2019年中考数学总复习知识点梳理汇编

精品文档用心整理教材知识梳理•系统复习第一单元数与式第1讲实数知识点一：实数的概念及分类关键点拨及对应举例1.实数（1）按定义分 （2）按正、负性分正有理数《卜有理数1_0_ 有限小数或 正实数<] 负有理数无限循环小数实数10实数1正正无理数] 负实数无理数 无限不循环小数负无理数（1）0既不属于正数，也不属于负数.（2）无理数的几种常见形式判断：①含n的式子；②构造型：如3.010010001…（每两个1之间多个0）就是一个无限不循环小数；③开方开不尽的数：如，；④三角函数型：如sin60°,tan25°.（3）失分点警示：开得尽方的含根号的数属于有理数，如=2,=-3，它们都属于有理数.知识点二：实数的相关概念2.数轴（1）二要素：原点、正方向、单位长度（2）特征：实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大例：数轴上-2.5表示的点到原点的距离是2.5.3.相反数（1）概念：只有符号不同的两个数（2）代数意义：a、b互为相反数a+b=0（3）几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等a的相反数为-a，特别的0的绝对值是0.例：3的相反数是:3,-1的相反数是1.4.绝对值（1）几何意义：数轴上表示的点到原点的距离(1)若|x|=a(a>0)，则x=±a.资料来源于网络仅供免费交流使用

精品文档用心整理(2)运算性质：|a|=♦a(a>0); |a-b|=♦ a-b(a>b)L I-a(a<0). b-a(a<b)(3)非负性：|a|>0，若|a|+b2=0，则a=b=0.(2)对绝对值等于它本身的数是非负数.例：5的绝对值是5;|-2|=2;绝对值等于3的是丝;|1-|二」.5.倒数(1)概念：乘积为1的两个数互为倒数.a的倒数为也(a手0)(2)代数意义：ab=1^a,b互为倒数例：-2的倒数是-1/2;倒数等于它本身的数有里.知识点三：科学记数法、近似数6.科学记数法(1)形式：ax10n,其中lw|a|<10,n为整数(2)确定n的方法：对于数位较多的大数，n等于原数的整数为减去1;对于小数，写成ax10-n,1<|a|<10,n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数(含小数点前面的一个)例：21000用科学记数法表示为2.1x104;19万用科学记数法表示为1.9x105;0.0007用科学记数法表示为7x10-4.,近似数(1)定义：一个与实际数值很接近的数.(2)精确度：由四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.例：3.14159精确到百分位是314;精确到0.001是3.142.知识点四：实数的大小比较8.实数的大小比较(1)数轴比较法：数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大(2)性质比较法：正数>0>负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小.(3)作差比较法：a-b>0^a>b;a-b=0分a=b;a-b<0Ha<b.(4)平方法：a>b>0^a2>b2.例：把1,-2,0,-2.3按从大到小的顺序排列结果为_1>0>。>-2.3_.知识点五：实数的运算资料来源于网络仅供免费交流使用

精品文档用心整理9.常见运算乘方几个相同因数的积；负数的偶(奇)次方为正(负)例：(1)计算：1-2-6=_-7__;(-2)2=―4—3-1=_1/3_;n0= 1 ;(2)64的平方根是_±8__,算术平方根是_8_，立方根是_4_.失分点警示：类似“的算术平方根”计算错误.例：相互对比填一填：16的算术平方根是_4___，的算术平方根是_2_.零次幕ao=_1_（a手0）负指数幕a-p=1/ap（a制,p为整数）平方根、算术平方根若x2=a(aN0),则x=.其中正是算术平方根.立方根若x3=a，则x=3a.10.混合运算先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算，从左向右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号一次进行.计算时，可以结合运算律，使问题简单化第2讲整式与因式分解、 知识清单梳理知识点一：代数式及相关概念关键点拨及对应举例1.代数式(1)代数式：用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式.(2)求代数式的值：用具体数值代替代数式中的字母，计算得出的结果，叫做求代数式的值.求代数式的值常运用整体代入法计算.例：a-b=3,则3b-3a=-9.2.整式(1)单项式：表示数字与字母积的代数式，单独的一个数或一个字母也叫单项例：(单式.其中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的(1)下列式子：①-2a2；②3a-5b:③祖项式、次数.④2/x;⑤7a2；⑥7x2+8x3y;⑦？。。.其中多项(2)多项式：几个单项式的和.多项式中的每一项叫做多项式的项，次数最高属于单项式的是①③⑤⑦;多项式是②资料来源于网络仅供免费交流使用

精品文档用心整理式)的项的次数叫做多项式的次数.(3)整式：单项式和多项式统称为整式.(4)同类项：所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项.⑥；同类项是①和⑤.(2)多项式7m5n-11mn2+1是六次三项式，常数项是_」.知识点二：整式的运算3.整式的加减运算(1)合并同类项法则:同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变.(2)去括号法则：若括号外是“十”，则括号里的各项都不变号；若括号外是“一”，则括号里的各项都变号.(3)整式的加减运算法则：先去括号，再合并同类项.失分警示：去括号时，如果括号外面是符号，一定要变号，且与括号内每一项相乘，不要有漏项.例：-2(3a-2b-1)=-6a+4b+2.4.幕运算法则(1)同底数幕的乘法：am•an=omin；(2)幕的乘方：(am)n=amn；(3)积的乘方：(ab)n=anbn；(4)同底数幕的除法：am+an=am-n(a手0)其中m,n都在整数(1)计算时，注意观察，善于运用它们的逆运算解决问题.例：已知2m+n=2,则3x2mx2n=6.(2)在解决幂的运算时，有时需要先化成同底数.例：2m，m=23m.5.整式的乘除运算(1)单项式X单项式：①系数和同底数幕分别相乘；②只有一个字母的照抄.(2)单项式x多项式：m(a+b)=ma+mb.(3)多项式x多项式： (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.(4)单项式-单项式：将系数、同底数幂分别相除.(5)多项式-单项式：①多项式的每一项除以单项式；②商相加.失分警示：计算多项式乘以多项式时，注意不能漏乘，不能丢项，不能出现变号错.例：(2a-1)(b+2)=2ab+4a-b-2.(6)乘法公式平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2.注意乘法公式的逆向运用及其变形公式的运用完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2.变形公式：a2+b2=(a±b)22ab,ab=【(a+b)2-(a2+b2)】/26.混合注意计算顺序，应先算乘除，后算加减；若为化简求值，一般步骤为：化简、代入替换、计算.例：(a-1)2-(a+3)(a-3)-10=_-2a__.资料来源于网络仅供免费交流使用

