专题04抽象函数的基本题型与解法探究

专题抽象函数的基此题型与解法探究【专题导航】抽象函数是指没有给出抽象函数是指没有给出详细的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数，对同学思维力量考查的起点较高，使得此类问题成为函数内容的难点之一，使多数同学感觉无从下手，望而生畏．争论抽象函数需要有严谨的规律思维力量、丰富的想象力以及函数学问敏捷运用的力量.近几年高考也在重点考查，但局部老师引导同学复习重视不够，本专题系统归纳抽象函数相关的基此题型与解法探究，供同仁们教学参考，同学高考复习.【抽象函数的学问体系】一、抽象函数的单调性性质1、假设函数y＝f(x)是单调递增的，那么以下三个式子成立且等价：〔1〕假如对于定义域I内某个区间D上的任意两个值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)；〔2〕对任意x1，x2∈[a，b]且，都有>0；〔3〕对任意x1，x2∈[a，b]且，都有．性质2、假设函数y＝f(x)是单调递减的，那么以下三个式子成立且等价：〔1〕假如对于定义域I内某个区间D上的任意两个值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)；〔2〕对任意x1，x2∈[a，b]且，都有<0；〔3〕对任意x1，x2∈[a，b]且，都有．二、抽象函数的对称性〔内反表示对称性〕性质1、假设函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称〔自身对称〕，那么以下三个式子成立且等价：〔1〕f(a＋x)＝f(a－x)；〔2〕f(2a－x)＝f(x)；〔3〕f(2a＋x)＝f(－x)推论：假设函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称〔自身对称〕，设.性质2、假设函数y＝f(x)关于点〔a，0〕中心对称〔自身对称〕，那么以下三个式子成立且等价：〔1〕f(a＋x)＝－f(a－x)；〔2〕f(2a－x)＝－f(x)；〔3〕f(2a＋x)＝－f(－x)推论：的图象关于点对称性质3、复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)关于直线x＝〔b－a〕/2轴对称推论EQ\o\ac(○,1)、复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于y轴轴对称推论EQ\o\ac(○,2)、函数与图象关于直线对称推论EQ\o\ac(○,3)、函数与图象关于直线对称推论EQ\o\ac(○,4)、函数与图象关于直线对称推论EQ\o\ac(○,5)、函数与图象关于X轴对称推论EQ\o\ac(○,6)、互为反函数与函数图象关于直线对称性质4、复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(b－x)关于点〔〔b－a〕/2，0〕中心对称推论：复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于原点中心对称性质5、中心对称为〔a,b)，那么以下五类状况成立：=1\*GB3①点=2\*GB3②=3\*GB3③〔即〕=4\*GB3④〔即〕=5\*GB3⑤EQ\o\ac(○,6)的图象关于点对称例如、;性质6、假设,即EQ\o\ac(○,1)、EQ\o\ac(○,2)、三、抽象函数的奇偶性1、奇偶函数：设，或者定义域关于原点对称定义=1\*GB3①假设定义=2\*GB3②假设。易知y＝f(x)为偶〔或奇〕函数分别为抽象函数的性质1〔或2〕，当a＝0时的特例。推论EQ\o\ac(○,1)、偶函数与图象关于Y轴对称推论EQ\o\ac(○,2)、奇函数与图象关于原点对称函数推论EQ\o\ac(○,3)、y=f(x+a)是偶函数⇔函数y=f(x)关于直线x=a对称;推论EQ\o\ac(○,4)、y=f(x+a)是奇函数⇔函数y=f(x)关于点(a,0)对称.2、复合函数的奇偶性〔内偶那么偶，内奇同外〕定义EQ\o\ac(○,1)、假设对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，那么复数函数y＝f[g(x)]为偶函数。定义EQ\o\ac(○,2)、假设对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，那么复合函数y＝f[g(x)]为奇函数。说明：〔1〕复数函数f[g(x)]为偶函数，那么f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，那么f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。〔2〕两个特例：y＝f(x＋a)为偶函数，那么f(x＋a)＝f(－x＋a)；y＝f(x＋a)为奇函数，那么f(－x＋a)＝－f(a＋x)〔3〕y＝f(x＋a)为偶〔或奇〕函数，等价于单层函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称〔或关于点〔a，0〕中心对称〕四、抽象函数的周期性〔内同表示周期性〕1、周期函数的定义：对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，那么称函数具有周期性，叫做的一个周期，那么〔〕也是的周期，全部周期中的最小正数叫的最小正周期2、的周期为3、的周期为4、的周期为5、的周期为6、的周期为7、的周期为8、的周期为9、的周期为10、假设11、有两条对称轴和周期推论：偶函数满意周期12、有两个对称中心和周期推论：奇函数满意周期13、有一条对称轴和一个对称中心的14、分段函数的周期：设是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:。