辐射探测中的概率统计问题

辐射探测中的概率统计问题第一页，共七十二页，编辑于2023年，星期一统计性是微观世界的属性之一。放射性原子核的衰变、辐射微观粒子的探测、辐射探测器接受入射粒子并产生输出信号等都是一个随机过程。这些粒子数、输出信号的电荷量、信号出现的时刻等是一个涨落的随机变量，这样辐射测量所得到的数据也都是涨落的，要从这些数据推导出结论，就必须用概率论与数理统计的方法处理。1、可用于检验一台核计数装置的功能和状态是否正常；计数统计学的意义可归结为两个方面：2、在处理只有一次或极为有限的测量中，可用计数统计学来预测其固有的统计不确定性，从而估计该单次测量应有的精密度。第二页，共七十二页，编辑于2023年，星期一7.1概率论基础知识随机试验：随机事件：随机变量：一定条件下的每次观察。每次随机试验的各种结果。样本：N次测量中随机变量的取值构成代表随机事件的数量第三页，共七十二页，编辑于2023年，星期一概率：描述在某种随机试验的各个随机事件出现的可能性。出现事件A的次数总试验次数事件A发生的概率实验的平均值：第四页，共七十二页，编辑于2023年，星期一随机变量可分为两种离散型随机变量可取值是有限个或“可列个”分立的数值。该类型随机变量用表示，其可取值用表示。连续型随机变量可取值是整个数轴或某一区间内的所有数值。连续型随机变量及其可取值则用和表示。第五页，共七十二页，编辑于2023年，星期一有一类特殊的随机试验，其试验结果只有两个，非此即彼。它的随机变量的可取值只有两个：“0”和“1”。这类随机试验称为“伯努利试验”。把正事件（即随机变量取“1”）发生的概率定义为p，则正事件不发生（即随机变量取“0”）的概率为q=1-p。第六页，共七十二页，编辑于2023年，星期一1.随机变量的分布函数与数字表征要确知某一随机变量，就需要不仅知道这随机变量的所有各个可取值，而且还要知道与各可取值相应的概率。概率论中，用概率函数和分布函数来描述随机变量的这一特性。第七页，共七十二页，编辑于2023年，星期一(1)随机变量的一般特征及定义连续型随机变量

离散型随机变量

可取值分布函数概率函数概率密度函数相互关系

归一性第八页，共七十二页，编辑于2023年，星期一(2)随机变量的数字表征对服从任一种分布的随机变量，有两个最重要的数字特征。

数学期望值：

（简称期望值，在物理中也称平均值，常用

表示）

，它表示随机变量取值的平均位置。

均方偏差：

（简称方差），它表示随机变量的取值相对于期望值的离散程度。其开根值称均方根偏差，常用表示。即：第九页，共七十二页，编辑于2023年，星期一数学期望值（平均值）对离散型随机变量

对连续型随机变量

将若干次实验中随机变量所取的数值加在一起，再用实验次数除后，得到算术平均值。当实验次数无限增加时，算术平均值将无限的接近数学期望。第十页，共七十二页，编辑于2023年，星期一均方偏差（方差）

对离散型随机变量：

对连续型随机变量：

方差的意义：代表了随机变量各个可取值相对于平均值的离散程度。方差小则代表随机变量在各次实验中所取得的数值越集中的分布在平均值附近，方差大则表示分布得越分散。第十一页，共七十二页，编辑于2023年，星期一均方根偏差

对离散型随机变量：

对连续型随机变量：

相对均方偏差

对离散型随机变量：

对连续型随机变量：

相对均方根偏差

对离散型随机变量：

对连续型随机变量：

方差或均方根偏差代表了随机变量可取值相对于平均值的离散程度；相对方差或相对均方根偏差则代表了测量精度。第十二页，共七十二页，编辑于2023年，星期一(3)一些相似概念区分(A)误差(error)和偏差(deviation)偏差：误差：N次测量平均值