精品文档用心整理运算知识点五：因式分解7・因式分解(i)定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式.(2)常用方法：①提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c).②公式法：a2—b2=(a+b)(a—b)；a2±2ab+b2=(a+b)2,(3)一般步骤：①若有公因式，必先提公因式；②提公因式后，看是否能用公式法分解：③检杳各因式能否继续分解.(1)因式分解要分解到最后结果不能再分解为止，相同因式写成幕的形式；(2)因式分解与整式的乘法互为逆运算.二、知识清单梳理知识点一：分式的相关概念关键点拨及对应举例1.分式的概念(1)分式：形如A(A,B是整式，且B中含有字母,B之0)B的式子.(2)最简分式：分子和分母没有公因式的分式.在判断某个式子是否为分式时，应注意：(1)判断化简之间的式子(2)n是常数，不是字母.例：下列分式：①;②；③;④2x±2，其中是分式是x2-1②③④；最简分式③.2・分式的意义A(1)无意义的条件：当旦三0时，分式高无意义；BA(2)有意义的条件：当由0时，分式百有意义；BA(3)值为零的条件：当A三0,B圭0时，分式£=0.B失分点警示：在解决分式的值为0，求值的问题时，一定要注意所求得的值满足分母不为0.x21例：当x一1的值为0时，则x=-1.x-13.基本性质AA-CA♦C(1)基本性质：7rH「=心「(80)・BB,CB—C(2)由基本性质可推理出变号法则为：A -A -(-A) A -A A——= = = = B -B B ，B B -B'由分式的基本性质可将分式进行化简：例」：化简：x2~11=匕1.x2+2x+1x+1知识点三：分式的运算资料来源于网络仅供免费交流使用

精品文档用心整理4.分式的约分和通分(1)约分(可化简分式)：把分式的分子和分母中的公因式约去，ama即L=T；bmb(2)通分(可化为同分母)：根据分式的基本性质，把异分母的分acacbd式化为同分母的分式，即7,7n-—,~—bdbcbc分式通分的关键步骤是找出分式的最简公分母，然后根据分式的性质通分.例：分式和J\的最简公分母%2+xx5-17为x(v2-1).5.分式的加减法aba±b(1)同分母：分母不变，分子相加减.即-土-==；cccac(2)异分母：先通分，变为同分母的分式，再加减.即［土二二bdad±bcbd-例：+-^―=-1.x—11—x1 1 2a+ = .a+1a—1a2—16.分式的乘除法⑴乘法：*d啮；(2)除法：b+d=£；(3)乘方：fa丫二空(n为正整数).(b)bn盅H3 'C1> aIB3II II1 |2|i■ 1■ X|2-1-wIII■7.分式的混合运算(1)仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否分解因式，若能，就要先分解后约分.(2)含有括号的运算：注意运算顺序和运算律的合理应用.一般先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的.失分点警示：分式化简求值问题，要先将分式化简到最简分式或整式的形式.再代入求值.代入数值时注意要使原分式有意义.有时也需运用到整体代入.第4讲二次根式知识点一：二次根式关键点拨及对应举例三、知识清单梳理知识点一：二次根式关键点拨及对应举例三、知识清单梳理知识点一：二次根式 关键点拨及对应举例资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理1.有关概念(1)二次根式的概念：形如函(aN0)的式子.(2)_次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0.(3)最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式(分母中不含根号)：②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式失分点警示：当判断分式、二次根式组成的复合代数式有意义的条件时，注意确保各部分都有意义，即分母不为0，被开方数大于等于0等.例：若代数式J有意义，则x的取值Y%-1范围是注1.2.二次根式的性质(1)双重非负性：①被开方数是非负数，即a>0；②二次根式的值是非负数，即而>0.注意：初中阶段学过的非负数有：绝对值、偶幕、算式平方根、二次根式.利用二次根式的双重非负性解题：(1)值非负:当多个非负数的和为0时，可得各个非负数均为0.如4a+1+b--1=0,贝a=-1,b=1.(2)被开方数非负:当互为相反数的两个数同时出现在二次根式的被开方数下时，可得这一对相反数的数均为0.如已知b=7a-1+、11-a则a=1，b=0.(2)两个重要性质：厂 /— fa(a>0)①Na)2=a(a>0)；②/a2=回=f ( 0)；⑶积的算术平方根：Obb=后,次(a>0,b>0)；(4)商的算术平方根：J]='(a>0,b>0).例：计算:^3.142=3.14;J(-2)2=2；石==2.、:=亘工-；=2；V9囱3知识点二：二次根式的运算3.二次根式的加减法先将各根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式.例：计算：近-尿+氐=迺二4.二次根式的乘除法(1)乘法：aa.\,'b=^ab(a>0,b>0);注意：将运算结果化为最简二次根式.例：计算：3E=1；正正4.弋273一石72二一资料来源于网络仅供免费交流使用