把个单位即按向量在其他周期的图像：。即四、抽象函数的详细模型化〔即详细代替抽象，简称具象化〕类型函数方程解析函数模型拟合抽象函数的性质1型或者f(xy)=f(x)f(y)型正比例函数设函数定义在上，满意，假设时，恒大于，那么有如下性质：①；②是上的奇函数；③在上单调递增．2〔，，均不为零〕型反比例函数设函数满意，，，都恒不为0，那么有如下性质：①有对称中心；②是对称区间上单调性相同．3型一次函数函数定义域为，对任意都有，且，当时，，那么在上单调递增．4(或)〔〕型二次函数〔〕．〔，〕设函数满意，那么有如下性质：①有对称轴；②是对称区间上单调性相反．5型或f(xy)=f(x)÷f(y)型指数函数定义在上的函数满意对任意都有，且当时，，那么有如下性质：①；②；③当时，；④在上单调递增6型f(x÷y)=f(x)f(y)对数函数假设函数定义域为，当时，，且对任意，都有，那么有如下性质：①；②；③在上单调递增；④当时，．7型幂函数假设函数满意对任意都有，且不恒为，当时，那么有如下性质：①；②当时，；③在上单调递增．8型余弦函数设是定义在上不恒为零的函数，对一切实数都满意，那么有如下性质：①；②是偶函数；③假设，那么是以为周期的函数．9()型正切函数设是定义在上的函数，对一切实数都满意()，那么有如下性质：①；②是奇函数；③假设，那么是以为周期的函数．10型复合函数定义在上的函数满意对实数都有，且时，那么有如下性质：①；②为奇函数；③是上的减函数．题型一题型一抽象函数的定义域罗师导航罗师导航抽象函数的定义域是依据函数的定义域，利用代换法得到不等式(组)进行求解的，另外，还要满意分式的分母不为0、被开方数非负、对数的真数大于0等一些常规的要求．详见求函数的定义域．【例11】函数f(x)的定义域为(－1，1)，那么函数g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))＋f(x－1)的定义域为()A．(－2，0)B．(－2，2)C．(0，2)D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))[答案]C；[解析]由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1<\f(x,2)<1，,－1<x－1<1，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2<x<2，,0<x<2，))∴0<x<2，∴函数g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))＋f(x－1)的定义域为(0，2).[点评]求解复合型抽象函数y＝f(g(x))的定义域，经常通过换元设t＝g(x)，依据函数y＝f(t)的定义域，得到g(x)的范围，从而解出x的范围．同时，在求函数的定义域时要兼顾函数的整体结构，要使函数各局部都有意义．【力量达标训练】【11】假设函数f(x)的定义域为[1，8]，那么函数eq\f(f〔2x〕,x－3)的定义域为()A．(0，3)B．[1，3)∪(3，8]C．[1，3)D．[0，3)[答案]D；[解析]f(x)的定义域为[1，8]，假设函数eq\f(f〔2x〕,x－3)有意义，那么eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1≤2x≤8，,x－3≠0，))解得0≤x<3.应选D.【12】函数y＝f(x2－1)的定义域为[－eq\r(3)，eq\r(3)]，那么函数y＝f(x)的定义域为________．解析：由于y＝f(x2－1)的定义域为[－eq\r(3)，eq\r(3)]，所以x∈[－eq\r(3)，eq\r(3)]，x2－1∈[－1，2]，所以y＝f(x)的定义域为[－1，2].答案：[－1，2]题型二题型二抽象函数的函数解析式罗师导航罗师导航一般赋值构方程组，消元求解析式，在求函数解析式时，通常状况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消逝〞，进而保存一个变量，是实现这种转化的重要策略．详见求函数的解析式．【例21】设对满意的全部实数x，函数满意，求f〔x〕的解析式．分析：以代换其中x构造新等式方程〔2〕，再在〔1〕中以代换x构造新等式方程〔3〕，联立方程组利用可得解析式.解析：在中以代换其中x，得：再在〔1〕中以代换x，得化简得：【力量达标训练】【21】函数f(x)满意f(－x)＋2f(x)＝2x，那么f(x)＝__________．【答案】eq\f(2x＋1－2－x,3)；【解析】(解方程组法)由f(－x)＋2f(x)＝2x，①．得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②．①×2－②，得3f(x)＝2x＋1－2－x．即f(x)＝eq\f(2x＋1－2－x,3)．故f(x)的解析式是f(x)＝eq\f(2x＋1－2－x,3)(x∈R)．