的方程.

(2)若直线4与直线/：取-2y+1=°平行，求直线乙与/的距离：

【答案】(1产一2尸1=°

在

⑵2

I1%2=；

【分析】(1)由直线,2与直线4垂直，求得-2,结合直线的点斜式方程，即可求解；

(2)由直线4与直线/平行，求得a=-4,得到4x+2y-l=o,结合两平行线间的距离公式，即可

求解.

【详解】⑴解：由直线卜2"k3=0,可得尢=-2,

k=1

因为直线4与直线《垂直，所以左M?二T,可得2~2,

又因为直线4过点(1/)，可直线6的方程为‘一1一2”一1),即x-2y+l=0,

所以直线4的方程为x-2y+l=0.

6f_-21

(2)解：因为直线人与直线/：“x-2y+l=°平行，可得5-1*-3,解得。=-4,

即直线/与直线Tx-Zy+JO,即4x+2yT=0,

又由直线4：2X+N-3=O,可化为4x+2y-6=0,

4」-尸-6)|=.^5

所以直线4与/的距离“2+222,即直线4与/的距离2.

18.在平面直角坐标系®中，已知"BC的顶点坐标分别是'(°，°)，'(3,3)，°(1，-灼，记

外接圆为圆

⑴求圆M的方程；

(2)在圆M上是否存在点尸，使得归8/一|"「=12?若存在，求点尸的个数；若不存在，说明理

由.

［答案］⑴…-6x=0；

(2)存在；点户有两个.

【分析】(1)设出圆的一般方程，根据48，C三点均在圆上，列出方程组，即可求得圆方程;

（2）根据题意，设出点P的坐标，根据点尸满足的条件以及点P在圆上，将问题转化为直线与圆

的位置关系，即可求解.

【详解】（1）设小8c外接圆加的方程为*+_/+6+取+尸=0,

尸=°D=—6

<。+£*+6=0<E=0

将“（0,0），8（3,3），c（l，-⑸代入上述方程得：-屈+6=0，解得卜

则圆M的方程为『+V-6x=0.

设点P的坐标为(XJ),

(2)

M2-M2=12,所以(x-3)2+3—3)2—x2一/=12,

因为

化简得：x+y_i=o

d=g",-=&<3

因为圆M的圆心/9°）到直线"+夕一1=°的距离为Vl2+12

所以直线x+）'-l=°与圆加相交，故满足条件的点尸有两个.

19.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安

全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.

（1）以抛物线的顶点为原点O,其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛

物线的方程：

（2）若行车道总宽度为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到01米）？

【答案】（1/=-5y（-54x45）；

（2）40米.

【分析】（1）设出抛物线方程，根据点C（5,一5）在抛物线上，代入即可求出抛物线方程:

(2)设车辆高为人米，根据点°(35〃-6.5)在抛物线上，求出;，的值，从而可求出限制高度.

【详解】(1)根据题意，设该抛物线的方程为r=-2py(P>°),

__5

由图可知点C(5-5)在抛物线上，所以25=10p,即

所以该抛物线的方程为x2=-5y(-54x45)

(2)设车辆高为〃米，则网=力+0.5,故。(3.5,〃-6.5),

代入方程-二-5-解得力=4.05,

所以车辆通过隧道的限制高度为40米.

20.我们把等轴双曲线的一部分鳄瞽喷喇喃刖鹭半圆G：x"=〃2(”0)合成的

曲线称作“异型”曲线C,其中G是焦距为2近的等轴双曲线的一部分，如图所示.

⑴求“异型”曲线C的方程;

⑵若P(0,p)(p>0),。为，，异数，，曲线c上的点，求产。1的最小值;

(3)若直线/：V=丘-1与“异形”曲线C有两个公共点，求上的取值范围.

【答案】(i)r-

\PQU=

(2)

(3){-V2}U[-l,0)U(0,l]U{>/2}

【分析】（1）根据等轴双曲线的性质，及其焦距，可列出式子，求出a，。"，从而可求出G和&的

方程，进而可求出曲线o的方程；

（2）设°（2）,分”°和°两种情况，分别求出归域的表达式，进而求出两种情况的最小值,

比较二者大小，可得出答案.