精品文档用心整理(2)除法：5=「(a>0,b>0).5二次根式的混合运算运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的(或先去括号).运算时，注意观察，有时运用乘法公式会使运算简便.例：计算:(尬+1)(拒-1)=1.第二单元方程(组)与不等式(组)第5讲一次方程(组)四、知识清单梳理知识点一：方程及其相关概念关键点拨及对应举例1•等式的基本性质(1)性质1：等式两边加或减同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.即若a=b，则a±c=b垃.(2)性质2:等式两边同乘(或除)同一个数(除数不能为0),所得结果仍是等式.即若a=b,贝ijac=bc，a=b(c*0).cc(3)性质3:(对称性)若a=b,则b=a.(4)性质4:(传递性)若a=b,b=c则a=c.失分点警示：在等式的两边同除以一个数时，这个数必须不为0.例：判断正误.⑴若a=b,则a/c=b/c. (x)⑵若a/c=b/c，则a=b.(V)2•关于方程的基本概念(1)一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1,且等式两边都是整式的方程.(2)二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.⑶二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程.(4)二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解.在运用一元一次方程的定义解题时，注意一次项系数不等于0.例U：若(a-2)n+a=0是关于x的一元一次方程，则a的值为0.知识点二：解一元一次方程和二元一次方程组3.解一元一次方程的步骤(1)去分母:方程两边同乘分母的最小公倍数，不要漏乘常数项；(2)去括号：括号外若为负号，去括号后括号内各项均要变号；失分点警示：方程去分母时，应该将分子用括号括起来，然后再去括号，资料来源于网络仅供免费交流使用

精品文档用心整理(3)移项：移项要变号；(4)合并同类项：把方程化成ax=-b(a之0);(5)系数化为1:方程两边同除以系数2彳得到方程的解x=-b/a.防止出现变号错误.4.二元一次方程组的解法思路：消元，将二元一次方程转化为一元一次方程.已知方程组，求相关代数式的值时，需注意观察，有时不需解出方程组，利用整体思想解决解方程组.例：已知12%一丁=9则x-y的值为x-y=4.[%-2y=3方法：(1)代入消元法:从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把“它”代入另一个方程，进行求解；(2)加减消元法:把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法.知识点三：一次方程(组)的实际应用5列方程(组)解应用题的一般步骤(1)审题：审清题意，分清题中的已知量、未知量；(2)设未知数；(3)列方程(组)：找出等量关系，列方程(组)；(4)解方程(组)；(5)检验：检验所解答案是否正确或是否满足符合题意；(6)作答：规范作答，注意单位名称.(1)设未知数时，一般求什么设什么，但有时为了方便，也可间接设未知数.如题目中涉及到比值，可以设每一份为x.(2)列方程(组)时，注意抓住题目中的关键词语，如共是、等于、大(多)多少、小(少)多少、几倍、几分之几等.6.常见题型及关系式(1)利润问题：售价=标价x折扣，销售额=售价x销量，利润=售价-进价，利润率=利润/进价X100%.(2)利息问题：利息=本金x利率x期数，本息和=本金+利息.(3)工程问题：工作量=工作效率x工作时间.(4)行程问题：路程=速度x时间. ①相遇问题：全路程二甲走的路程+乙走的路程；②追及问题：a.同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程；b.同时不同地出发：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程.资料来源于网络仅供免费交流使用

精品文档用心整理第6讲一元二次方程五、知识清单梳理知识点一：一元二次方程及其解法关键点拨及对应举例1.-元二次方程的相关概念(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程.(2)一般形式：ax2+bx+c=0(a手O),其中ax2、bx、c分别叫做一次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项.例：方程axa+2=0是关于x的一元二次方程，则方程的根为二工2.一元一次方程的解法(1)直接开平方法：形如(x+m)2-n(nN0)的方程，可直接开平方求解(2)因式分解法：可化为(ax+m)(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.(3)公式法：一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式为x=一■士心2-4a(b2-4ac>0).2a(4)配方法：当一元一次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法.解一元二次方程时，注意观察，先特殊后一般，即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法解时，再用公式法.例：把方程x2+6x+3=0变形为(x+h)2=k的形式后，h==3，k=6.知识点二：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系3.根的判别式(1)当/—b2-4ac>0时，原方程有两个不相等的实数根.(2)当/=b2-4ac=0时，原方程有两个相等的实数根.(3)当△=b2-4ac<0时，原方程没有实数根.例：方程x2+2x-1=0的判别式等于8.故该方程有两个不相等的实数根；方程x2+2x+3=0的判别式等于二_8，故该方程没有实数根.*4.根与系(1)基本关系：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a手0)有两个根分与一元二次方程两根相关代数式的资料来源于网络仅供免费交流使用

精品文档用心整理数的关系别为X1、x2,则％+*2=虫但//2=组.注意运用根与系数关系的前提条件是立0.(2)解题策略：已知一兀二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与系数的关系求解.常见变形：(xi+1)(x2+1)=xix2+(xi+x2)+1,xi2+x22=(xi+x2)2-2xix2,1_L_y+y等.XX yy失分点警示在运用根与系数关系解题时，注意前提条件时△=b2-4acN0.知识点三：一元二次方程的应用4.列一元二次方程解应用题(1)解题步骤：①审题；②设未知数；③列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答.运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义.(2)应用模型：一元—次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.①平均增长率(降低率)问题：公式：b=a(1±x)n,a表示基数，x表示平均增长率(降低率)，n表示变化的次数，b表示变化n次后的量；②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本X100%；③传播、比赛问题：④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.第7讲分式方程六、知识清单梳理知识点一：分式方程及其解法关键点拨及对应举例1.定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程.例：在下列方程中，①X2+1=0；②资料来源于网络仅供免费交流使用

精品文档用心整理%+j—4]③ —％，其中是分式方程的x—1是③.2.解分式方程方程两边同乘以基本思路：分式方程 整式方程约去分母一一 1 2 …一一例：将方程—+——2转化为整式方程可x—11—x得：1-2=2(x-1).解法步骤：(1)去分母，将分式方程化为整式方程；(2)解所得的整式方程；(3)检验：把所求得的x的值代入最简公分母中，若最简公分母为0，则应舍去.3.增根使分式方程中的分母为0的根即为增根.例：若分式方程——0有增根，则增根为x—11.知识点二：分式方程的应用4.列分式方程解应用题的一般步骤(1)审题；(2)设未知数；(3)列分式方程；(4)解分式方程；(5)检验：(6)作答.在检验这一步中，既要检验所求未知数的值是不是所列分式方程的解，又要检验所求未知数的值是不是符合题目的实际意义.第8讲一元一次不等式(组)七、知识清单梳理知识点一：不等式及其基本性质关键点拨及对应举例1.不等式的相关(1)不等式：用不等号(>,N,〈，W或手)表示不等关系的式子.(2)不等式的解：使不等式成立的未知数的值.例：匕与b的差不大于1”用不等式表示为a-bwi.资料来源于网络仅供免费交流使用