【22】定义在(－1，1)内的函数f(x)满意2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，那么f(x)＝________________．【答案】eq\f(2,3)lg(x＋1)＋eq\f(1,3)lg(1－x)(－1＜x＜1)；【解析】当x∈(－1，1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．①，将x换成－x，那么－x换成x，得2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②，由①②消去f(－x)得，f(x)＝eq\f(2,3)lg(x＋1)＋eq\f(1,3)lg(1－x)(－1＜x＜1)．【23】f(x)满意2f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝3x，那么f(x)＝________．【答案】2x－eq\f(1,x)(x≠0)；【解析】∵2f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝3x，①．把①中的x换成eq\f(1,x)，得2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋f(x)＝eq\f(3,x)．②．联立①②可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2f(x)＋f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝3x，,2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋f(x)＝\f(3,x)，))解此方程组可得f(x)＝2x－eq\f(1,x)(x≠0)．题型三题型三抽象函数的函数值罗师导航罗师导航赋值法是抽象函数求函数值的重要方法，通过观看与分析抽象函数问题中与未知的关系，查找适宜的特殊有用的值，赋给抽象函数的变量，进而解决抽象函数的求值.一般需要挖掘出函数的性质，特殊是借助函数的奇偶性〔对称性〕和周期性来转化解答．赋值主要从以下方面考虑：①令x=…、﹣2、﹣1、0、1、2…等特殊值求抽象函数的函数值；②令x=x2，y=x1或y=eq\f(1,x1)，且x1<x2，判定抽象函数的单调性；③令y=﹣x，判定抽象函数的奇偶性；④换x为x+T，确定抽象函数的周期；⑤用x=eq\f(x,2)+eq\f(x,2)或换x为eq\f(1,x)等来解答有关抽象函数的一些其它问题.【例31】定义在R上的函数f(x)满意f(－x)＝－f(x)，f(3－x)＝f(x)，f(2)＝1，那么f(2023)＝()A．－3B．0C．1D．3【答案】C；解析：用－x替代x，得到f(x＋3)＝f(－x)＝－f(x)，∴T＝6，∴f(2023)＝f(337×6＋1)＝f(1).∵f(3－x)＝f(x)，∴f(3)＝f(0)＝0.∴f(2023)＝0.【例32】〔2021年全国高考甲卷数学〔理〕试题〕设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．假设，那么〔〕A． B． C． D．【答案】D；【分析】由于是奇函数，所以①；由于是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，由于，所以，令，由①得：，所以．思路一：从定义入手．，，所以．思路二：从周期性入手；由两个对称性可知，函数的周期．所以．应选：D．【例33】〔多项选择〕〔2022·全国·高考真题〕函数及其导函数的定义域均为，记，假设，均为偶函数，那么〔

〕A． B． C． D．【答案】BC；【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，依据函数的性质逐项推断即可得解.【解析】由于，均为偶函数，所以即，，所以，，那么，故C正确；函数，的图象分别关于直线对称，又，且函数可导，所以，所以，所以，所以，，故B正确，D错误；假设函数满意题设条件，那么函数〔C为常数〕也满意题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.应选：BC.【点睛】关键点点睛：解决此题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，精确?????把握原函数与导函数图象间的关系，精确?????把握函数的性质〔必要时结合图象〕即可得解.【力量达标训练】【31】〔2018年全国一般高等学校招生统一考试理数〔全国卷II〕〕是定义域为的奇函数,满意.假设，那么A． B． C． D．【答案】C；【详解】详解：由于是定义域为的奇函数，且，所以,因此，由于，所以，，从而，选C.解析：选C法一：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1).由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数得f(0)＝0.又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.法二：由题意可设f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x))，作出f(x)的局部图象如下图．由图可知，f(x)的一个周期为4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.【32】〔2021年全国高考甲卷数学〔文〕试题〕设是定义域为R的奇函数，且.假设，那么〔〕A． B． C． D．【答案】C；【分析】由题意可得：，而，故.应选：C.【33】〔2022·全国·高考真题〕函数的定义域为R，且，那么〔

