升级增分训练应用题

第1页共7页升级增分训练应用题1．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x20时，年销售总收入为260万元．则该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)解析：记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为 y万元，则当x≤20时，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；当x＞20时，y＝260－100－x＝160－x.x2＋32x－100，0＜x≤20，故y＝∈*)．(xN160－x，x＞20当0＜x≤20时，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，当x＝16时，ymax＝156.而当x＞20时，160－x＜140，故x＝16时取得最大年利润．答案：162．某商场从生产厂家以每件 20元购进一批商品，若该商品零售价定为 p元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170p－p2.则最大毛利润为________元．(毛利润＝销售收入－进货支出)解析：设毛利润为 L(p)，则题意知：2L(p)＝pQ－20Q＝(8300－170p－p)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去)．此时，L(30)＝23000.因为在

p＝30

附近的左侧

L′(p)＞0，右侧

L′(p)＜0，L(30)

L(30)

30元时，最大毛利润为

23000元．答案：

23000第2页 共7页3.如图所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形(其中一边长为x)，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为________时，其容积最大．解析：由题意可知，正六棱柱的底面边长为1－2x，高为xtan60°＝3x，所以六棱柱329321的体积为V(x)＝6×4(1－2x)×3x＝2(4x－4x＋x)0<x<2，2则V′(x)＝2(12x－8x＋1)，1令V′(x)＝0，得x＝6或x＝2(舍去)．111因为当x∈0，6时，V′(x)>0；当x∈6，2时，1V′(x)<0，所以x＝6时函数取得极大值，也是最大值．2此时正六棱柱的底面边长为 3.答案：

234．如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练．已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小．若AB＝15m，AC＝25m，∠BCM＝30°，则tanθ的最大值是________．(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)解析：由题意，在 Rt△ABC中，sin∠ACB＝ABAC＝1525＝35，则cos∠ACB＝45.作PH⊥BC，垂足为H，连接AH，设PH＝x，则CH＝3x，由余弦定理得AH＝625＋3x2－403x，θ＝∠＝PH＝11，故当1＝43时，tanθ取得最大值，最大tantanPAHAH625403xx125－2x＋3x3值为9.第3页 共7页答案：5 395.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(如图所示)，则每辆客车营运________年时，其营运的年平均利润最大．解析：由题图可得营运总利润y＝－(x－6)2＋，11则营运的年平均利润 yx＝－x－25x＋12，∵x∈N*，y≤－225＋12＝2，∴x·xx25当且仅当x＝x，即x＝5时取“＝”．∴x＝5时营运的年平均利润最大．答案：56．做一个圆柱形锅炉，容积为 V，两个底面的材料每单位面积的价格为材料每单位面积的价格为 b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比为

a元，侧面的________．解析：如图，设圆柱的底面半径为R，高为h，则V＝πR2h.设造价为y＝2πR2＋π＝π2V22bV2bVa＋2πRb·2＝π＋，所以y′＝4πaR－R2.2Rhb2aRπR2aRR2Rb令y′＝0，得h＝a.答案：ba7.如图，经过村庄 A有两条夹角为 60°的公路 AB，AC，根据规划第4页 共7页拟在两条公路之间的区域内建一工厂 P，分别在两条公路边上建两个仓库 M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米)．记∠AMN＝θ.将AN，AM用含θ的关系式表示出来；(2)如何设计(即AN，AM为多长)，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小 (即工厂与村庄的距离 AP最大)?MN解：(1)由已知得∠MAN＝60°，∠AMN＝θ，MN＝2，在△AMN中，由正弦定理得sin60°＝AN＝AM，sinθsin120°－θ所以AN＝433sinθ，4343AM＝3sin(120°－θ)＝3sin(θ＋60°)．在△中，由余弦定理可得AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP(2)AMP162163＝3sin(θ＋60°)＋4－3sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)883＝3[1－cos(2θ＋120°)]－3sin(2θ＋120°)＋4820＝－3[3sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋3163－3sin(2θ＋150°)，0＜θ＜120°，当且仅当 2θ＋150°＝270°，即 θ＝60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此时AN＝AM＝2.8．为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒 1个单位的净化剂，空气中释放的浓度 y(mg/m3)随着时间x(天)变化的函数关系式近似为－1，0≤x≤4，8－xy＝ 若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放15－2x，4<x≤10.的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验可知，当空气中净化剂的浓度不低于4(mg/m3)时，它才能起到净化空气的作用．若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化空气的时间可达几天？(2)若第一次喷洒