精品文档用心整理概念(3)不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.2.不等式的基本性质性质1:若a>b,则a±c>b±c；性质2:若a>b,c>0，贝ijac>bc,a>b；cc性质3:若a>b,c<0，贝ijac<bc,a<b.cc牢记不等式性质3，注意变号.如：在不等式-2*>4中，若将不等式两边同时除以-2,可得x<2.知识点二：一元一次不等式3.定义用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式.例：若mxm+2+3〉0是关于x的一元一次不等式，则m的值为-L4.解法(1)步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.失分点警示系数化为1时注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.(2)解集在数轴上表示：-1 1*- i->— ->-1 1->0a 0a 0 ax>a x>a x<a x<a知识点三：一元一次不等式组的定义及其解法5.定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起就组成一个一元一次不等式组.(1)在表示解集时“N”，“W”表示含有，要用实心圆点表示；“<”，">”表示不包含要用空心圆点表示.(2)已知不等式(组)的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式(组)解集的定义，反推6.解法先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分7.不等式组解集的类型假设a<b解集数轴表示口诀〈x>ax>bx>bdr b大大取大x<ax<bx<a 1 .小小取小〈x>ax<ba<x<bJ__I .fl b大小，小大中间找〈x<ax>b无解大大，小小取不了资料来源于网络仅供免费交流使用

精品文档用心整理出含字母的方程，最后求出字母的值.如：已知不等式（a-1）xv1-a的解集是x>-1，则a的取值范围是让工知识点四：列不等式解决简单的实际问题8.列不等式解应用题（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.（2）应用不等式解决问题的情况：a.关键词：含有“至少（NX“最多（WK不低于（N片不高于（4]“不大（小）于”“超过（>（“不足（V（等;b.隐含不等关系：如“更省钱”“更划算”等方案决策问题，一般还需根据整数解，得出最佳方案注意：列不等式解决实际问题中设未知数时，不应带“至少、“最多”等字眼，与方程中设未知数一致.第10讲一次函数八、知识清单梳理知识点一：一次函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.一次函数的相关概念（1）概念：一般来说，形如y=kx+b（k，0）的函数叫做一次函数.特别地，当b=0时，称为正比例函数.（2）图象形状：一次函数y=kx+b是一条经过点（0,b）和（=b/k,0）的直线.特别地，正比例函数y=kx的图象是一条恒经过点（0,0）的直线.例：当k=^时，函数y=kx+k-1是正比例函数，资料来源于网络仅供免费交流使用

精品文档用心整理2,一次函数的性质k,b符号K>0,b>0K>0,b<0K>0,b=0k<0,b>0k<0,b<0k<0,b=0(1)一次函数y=kx+b中，k确定了倾斜方向和倾斜程度，b确定了与y轴交点的位置.(2)比较两个一次函数函数值的大小：性质法，借助函数的图象，也可以运用数值代入法.例：已知函数y=-2x+b,函数值y随x的增大而减小(填“增大”或“减小”).大致图象心4^上心霜斗经过象限一、一、二一、二、四一、二一、一、四一、三、四二、四图象性质y随x的增大而埴大y随x的增大而减小3 -J一次函数与坐标轴交点坐标(1)交点坐标：求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；求与y轴的交点，只需令x=Q，求出y即可.故一次函数y=kx+b(k*0)的图象与x轴的交点是fb )[-],0),与y轴的交点是(0,b)；\k J(2)正比例函数y=kx(k*0)的图象恒过点(0,0).例：一次函数y=x+2与x轴交点的坐标是(-2,0),与y轴交点的坐标是(0,2).知识点二：确定一次函数的表达式(1)常用方法：待定系数法，其一般步骤为：(1)确定一次函数的表达式需要两①设：设函数表达式为y=k+b(k手0)②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；组条件，而确定正比例函数的表4一一确定一次函③解：求出k与b的值，得到函数表达式.达式，只需一组条件即可.(2)常见类型：数表达式(2)只要给出一次函数与y轴交点的条件①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；坐标即可得出b的值,b值为其纵③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点(0,1),则可设要坐标，可快速解题.如:已知一次求函数的解析式为y=2x+b,再把点(0,1)的坐标代入即可.函数经过点(0,2),则可知b=2.资料来源于网络仅供免费交流使用

精品文档用心整理5 J一次函数图象的平移规律：①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h.例：将一次函数y=-2x+4的图象向下平移2个单位长度，所得图象的函数关系式为y=-2x+2.知识点三：一次函数与方程(组》不等式的关系6-U一次函数与方程一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b(k、b是常数，k*0)的图象与x轴交点的横坐标.例：(1)已知关于x的方程ax+b=0的解为x=1,则函数y=ax+b与x轴的交点坐标为(1,0).(2)一次函数y=-3x+12中，当xN4时，y的值为负数.7 —.一次函数与方程组二元一次方程组T点坐标.y=kx+b的解 两个一次函数y=k1x+b和y=k2x+b图象的交y=kx+b8-一次函数与不等式(1)函数y=kx+b的函数值y>0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b〉0的解集(2)函数y=kx+b的函数值y<0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b<0的解集知识点四：一次函数的实际应用9.一般步骤(1)设出实际问题中的变量；(2)建立一次函数关系式；(3)利用待定系数法求出一次函数关系式；(4)确定自变量的取值范围；(5)利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；(6)做答.一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式-确定函数增减性-根据自变量的取值范围确定最值.10.常见题型(1)求一次函数的解析式.(2)利用一次函数的性质解决方案问题.第9讲平面直角坐标系与函数九、知识清单梳理资料来源于网络仅供免费交流使用