〕A． B． C．0 D．1【答案】A；【分析】依据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．【解析】由于，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．由于，，，，，所以一个周期内的．由于22除以6余4，所以．应选：A．【34】〔2022·全国·高考真题〔理〕〕函数的定义域均为R，且．假设的图像关于直线对称，，那么〔

〕A． B． C． D．【答案】D；【分析】依据对称性和条件得到，从而得到，，然后依据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解.【解析】由于的图像关于直线对称，所以，由于，所以，即，由于，所以，代入得，即，所以，.由于，所以，即，所以.由于，所以，又由于，联立得，，所以的图像关于点中心对称，由于函数的定义域为R，所以，由于，所以.所以.应选：D【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比拟隐藏，考生需要依据条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.【35】函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，且当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，那么f(－2023)＋f(2024)＝()A．3B．2C．1D．0[答案]C；[解析]由于函数f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(－2023)＝－f(2023)，由于当x≥0时，有f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，即当x≥0时，自变量的值每增加6，对应函数值重复消失一次．又当x∈(0，3)时，f(x)＝x＋1，所以f(2023)＝f(337×6＋1)＝f(1)＝2，f(2024)＝f(337×6＋2)＝ff(－2023)＋f(2024)＝－2＋3＝1.【36】定义域为的函数f〔x〕，同时满意以下条件：①；②，那么f〔3〕=，f〔9〕=.试题分析：令构造等式，求f〔3〕;令构造等式求f〔9〕.解析：(1)取，得，由于，所以，又取，得.【37】〔2014年全国一般高等学校招生统一考试文科数学〔全国Ⅱ卷〕偶函数的图像关于直线对称，，那么=________．【答案】3；试题分析：由于的图像关于直线对称，故，又由于是偶函数，故．【38】函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，那么f(2020)＋f(2021)＋f(2022)的值为________．[解析]由于函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，所以函数y＝f(x)的图象关于原点对称，即函数f(x)是R上的奇函数，由于f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4.所以f(2021)＝f(505×4＋1)＝f(1)＝4，所以f(2020)＋f(2022)＝f(2020)＋f(2020＋2)＝f(2020)＋f(－2020)＝f(2020)－f(2020)＝0，所以f(2020)＋f(2021)＋f(2022)＝4.[答案]4[点评]利用对称性求解不等式，一般是先利用函数的奇偶性与图象的对称性(偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于坐标原点对称)，转换到同一单调区间上，然后脱去抽象不等式中的符号“f〞，转化为常规的不等式，进而求得不等式的解集．【39】〔2023届高三贵州联考10〕函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)+f(－x)＝4成立，且函数y＝f(x)与函数g(x)＝x3的图象相交于五个点〔xi,yi)，那么i=15(x[答案]5;[解析]f(x)与g(x)均关于〔1,2)对称，〔xi+yi)=1+〔2〕=1，题型四题型四抽象函数的性质与解抽象不等式罗师导航罗师导航抽象函数中的求特殊的函数值，争论函数的奇偶性及依此解关于x的不等式等问题多运用“赋值法〞进行求值和化简，判定抽象函数的单调性，一般设x=x2，y=x1或y=eq\f(1,x1)，且x1<x2；判定抽象函数的奇偶性，一般设y=﹣x.函数周期性求解一般通过赋值法，结合所给的抽象函数的等式进行转化，直到得到f〔x〕=f〔x+T)的结论.【典例41】设函数对任意、都有，且当时，.〔1〕证明为奇函数；〔2〕证明在R上是减函数；〔3〕假设，求在区间上的最大值和最小值.【素养指导】〔1〕令求得的值，再令可得出，由此可得出结论；〔2〕任取，利用题干中的等式以及该函数的奇偶性可得出，得出与的大小关系，由此可得出结论；〔3〕计算出和的值，利用〔2〕中的结论可得出结果.