真值

当真值未知的情况下，一般以偏差代替误差。(B)准确度——精确度测量值与被测对象真值的一致程度。

一次测量的可重复性或可靠性。accuracyprecision准确度：精确度：可用测量的平均值与真值的差描述。可用测量的均方偏差描述。第十三页，共七十二页，编辑于2023年，星期一(C)系统误差——偶然误差系统误差：在同一条件下，多次测量同一物理量，测量值误差的大小和符号保持恒定。产生原因：仪器本身不精确、或实验方法粗略、或实验原理不完善而产生的。特点：在多次重做同一实验时，误差总是同样地偏大或偏小，不会出现这几次偏大而另几次偏小的情况。要减小系统误差，必须提高测量仪器的精度，改进实验方法，设计在原理上更为完善的实验。第十四页，共七十二页，编辑于2023年，星期一

偶然误差：在同一条件下，多次测量同一物理量，测量值误差的大小和符号随机变化。也叫随机误差。2）是绝对存在且不可避免的。产生原因：由各种偶然因素对实验者、测量仪器、被测物理量的影响而产生的。

特点：1）有时偏大有时偏小，并且偏大和偏小的机会相同；可以多进行几次测量来减小偶然误差。各次测得的数值的平均值就比一次测得的数值更接近于真实值。第十五页，共七十二页，编辑于2023年，星期一在核辐射测量中，偶然误差是一项主要的误差，产生的原因有两个：一是核事件的随机性产生的统计误差；二是测量仪器在正常工作条件下的测量误差。统计误差是一种特殊的偶然误差，是由微观世界的随机性所决定的。

系统误差影响系统的准确度，

偶然误差影响系统的精确度。第十六页，共七十二页，编辑于2023年，星期一2.几种常用的统计模型(1)二项式分布二项式分布是支配偶然事件的最通用的概率分布，广泛应用于所有概率p恒定的过程。设一随机试验条件组为：作次独立试验，每次试验中要么发生事件，要么不发生，且事件发生的概率为，不发生的概率为。定义随机变量为按上述条件组试验后，事件总共发生的次数。可取值为0，1，2，...，是离散型随机变量。第十七页，共七十二页，编辑于2023年，星期一二项式分布的概率函数：

在一组个独立试验中，事件成功次的概率为：可见，二项式分布的概率函数是由双参数N0和p决定的。二项式分布随机变量的数学期望和方差:数学期望

方差

第十八页，共七十二页，编辑于2023年，星期一例子：

具有N0个放射性原子核的放射源在t时间内的衰变总数，服从二项式分布。原子核衰变服从指数规律，即

那么在（0－t）时间内，发生衰变的原子核数为：所以对于原子核衰变，其数学期望为：

方差：

也就是说原子核在t时间内发生衰变的概率为：不发生衰变的概率为：第十九页，共七十二页，编辑于2023年，星期一(2)泊松分布泊松分布是在N0很大、概率p很小的条件下，二项式分布在数学上的直接简化，是二项式分布的一种极限情况。对二项式分布，当N0

很大，但p<<1，即m＝N0p

为不大的常数时，服从二项式分布的随机变量就可服从泊松分布。此时，随机变量可取全部正整数，为离散型随机变量，其概率函数为：泊松分布随机变量的数学期望和方差数学期望

方差

第二十页，共七十二页，编辑于2023年，星期一泊松分布随机变量的特点(A)的取值为全部正整数。(B)(C)当m较小时其概率函数非对称，当m较大时其概率函数趋于对称。(D)相互独立的服从泊松分布的随机变量之和，仍遵守泊松分布。第二十一页，共七十二页，编辑于2023年，星期一例子：

如果放射性原子核的个数N0非常大，同时测量时间t比半衰期小的多，即在t内可不考虑放射原子核总数N0的改变，则在t内放射源衰变数就可用泊松分布作为其概率函数。所以对于原子核衰变，其数学期望为：方差：

第二十二页，共七十二页，编辑于2023年，星期一(3)高斯分布

高斯分布又称正态分布，当泊松分布中的m>>1(例如20)时，泊松分布就可简化为高斯分布。对高斯分布，随机变量X取值范围为(－～＋)，为连续型随机变量。其概率密度函数为：