精品文档用心整理知识点一：平面直角坐标系关键点拨及对应举例1.相关概念(1)定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系.(2)几何意义：坐标平面内任意一点M与有序实数对(x，y)的关系是一一对应.点的坐标先读横坐标(x轴)，再读纵坐标(y轴).(1)各象限内点的坐标的符号特征(如图所示)： ；-j第二象限 2一第一象限(一，十) 1点P(x,y)在第一象限今xN0,y>0; ，，，-(+，+) 1 1 1 x(1)坐标轴上的点不属于任-3-2-1O_1 2 3第三象限 -1_第四象限何象限.点P(x,y)在第二象限0x£0,y>0; (一，一)-2(+，-)-3点P(x,y)在第三象限0x40,y£0;(2)平面直角坐标系中图形点P(x,y)在第四象限ox>0,y£0.的平移，图形上所有点的(2)坐标轴上点的坐标特征：坐标变化情况相同.①在横轴上0y=0;②在纵轴上0x=0；③原点ox=0,y=0.(3)平面直角坐标系中求图(3)各 象限角平分 线上点的坐标2•点的坐标向上平移b个单位向右平移己个单位- >形面积时，先观察所求图形①彳 4第一、三象‘向下平移,个单位，限角平分线上的点的特征向左平移己个单位P是否为规则图形，若是，再横、纵坐标相等；进一步寻找求这个图形面积②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数的因素，若找不到，就要借(4)点P(a,b)的对称点的坐标特征：助割补法，割补法的主要秘①关于x轴对称的点巳的坐标为(a,-b)；②关于y轴对称的点P2的坐标为(-a,b)；诀是过点向x轴、y轴作垂③关于原点对称的点P3的坐标为(-a,-b).(5)点M(x,y)平移的坐标特征：线，从而将其割补成可以直M(x,y) M1(x+a,y)接计算面积的图形来解决.M2(x±a,y±b)(1)点M(a,b)到x轴，y轴的距离：至Ux轴的距离为1他)到y轴的距离为㈤.3.坐标点的(2)平行于x轴，y轴直线上的两点间的距离：平行于x轴的直线上的点纵点M1(x10),M2(x20)之间的距离为lx1-x21,点M1(x1,y),M2(x2,y)间的距离为1xIx21；点M1(0,y1),M2(0,y2)间的距离为|y1-y2|,点M1(x,y1),M2(xy2)间的距离为1yl-坐标相等；平行于y轴的直距离问题y?l•线上的点的横坐标相等.资料来源于网络仅供免费交流使用

精品文档用心整理知识点二：函数4函数的相关概念（1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量.（2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称x是自变量，y是x的函数.函数的表示方法有：列表法、图像法、解析法.（3）函数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为零；二次根式的被开方数为非负数；使实际问题有意义.失分点警示函数解析式，同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分.例：函数y=也+3中自变量的取值范围x—5是x2-3且x*5.5函数的图象（1）分析实际问题判断函数图象的方法：①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.（2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法：①设时间为t（或线段长为x）,找因变量与t（或x）之间存在的函数关系，用含t（或x）的式子表示，再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围.读取函数图象增减性的技巧：①当函数图象从左到右呈“上升”（“下降”）状态时，函数y随x的增大而增大（减小）；②函数值变化越大，图象越陡峭；③当函数y值始终是同一个常数，那么在这个区间上的函数图象是一条垩行于x轴的线段.第11讲反比例函数的图象和性质十、知识清单梳理知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.反比例函k（1）定义：形如y=一（k/o）的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量x资料来源于网络仅供免费交流使用

精品文档用心整理数的概念的取值范围是韭零的一切实数.（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：k①丫二二②丫二代-门③xy=k.（其中k为常数，且kW0）x例：函数y=3xm+1当m=q_时，则该函数是反比例函数.2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.失分点警示（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.k>0V1--O 工图象经过第一、三象限（x、y同号）每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.k<0■图象经过第二、四象限（x、y异号）每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.3.反比例函数的图象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线.k例：若（a,b）在反比例函数y 一的图x象上，则（-a,-功在该函数图象上.（填“在"、"不在"）4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.例：已知反比例函数图象过点（-3,-1），则它的解析式是y=3/x.知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义k（1）意义：从反比例函数y=一（k*0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂x线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角失分点警示已知相关面积，求反比例函数的表达资料来源于网络仅供免费交流使用

精品文档用心整理形的面积为1/2|k|.(2)常见的面积类型：齐.*怖S"二｝~lk1 S护腕皿=1k1SCABCD=1k1枭,甑=1k1(OA=AQ式，注意若函数图象在第二、四象限，则k<0.例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比3 3例函数解析式为：y=—或y=——.1 %6・与一次函数的综合(1)确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为(a,b),则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为(-a,-b).【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.(2)确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解(3)在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k>0和k<0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.(4)比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形 八的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：Ss。c=Sq「匚△AOCuOPL>S~BOD・知识点三：反比例函数的实际应用7.一般步骤(1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；(2设出函数表达式；(3)依题意求解函数表达式；(4)根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.资料来源于网络仅供免费交流使用

精品文档用心整理第12讲二次函数的图象与性质知识清单梳理知识点一：二次函数的概念及解析式关键点拨与对应举例1.一次函数的定义形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a手0)的函数，叫做二次函数.例：如果函数y=(a-1)x2是二次函数，那么a的取值范围是a30.2解析式(1)三种解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k(a手0)，其中二次函数的顶点坐标是(h,k);③交点式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.(2)待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程(组)；解方程(组)，求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可设交点式.知识点二：二次函数的图象与性质3.二次函数的图象和性质图象J\1.y//h(1)比较二次函数函数值大小的方法：①直接代入求值法；②性质法：当自变量在对称轴同侧时，根据函数的性质判断；当自变量在对称轴异侧时，可先利用函数的对称性转化到同侧，再利用性质比较；④图象法：画出草图，描点后3y=ax2+bxxx/+c(a〉0)/^y=ax2+bx+c(a<0)开口向上向下对称轴_ bx二——2a顶点坐标(b4ac—b2)—。，I2a 4a J增减b b. . 1r当x> 时，y随x的增大而增大;2ab当x>c时，y随x的增大而减小；2a资料来源于网络仅供免费交流使用