【解析】〔1〕由于函数对任意、都有，该函数的定义域为，令，可得，再令，可得，即，，因此，函数为奇函数；〔2〕设，那么，，那么，所以，，因此，函数在上是减函数；〔3〕由于函数在上是减函数，所以，函数在上也是减函数，所以，函数在上的最大值和最小值分别为和，而，，因此，函数在上的最大值为，最小值为.【典例42】函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满意对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2).(1)求f(1)的值；(2)推断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)假如f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．解：(1)由于对于任意x1，x2∈D有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0.(2)f(x)为偶函数，证明如下：f(x)定义域关于原点对称，令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝eq\f(1,2)f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知f(x)是偶函数，所以f(x－1)<2等价于f(|x－1|)<f(16).又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以0<|x－1|<16，解得－15<x<17且x≠1，所以x的取值范围是(－15，1)∪(1，17)【力量达标训练】【41】(2020·新高考全国卷Ⅰ)假设定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，那么满意xf(x－1)≥0的x的取值范围是()A．[－1，1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0，1]C．[－1，0]∪[1，＋∞) D．[－1，0]∪[1，3][解析]∵定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，f(x)的大致图象如图：∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(－2)＝0，故f(－1)＜0；当x＝0时，不等式xf(x－1)≥0成立，当x＝1时，不等式xf(x－1)≥0成立，当x－1＝2或x－1＝－2时，即x＝3或x＝－1时，不等式xf(x－1)≥0成立，当x＞0时，不等式xf(x－1)≥0等价为f(x－1)≥0，此时eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，,0<x－1≤2，))此时1＜x≤3，当x＜0时，不等式xf(x－1)≥0等价为f(x－1)≤0，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<0，,－2≤x－1<0，))得－1≤x＜0，综上－1≤x≤0或1≤x≤3，即实数x的取值范围是[－1，0]∪[1，3]，应选D.[答案]D【42】函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．假设f(1)＝－1，那么满意－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是()A．[－2，2]B．[－1，1]C．[0，4]D．[1，3]解析：选D∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x).∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1).又f(x)在区间(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.【43】定义在R上的函数f(x)满意f(x)＝f(－x)，且f(x)＝f(x＋6)，当x∈[0，3]时，f(x)单调递增，那么f(x)在以下哪个区间上单调递减()A．[3，7]B．[4，5]C．[5，8]D．[6，10]解析：选B依题意知，f(x)是偶函数，且是以6为周期的周期函数．由于当x∈[0，3]时，f(x)单调递增，所以f(x)在[－3，0]上单调递减．依据函数周期性知，函数f(x)在[3，6]上单调递减．又由于[4，5]⊆[3，6]，所以函数f(x)在[4，5]上单调递减．【44】(多项选择)f(x)是定义域为R的奇函数，且函数f(x＋2)为偶函数，那么以下结论正确的选项是()A．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称B．f(4)＝0C．f(x＋8)＝f(x)D．假设f(－3)＝－1，那么f(2021)＝－1解析：选BCD依据题意，f(x)是定义域为R的奇函数，那么f(－x)＝－f(x)，又由函数f(x＋2)为偶函数，那么函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，那么有f(－x)＝f(4＋x)，那么有f(x＋4)＝－f(x)，即f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，那么函数f(x)是周期为8的周期函数．