2个单位的净化剂，

6天后再喷洒

a(1≤a≤4)个单位的净化剂，

要使接下来的

4天中能够持续有效净化空气，试求

a的最小值．

(精确到

0.1，参考数据：

2取

1.4)第5页 共7页解：(1)因为一次喷洒 4个单位的净化剂，64－4，0≤x≤4，8－x所以浓度f(x)＝4y＝20－2x，4＜x≤10.64则当0≤x≤4时，由 －4≥4，解得x≥0，所以此时 0≤x≤4.当4＜x≤10时，由20－2x≥4解得x≤8，所以此时4＜x≤8.综上得0≤x≤8，所以若一次投放 4个单位的制剂，则有效净化时间可达 8天．设从第一次喷洒起，经x(6≤x≤10)天，116－116a16a浓度g(x)＝25－2x＋a－x－＝10－x＋14－x－a＝(14－x)＋－a－4.8614－x因为14－x∈[4,8]，而1≤a≤4，所以4a∈[4,8]，故当且仅当14－x＝4a时，y有最小值为8a－a－4.令8a－a－4≥4，解得24－162≤a≤4，所以a的最小值为24－162≈1.6.9．从旅游景点A到B有一条100公里的水路，某轮船公司开设一个游轮观光项目．已知游轮每小时使用的燃料费用与速度的立方成正比例，其他费用为每小时3240元，游轮最大时速为 50km/h，当游轮速度为 10km/h时，燃料费用为每小时 60元，若单程票价定为元/人．一艘游轮单程以40km/h航行，所载游客为180人，轮船公司获得的利润是多少？如果轮船公司要获取最大利润，游轮的航速为多少？解：设游轮以vkm/h的速度航行，游轮单程航行的总费用为f(v)元，则游轮的燃料费用每小时k·v3元，依题意k·103＝60，则k＝3，50∴f(v)＝331001002＋32400050v·＋3240·＝6vv.vv当v＝40km/h时，f(v)＝6×402＋324000＝17700(元)，40第6页 共7页轮船公司获得的利润是 150×180－17700＝9300(元)．(2)f′(v)＝12v－324000＝12v3－27000，v2v2令f′(v)＝0，得v＝30,当0<v<30时，f′(v)<0，此时f(v)单调递减；当30<v≤50时，f′(v)>0，此时f(v)单调递增．故当

v＝30时，f(v)有极小值，也是最小值，

f(30)＝16200，∴轮船公司要获取最大利润，游轮的航速应为

30km/h.10.某市政府为了丰富市民生活，在某山区投资开发了一个旅游区．如图所示，在该旅游区的某一景点内有两座小山，其中一座山(山高为OB＝110米)的山顶B处建有一座高为40米(即BC＝40米)的吉祥塔．经过水平地面上的一点A，沿另一座山的山坡铺设了一条直线段形的观光游览路线，已知该观光游览路线所在的直线l与水平地面1P处观看吉祥塔，视角为∠BPC.所成的角为α，且tanα＝.若小明在观光游览路线上的某点2已知OA＝100米，设点P到水平地面的距离为x(0＜x≤90)米．(1)令f(x)＝tan∠BPC，求f(x)关于x的函数解析式；(2)当x为何值时，小明观看吉祥塔的效果最好(即∠BPC最大)?解：(1)过点P分别作PQ⊥OA，PR⊥OB，垂足分别为 Q，R，如图所示，则PQ＝x米，由tanα＝12可知AQ＝2x米，所以PR＝(100＋2x)米，BR＝(110－x)米，CR＝(150－x)米，所以tan∠RPB＝110－x150－x，tan∠RPC＝，100＋2x100＋2x第7页 共7页150－x110－x－100＋2x100＋2x＋800所以tan∠BPC＝tan(∠RPC－∠RPB)＝－＝2，150x－x＋28x＋53001＋·100＋2x100＋2x所以f(x)＝16x＋800(0＜≤90)．x2＋28x＋5300(2)欲使小明观看吉祥塔的效果最好(即∠BPC最大)，即要使tan∠BPC最大，即f(x)最大．