精品文档用心整理性当x<_止时，y随x的增大而减小.2a当x<c时，y随x的增大而增大.2a比较函数值大小.失分点警示(2)在自变量限定范围求二次函数的最值时，首先考虑对称轴是否在取值范围内，而不能盲目根据公式求解.例：当0<x<5时，抛物线y=x2+2x+7的最小值为7__最值b 4ac一b2X=一工,y最小一 4a -b 4ac一b2x-2a,y最大.4a-3•系数a、b、ca决定抛物线的开口方向及开口大小当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下.某些特殊形式代数式的符号：①a±b+c即为x=±1时，y的值；②4a±2b+c即为x=±2_时，y的值.③2a+b的符号，需判断对称轴-b/2a与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-b/2a>1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与口的大小.a、b决定对称轴(x=-b/2a)的位置当a,b同号，-b/2a<0,对称轴在y轴左边；当b=0时，-b/2a=0,对称轴为y轴；当a,b异号，-b/2a>0，对称轴在y轴右边.c决定抛物线与y轴的交点的位置当c>0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；当c=0时，抛物线经过原点；当c<0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.b2-4ac决定抛物线与X轴的交点个数b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点知识点三：二次函数的平移4平移与解析式的关系产院三丝些右粤)产°(xf)2向上3°)或向下(k<°)工»°(xi)2+k的图象平移同个单位 的图象 平移|川个单位”的图象注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式失分点警示：抛物线平移规律是“上加下减，左加右减”，左右平移易弄反.例：将抛物线y=x2沿x轴向右平资料来源于网络仅供免费交流使用

精品文档用心整理移2个单位后所得抛物线的解析式是y=（x-2）2.知识点四：二次函数与一元二次方程以及不等式5.二次函数与一元二次方程一次函数y=ax2+bx+c（a于0的图象与x轴交点的横坐标是一兀一次方程ax2+bx+c=0的根.当/=b2-4ac>0,两个不相等的实数根；当/=b2-4ac=0,两个相等的实数根；当△二b2-4ac<0，无实根例：已经二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1,0）,则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两个实数根为21.6.二次函数与不等式抛物线y=a&+bx+c=0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2+bx+c>0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2+bx+c<0的解集.第13讲二次函数的应用十二、知识清单梳理知识点一：二次函数的应用关键点拨实物抛物线一般步骤若题目中未给出坐标系，则需要建立坐标系求解，建立的原则：①所建立的坐标系要使求出的二次函数表达式比较简单；②使已知点所在的位置适当（如在x轴，y轴、原点、抛物线上等），方便求二次函数、表达式和之后的计算求解.①据题意，结合函数图象求出函数解析式；②确定自变量的取值范围；③根据图象，结合所求解析式解决问题.实际问题中求最值分析问题中的数量关系，列出函数关系式；研究自变量的取值范围；③确定所得的函数；④检验x的值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值；⑤解决提出的实际问题.解决最值应用题要注意两点：①设未知数，在“当某某为何值时，什么最大（最小）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；②求解最值时，一定要考虑顶点（横、纵坐标）的取值是否在自变量的取值范围内.结合几何图形①根据几何图形的性质，探求图形中的关系式；②根据几何图形的关系式确定二次函数解析式；③利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题由于面积等于两条边的乘积，所以几何问题的面积的最值问题通常会通过二次函数来解决.同样需注意自变量的取值范围.资料来源于网络仅供免费交流使用

精品文档用心整理第四单元图形的初步认识与三角形第14讲平面图形与相交线、平行线十三、知识清单梳理知识点一：直线、线段、射线关键点拨1.基本事实(1)直线的基本事实：经过两点有且只有二条直线.(2)线段的基本事实：两点之间，线段最短.例在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要2枚钉子，依据的是两点确定一条直线.知识点二：角、角平分线2.概念(1)角：有公共端点的两条射线组成的图形.(2)角平分线：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线例：(1)15。25'=15^°;37°24'45”+32°48'49"=70°13'34".(2)32°的余角是58°,32°的补角是148°.3.角的度量1°=60,,1'=60",1°=3600"4.余角和补角(1)余角：n1+n2=90°qn1与n2互为余角；(2)补角：21+n2=180°qn1与22互为补角.(3)性质：同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等.知识点三：相交线、平行线5.三线八角(1)同位角：形如“F";(2)内错角：形如“Z”;(3)同旁内角：形如“U”.一个角的同位角、内错角或同旁内角可能不止一个，要注意多方位观察6.对顶(1)概念：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点而没有公共边资料来源于网络仅供免费交流使用

精品文档用心整理角、邻补角的两个角叫做对顶角.(2)性质：对顶角相等，邻补角之和为180°.例：在平面中，三条直线相交于1点，则图中有6_组对顶角.7.垂线(1)概念：两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线.(2)性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.②垂线段最短.(3)点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度例：如图所示，点 .A至UBC的距离为AB,点B到AC的距离为BD,点C至U〃AB的距离为BC.C8.平行线(1)平行线的性质与判定①同位角相等0两直线平行②内错角相等O两直线平行③同旁内角互补O两直线平行(2)平行公理及其推论①经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.②平行于同一条直线的两直线平行.(1)如果出现两条平行线被其中一条折线所截那么一般要通过折点作已知直线的平行线.(2)在平行线的查考时，通常会结合对顶角、角平分线、三角形的内角和以及三角形的外角性质，解题时注意这些性质的综合运用.知识点四：命题与证明9.命题与证明(1)概念：对某一事件作出正确或不正确判断的语句或式子)叫做命题，正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题.(2)命题的结构：由题设和结论两部分组成，命题常写成"如果p,那么q"的形式，其中p是题设，q是结论.(3)证明：从一个命题的题设出发，通过推理来判断命题是否成立的过程.证明一个命题是假命题时，只要举出一个反例署名命题不成立就可以了.例：下列命题是假命题的有(③)①相等的角不一定是对顶角；②同角的补角相等；③如果某命题是真命题那么它的逆命题也是真命题；④若某个命题是定理则该命题一定是真命题.资料来源于网络仅供免费交流使用