据此分析选项：对于A，函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，A错误；对于B，f(x)是定义域为R的奇函数，那么f(0)＝0，又由函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，那么f(4)＝0，B正确；对于C，函数f(x)是周期为8的周期函数，即f(x＋8)＝f(x)，C正确；对于D，假设f(－3)＝－1，那么f(2021)＝f(－3＋253×8)＝f(－3)＝－1，D正确．【45】(多项选择)(2021·济南模拟)函数f(x)，对∀x∈R，都有f(－2－x)＝f(x)，且任取x1，x2∈[－1，＋∞)，eq\f(f〔x2〕－f〔x1〕,x2－x1)＜0(x1≠x2)，以下结论中正确的选项是()A．f(0)＞f(－3)B．∀x∈R，f(x)≤f(－1)C．f(a2－a＋1)≥feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))D．假设f(m)＜f(2)，那么－4＜m＜2解析：选AB依据题意，函数f(x)对∀x∈R，都有f(－2－x)＝f(x)，那么函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，又由任取x1，x2∈[－1，＋∞)，eq\f(f〔x2〕－f〔x1〕,x2－x1)＜0(x1≠x2)，那么f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递减，那么f(x)在(－∞，－1]上单调递增；据此分析选项：对于A，f(－3)＝f(1)，那么有f(0)＞f(1)＝f(－3)，A正确；对于B，f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，在区间[－1，＋∞)上单调递减，故f(x)在x＝－1时，取得最大值，即有∀x∈R，f(x)≤f(－1)，B正确；对于C，f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递减，又由a2－a＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)，那么f(a2－a＋1)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))，C错误；对于D，假设f(m)＜f(2)，那么有|m＋1|＞3，解得m＜－4或m＞2，D错误．【46】假设函数f(x－2)为奇函数，f(－2)＝0，且在区间[－2，＋∞)上单调递减，那么不等式f(3－x)>0的解集为________．[解析]由于函数f(x－2)为奇函数，所以f(x－2)图象的对称中心为点(0，0).由于f(x)的图象可由f(x－2)的图象向左平移两个单位长度而得，所以f(x)的图象关于点(－2，0)对称．由于f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，所以f(x)在(－∞，－2]上也单调递减．由于f(3－x)>0＝f(－2)，所以3－x<－2，解得x>5.[答案](5，＋∞)【47】定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0，那么不等式f(logeq\f(1,9)x)>0的解集为________．[解析]由题意知，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0，f(x)在(－∞，0)上也单调递增．∴f(logeq\f(1,9)x)>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))或f(logeq\f(1,9)x)>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，∴logeq\f(1,9)x>eq\f(1,2)或－eq\f(1,2)<logeq\f(1,9)x<0，解得0<x<eq\f(1,3)或1<x<3.∴原不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,3)或1<x<3)))).[答案]eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,3)或1<x<3))))【48】假设对于常数m和任意实数x，等式恒成立，那么的周期为.【分析】将x换成x+m得，再将x换成x+2m得.将恒等式中的x换成x+m得【解析】,又将上式中的x换成x+2m得,故是以4m为周期的周期函数.【49】(2021·银川模拟)定义在实数集R上的函数f(x)满意f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x).现有以下三种表达：①8是函数f(x)的一个周期；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数．其中正确的序号是________．解析：由f(x)＋f(x＋2)＝0，得f(x＋2)＝－f(x)，那么f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即4是f(x)的一个周期，8也是f(x)的一个周期，故①正确；由f(4－x)＝f(x)，得f(x)的图象关于直线x＝2对称，故②正确；由f(4－x)＝f(x)与f(x＋4)＝f(x