（3）分发=0、0<441和左>1三种情况，分别讨论直线八了=米-1与G、的交点情况，可求出

k2°时，满足题意的人的取值范围，再结合“异型”曲线C的图象关于N轴对称，可求出％<0时，

满足题意的女的取值范围；

a=h

<2c=2>/2\a=b=\

【详解】（1）由题意，可知G满足,解得1'=也，

22

eCj:x-y=1（^>0）C2：—+V=1（y<0）

.•・”异型”曲线c的方程为/—MM=1.

②设。（x，y）,则

当yv0时，|P0「=x2+（y-p^=x2+y2+p2-2py=l+p2-2py

p]+2

..-i<^<o（。>0,...当>=o时，\Q\min=^P.

当y>0时・"嘲=/+8_p）2=/+/+〃2_2勿=2/_2陟+]+02=20-y）+-P+1,

（3）直线，"=履-1与“异型”曲线C有公共点

.X?-/=[（”0）Jx=l1x=-l

联立[X2+/=IGVO，，解得jy=o或jy=0,即G、G有公共点8（1,0）、C（-l,0）

①当氏=0时;直线/：y=T,与G无公共点，与G有唯一公共点（°，T）,不符合题意;

,-1-0,

②当0<左小时，可知“厂0-1,易知直线/：y=^T与G有两个公共点，

又••・G的渐近线为v=±x,且G中yzo,

="-i与G无公共点.

.•.当0<人小时，直线人尸.t与“异型”曲线c有两个公共点，符合题意；

③当%>1时，可知则直线.t与G只有一个公共点.

x2-y2=1

联立b=2l,得。-六”+2京-2=0,易知［一孙

若除4人4（1孑X-2）=0,解得』也,

•：k>\,：.k=亚,此时/号=丘-1与G相切于第一象限，只有一个公共点；

若A=4%2-4（l-〃X_2）>0,解得一6<k<6,

•：k>i,：.i<k<6,易知/与G在第一象限有两个交点.

."=血时，直线/：y=丘-1与“异型”曲线C有两个公共点.

根据“异型''曲线c的图象关于y轴对称，

可知当"€卜及'卜1'°）时，也满足直线/"=履-1与“异型”曲线c有两个公共点.

综上所述，k的取值范围是：卜血卜根｝

【点睛】关键点睛：本题第2问的关键在于分夕4°和N>°讨论，利用二次函数的最值，求出各自

的最小值，然后进行比较，再取最终的最小值，第3问的关键在于利用图象的对称性分k=0,

0<《41和斤>1进行讨论，要注意直线与渐进线平行是一个交点个数的分界位置，同时不忘直线与

曲线相切时的情况.

C,-7+4*=1（〃>6>0）A/f1,~'l「.iA

21.已知椭圆/b2经过点I2人且其右焦点与抛物线=4x的焦点厂重

合，过点厂且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于尸，。两点.

（1）求椭圆G的方程；

（2）设0为坐标原点，线段0尸上是否存在点阳"，°）,使得炉•称=闻•而？若存在，求出〃的取

值范围；若不存在，说明理由；

（3）过点4（4，°）且不垂直于X轴的直线与椭圆交于A,8两点，点8关于x轴的对称点为E,试证

明：直线月E过定点.

----1----=1ne0,—

【答案】（1）43.（2）存在，I4人（3）证明见解析.

【分析】（1）求出抛物线的焦点，即可根据椭圆的右焦点坐标及点M列方程求解方，从而求得

椭圆方程；（2）设直线尸。的方程为：y="（x-D,k^O,联立直线方程与椭圆方程可得关于x的

一元二次方程，利用韦达定理及中点坐标公式用人表示出线段尸°的中点火（三，乃），根据所给等式

可证明直线NE为直线P0的垂直平分线，则可得直线NR的方程，求出点N的横坐标从而可求得〃

的范围：（3）联立直线的方程与椭圆方程可得关于x的一元二次方程，设出匕，%）,8（%,

乂），E6,一乂），根据韦达定理求出退+匕、^4,求出直线ZE的方程并令？=°,求出x并逐步

化简可得》=1,则直线月E过定点0,0）.

X2y2

【详解】（1）•••椭圆右