精品文档用心整理第15讲一般三角形及其性质十四、知识清单梳理知识点一：三角形的分类及性质关键点拨与对应举例1.三角形的分类（1）按三角形＜1角的关系分类 （2）按边'直角三角形面一岳耳』锐角三角形 三角形斜二角形|钝角三角形的关系分类不等边三角形全帼一缶』底和腰不相等的等腰三角;等腰二角形於/一2Ttz〔等边三角形失分点警示：在运用分类讨论思想计算等腰形三角形周长时，必须考虑三角形三边关系.例：等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为15.2.三边关系三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.3.角的关系（1）内角和定理：①三角形的内角和等180°;②推论：直角三角形的两锐角互余.（2）外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.利用三角形的内、外角的性质求角度时，若所给条件含比例，倍分关系等，列方程求解会更简便.有时也会结合平行、折叠、等腰（边）三角形的性质求解.4-三角形中的重要线段四线性质（1）角平分线、高结合求角度时，注意运用三角形的内角和为180°这一隐含条件.（2）当同一个三角形中出现两条高，求长度时，注意运用面积这个中间量来列方才能够求解.角平分线角平线上的点到角两边的距离相等二角形的二条角平分线的相交于一点（内心）中线将三角形的面积等分直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半高锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部中位线平行于第三边，且等于第三边的一半资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理5-三角形中内、外角与角平分线的规律总结如图①，AD平分工34(3,AE±BC，贝版。=1nBAC-nCAE=1(180°-nB-nC)-(90°2 2 ''-nC):1JC-nB);如图②，BO、CO分别是nABC、nACB的平分线，则有nO=1nA+90°;如图③，BO、CO分别为nABC、nACD、nOCD的平分线，则nO=1nA,nO,=1nO；如图④，BO、CO分别为nCBD、nBCE的平分线，贝iJnO=90°-1nA.尔&n^EaPECfl €a C p 飞国① 围② 国③ 国④对于解答选择、填空题，可以直接通过结论解题，会起到事半功倍的效果.知识点二：三角形全等的性质与判定6-全等三角形的性质（1）全等三角形的对应边、对应角相等.（2）全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等.（3）全等三角形的周长等、面积等.失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角.7-三角形全等的判定一般三角形全等SSS（三边对应相等）SAS（两边和它们的夹角对应相等）ASA（两角和它们的夹角对应相等）AAS（两角和其中一个角的对边对应相等）△△失分点警示如图，SSA和AAA不能判定两个三角形全等.. 1直角（1）斜边和一条直角边对应相等（HL）三角形全等⑵证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.8-全等三（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到例：资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理角形的运两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件.(2)全等三角形中的辅助线的作法：①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.如图，在SBC中，已知n1=n2角形的运两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件.(2)全等三角形中的辅助线的作法：①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.如图，在SBC中，已知n1=n2,BE=CDAB=5AE=2,，②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS可得②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS可得MCD登MBD贝ijAC=BE.在aABE中，AB+BE>AE，即AB+AC>2AD.CE=3.③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.第16讲等腰、等边及直角三角形十五、知识清单梳理知识点一：等腰和等边三角形关键点拨与对应举例1.等腰三角形(1)性质①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB二ACnB=nC;②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合； /\B D ③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.(2)判定①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；(1)三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立.如：如左图，已知AD±BC,D为BC的中点，则三角形的形状是等腰三角形.失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论.如资料来源于网络仅供免费交流使用

精品文档用心整理②等角对等边：即若nB二nC，则^ABC是等腰三角形.若等腰三角形ABC的一个内角为301则另外两个角的度数为皿120°或75°、75°.(1)性质A①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°. 心弁(1)等边三角形是特殊的等腰三即AB=BC=AC,nBAC=nB=nC=60°;工角形，所以等边三角形也满足②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所“三线合一”的性质.2.等边在的直线是对称轴.(2)等边三角形有一个特殊的角三角形(2)判定60°,所以当等边三角形出现①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；高时，会结合直角三角形30°②三个角都相等(均为60°)的三角形是等边三角形；角的性质，即BD=1/2AB.③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB二AC,且nB二例：4ABC中,ZB=60°AB=AC,60°,则kABC是等边三角形.BC=3，则4ABC的周长为9.知识点二:角平分线和垂直平分线(1)性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等.即若例：如图，4ABC中，ZC=90°,3.角平分线on1=n2,PA±OA,PB±OB，贝ijPA=PB.(2)判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平/PC乜BNA=30°分线上.,AB4.垂直(1)性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距 /的垂直平分线交AC于D,交AB平分离相等.即若OP垂直且平分AB.则PA=PB. .乙 于E,CD=2，则AC=6.线图■ ———— ■ ■ ' rt O1 B(2)判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.资料来源于网络仅供免费交流使用

精品文档用心整理形知识点三:直角三角形的判定与性质(1)两锐角互余.即nA+nB=90°;(1)直角三角形的面积5.直角(2)30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若NB—300则AC=1AB； ,S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角三角形(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半.即若CD是中线，则c"二a B边，c为斜边，h是斜边上的高)，的性质CD=1AB.2可以利用这一公式借助面积这个(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.即a2+b2=C2.中间量解决与高相关的求长度问题.(2)已知两边，利用勾股定理求6.直角(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若zC=90°』kab长度，若斜边不明确，应分类讨三角abc是Ra； ca B论.形的(2)如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角(3)在折叠问题中，求长度，往判定形.即若AD二BD=CD,则3BC是Ra往需要结合勾股定理来列方程解⑶勾股定理的逆定理：若a2+b2=C2,则^ABC是Rt"决.第17讲相似三角形十六、知识清单梳理知识点一：比例线段关键点拨与对应举例1.比例在四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即列比例等式时，注意四条线段的大小线段a-，那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例bd顺序，防止出现比例混乱.资料来源于网络仅供免费交流使用

精品文档用心整理线段.2.比例的基本性质(1)基本性质：—=—qad=bc；(b、dW0)bd(2)合比性质：—=-q@=c^d；(b、dW0)bd b d(3)等比性质：a=-=…=m=k(b+d+…+n手0)qbd na+c+...+m =k.(b、d、、n手0)b+d+...+n已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b代入求解.a3a+b8例：若了一匚，贝IJ了一匚.b5 b53.平行线分线段成比例定理(1)两条直线被一组平行线所截，所得的对应线A 3段成比例.即如图所示，若1%%，贝IJAB=匹. + \,3"4"5"BCEF C Fl5利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解.例：如图，已知D,E分别是4ABC的边BC和AC 上的点，AE=2,b0 °CE=3，要使DE||AB，那么BC:CD应等于|.(2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边 A^B的延长线)，所得的对应线段成比例. / \C D即如图所示，若AB||CD，则OA=OB.ODOC(3)平行于三角形一边的直线和其他两边相交， A/A所构成的三角形和原三角形相似. / \B C如图所示，若DE||BC，贝kADE~^ABC.4.黄金分割点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果Aq=二正「心AB 20.618，那么线段AB被点C黄金分割.其中点C叫做线段AB的L 1 L黄金分割点AC与AB的比叫做黄金比.N C 5例：把长为10cm的线段进行黄金分害U,那么较长线段长为5a-1)cm.资料来源于网络仅供免费交流使用

精品文档用心整理知识点二：相似三角形的性质与判定5.相似三角形的判定(1)两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 小人./D如图，若nA=nD,nB=nE,则△ABC~^DEF. ，兰 •・B CE F判定三角形相似的思路：①条件中若有平行线，可用平行线找出相等的角而判定；②条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等或找底、腰对应成比例.(2)两边对应成比例，且夹角相等的两个三 ,角形相似.如图，若NA=ZD, DACAB. /i/ \AC=AB，则△ABCs^DEF. b ce fDFDE(3)三边对应成比例的两个三角形相似.如 八/D图，若AB-=—C=BC,则△ABCs^DEF. /"\DEDFEF b^^ce^^^f6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例.(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方.(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比.例：(1)已知^ABCs^dEF,^abc的周长为3,4DEF的周长为2，贝IJ /△abc与adef的面积之比/——7.为9:4.(2)如图，DE||BC,af^bc,已知shades△ABC=1:4,则|JAF:AG=1:2.7.相似三角形的基本模型&4K4举二L\-LCACXRC 乙百==£1士Z.CCD1AS AE1EC △RDEsACFDLACD^ACBD^hAHC(1)熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.(2)证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得资料来源于网络仅供免费交流使用

精品文档用心整理出结果.第18讲解直角三角形十七、知识清单梳理知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例1.锐角三角函数nA的对边a正弦：sinA二 二 B斜^边 cnA的邻边b 一余弦：cosA=如、+ = 。 9 斜^边cnA的对边a正切：tanA二 =.nA的邻边b根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2.特殊角的三角函数值度数三角函数\30°45°60°am—厂.J.软ii货sinA12正2县2i i1■ _- r...JI„ , i,i；lii i rcosA旦2五212tanA同31由知识点二：解直角三角形3.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形.科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；资料来源于网络仅供免费交流使用

精品文档用心整理4.解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：a2+b2=c2；(2)锐角之间的关系：/A+ZB=90°；a b(3)边角之间的关系：sinA==cosB=-,cosA=sinB=-,c catanA=[.b已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.例：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°,则c=10,b=5.知识点三：解直角三角形的应用5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向角(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角视线在水平线下方的角叫做俯角.(如图①)(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示.坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用a表示，则有i=tana.(如图②)(3)方向角：平面上，通过观察点0作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角.(如图③)j **一|解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：(1)叠合式(2)背靠式C市AA： C D B D解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.6.解直角三角形实际应用的一般步骤(1)弄清题中名犒、、术语，根据题意画出图形，般立数学模型；(2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们通的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解.第五单元四边形第19讲多边形与平行四边形十八、知识清单梳理资料来源于网络仅供免费交流使用

精品文档用心整理知识点一：多边形关键点拨与对应举例1.多边形的相关概念(1)定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.(2)对角线：从n边形的一个顶点可以引(n—3)条对角线，并且这些对角线.,. ..— . . n(n—3)把多边形分成了(n—2)个三角形；n边形对角线条数为2 .多边形中求度数时，灵活选择公式求度数，解决多边形内角和问题时，多数列方程求解.例：(1)若一个多边形的内角和为1440°,则这个多边形的边数为10.(2)从多边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成7个三角形，则该多边形为九边形.2.多边形的内角和、外角和(1)内角和：n边形内角和公式为^-21-180°(2)外角和：任意多边形的外角和为360°.3.正多边形(1)定义：各边相等，各角也相等的多边形. (n—2)•180(2)正n边形的每个内角为 n ，每一个外角为360°/n.(3)正n边形有n条对称轴.(4)对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形.知识点二：平行四边形的性质4.平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“□”表示.利用平行四边形的性质解题时的一些常用到的结论和方法：(1)平行四边形相邻两边之和等于周长的一半.(2)平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题.5.平行四边形(1)边：两组对边分别平行且相等.即AB〃CD且AB=CD,BC〃AD且AD=BC.(2)角：对角相等，邻角互补.即nBAD=nBCD-ABC=nADC,nABC+nBCD=180°,nBAD+nADC=180°.(3)对角线：互相平分.即OA=OC,OB=ODX4 B的性质资料来源于网络仅供免费交流使用

精品文档用心整理(4)对称性：中心对称但不是轴对称.(3)过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长.例：如图，DABCD中，EF过对角线的交点O,AB=4,AD=3,OF=1.3，则四边形BCDE4ef工 尸E的周长为电§6.平行四边形中的几个解题模型(1)如图①，AF平分NBAD,则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABF为等腰三角形，即AB=BF.(2)平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中ZABDSCDB；两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AGD^Acob,aaob^acod；根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②^AOE0ACOF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半.(3)如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得SABEC=S△ABE+SACDE"(4)根据平行四边形的面积的求法，可得AE・BC=AF・CD.*二6图① 图② 图③ 图@知识点三：平行四边形的判定7.平行四边形的判定A B(1)方法一(定义法)：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.即若AB||CD,