高斯分布随机变量的数学期望和方差数学期望

方差

第二十三页，共七十二页，编辑于2023年，星期一

对于核衰变，可以证明单位时间发生衰变的核数服从泊松分布。其特点为：

这一关系在高斯分布也是成立的。可以证明：

此式表明，仅有统计涨落时，一般情况下，第二十四页，共七十二页，编辑于2023年，星期一

高斯分布连续对称，可以方便的计算测量值出现在区间内的概率，即：令：可由高斯函数数值积分表查得。第二十五页，共七十二页，编辑于2023年，星期一表示置信区间为该置信区间的置信度为：例如：当Z＝1时，置信区间为该置信区间的置信度为当Z＝2时，置信区间为该置信区间的置信度为第二十六页，共七十二页，编辑于2023年，星期一3.随机变量的运算和组合复杂随机变量往往可以分解为由若干简单的随机变量运算、组合而成。这样就可以由已知的简单随机变量的分布函数与数字表征来求复杂随机变量的分布函数和数字表征。第二十七页，共七十二页，编辑于2023年，星期一(1).随机变量的函数已知随机变量X，其可取值为x，概率密度函数为f(x)。而Y＝(x)，求随机变量Y的可取值y和概率密度函数g(y)。由于X取各可取值的概率就是Y取相应可取值的概率，所以：第二十八页，共七十二页，编辑于2023年，星期一的得到在数学上是十分困难的。它取决于和函数关系

仅对一些最简单的函数才能得到其解析表达式。

如：第二十九页，共七十二页，编辑于2023年，星期一对多个独立随机变量的函数Y

也是一个随机变量，其可取值和概率密度函数由各Xi

的可取值和概率密度函数共同确定。由此，可得到若干简单的关系：

(A)第三十页，共七十二页，编辑于2023年，星期一(B)相互独立的随机变量的“和”、“差”与“积”的数学期望，是各随机变量数学期望的“和”、“差”与“积”，即：

(C)相互独立的随机变量的“和”与“差”的方差，是各随机变量方差的“和”，即：

(D)相互独立的遵守泊松分布的随机变量之“和”仍服从泊松分布。要注意的是相互独立的遵守泊松分布的随机变量之“差”，不服从泊松分布。第三十一页，共七十二页，编辑于2023年，星期一(2).串级随机变量辐射测量中经常会遇到级联、倍增过程的涨落问题，这些问题可以用串级型随机变量的概念及运算规则来处理。设对应于试验条件组A定义一个随机变量1，对应于另一试验条件组B定义另一随机变量2，且二者相互独立。按以下规则定义一个新的随机变量：第三十二页，共七十二页，编辑于2023年，星期一(A)先按条件组A作一次试验，实现了随机变量1的一个可取值1i；(B)再按条件组B作1i次试验，实现了随机变量2的1i个可取值；(C)将这些可取值加起来得到一个值i，并将此值定义为一个新的随机变量的一个可取值；这里，随机变量为随机变量1与2的“串级”随机变量。而且按顺序分别称1和2为此串级随机变量的第一级和第二级。第三十三页，共七十二页，编辑于2023年，星期一串级随机变量的主要特点：(A)期望值：(B)方差：(C)相对方差：

假如第一级随机变量的数学期望很大，那么就可以忽略第二级随机变量的相对方差对串级随机变量的相对方差的贡献。

第三十四页，共七十二页，编辑于2023年，星期一(D)由两个伯努利型随机变量1和2串级而成的随机变量

仍是伯努利型随机变量。即仍是只有两个可取值(0,1)的伯努利型随机变量。若伯努利型随机变量1

的正结果发生概率为p1,2

的正结果发生概率为p2，则

正结果发生概率为：(E)由遵守泊松分布的随机变量1与伯努利型随机变量2串级而成的随机变量

仍遵守泊松分布。

设1的平均值为m1,而2的正结果发生概率为p2，则

的平均值为：第三十五页，共七十二页，编辑于2023年，星期一对N个相互独立的随机变量串级而成的N级串级随机变量，有：第三十六页，共七十二页，编辑于2023年，星期一7.2核衰变数与探测器计数的涨落分布1、核衰变数的涨落放射性衰变是一种随机过程，放射性衰变规律为:

在0~t

时间内，原来N0个放射性核中，发生了衰变的核的平均数为当N0很大时，对一个核而言，一个核在0~t

时间内发生衰变的概率为：每一个放射性核在t时间内发生衰变是什么事件？是伯努利事件

随机变量取1的正事件发生的概率取0的概率为第三十七页，共七十二页，编辑于2023年，星期一则总的衰变数N就是上述伯努利事件重复N0次，发生正结果的事件之和。对于一个具有N0个放射性核的放射源，在t

时间内发生核衰变数为N，是一个遵守二项式分布的随机变量。概率函数数学期望值方差

第三十八页，共七十二页，编辑于2023年，星期一长寿命核素，其衰变概率很小为有限量在t时间内总衰变数N遵守泊松分布期望值方差在核衰变过程中核衰变数的方差与其平均值相等。第三十九页，共七十二页，编辑于2023年，星期一2、放射性测量的统计误差(1).探测器输出计数的统计分布脉冲探测器的特点：它的输出脉冲数就反应了t时间内射入探测器的粒子数，也就代表了放射源在t时间内发射出的总粒子数。

由于放射性核衰变具有统计分布，测量过程中射线与物质相互作用过程也具有随机性，因此在某个测量时间内对样品进行测量得到的计数值同样是一个随机变量。第四十页，共七十二页，编辑于2023年，星期一①、n1为t

时间内放射源发出的粒子数，服从泊松分布

Ω源发射粒子数n1射入探测器粒子数n2探测器输出脉冲数n3脉冲计数器的测量过程可以概括为三个基本过程，其计数值为一个三级串级型随机变量。

第四十一页，共七十二页，编辑于2023年，星期一③、n3为探测器输出脉冲数。遵守泊松分布。平均值方差n3实际上是一个三级的串级型随机变量。②、n2为进入探测器表面，即进入立体角Ω的粒子数。

n2仍为遵守泊松分布的随机变量：第四十二页，共七十二页，编辑于2023年，星期一放射源在t时间内发射的粒子数n1遵守泊松分布，探测器相应的输出脉冲数n3也遵守泊松分布，探测器输出脉冲数的平均值为源发射的平均粒子数与几何因子及探测器效率之积。如果放射源发射粒子不是各向均匀的，上述结论是否成立？仍然成立，只要粒子落在Ω内的概率是不变的——某一常数几何因子不再是，而是第四十三页，共七十二页，编辑于2023年，星期一(2).探测计数的统计误差粒子计数——探测器输出脉冲数服从统计分布规律，当计数的数学期望值

m较小时，服从泊松分布。

m较大时，服从高斯分布。而且，m较大时，m与有限次测量的平均值

和任一次测量值N相差不大。

表明：对放射性计数的标准偏差只需用一次计数N或有限次计数的平均值开方即可得到。【注意】这种表示的标准偏差仅适用于误差仅仅由统计涨落引起的情况。第四十四页，共七十二页，编辑于2023年，星期一样本方差是总体方差的无偏估计，可以由样本方差来估计有限次测量的方差称为标准偏差：不仅包括统计误差，还反映了其他偶然误差的贡献。可用于数据的检验.标准偏差

随计数N增大而增大，因此用相对标准偏差来表示测量值的离散程度：计数测量结果的表示：表示一个置信区间，该区间包含真平均值的概率为68.3％（置信度）。第四十五页，共七十二页，编辑于2023年，星期一7.3电离过程的涨落与法诺(Fano)分布产生电子—正离子对或电子—空穴对的碰撞都是随机的，因而一定能量的带电粒子形成的离子对数是涨落的，同样是一个随机变量，服从一定的概率分布。以气体介质为例，实验发现：入射带电粒子每产生一离子对需消耗能量为基本上是一个常数能量为E0的入带电粒子把全部能量损耗在气体中后，共产生的离子对数的平均值：第四十六页，共七十二页，编辑于2023年，星期一假设能量为E0的入射带电粒子在气体中总共经历了N（是一个非常大的常数）次与气体原子的碰撞。是一个伯努利型随机试验每一次碰撞只可能有两种结果产生或不产生离子对。已知N次碰撞后产生

个离子对，因而每次碰撞中平均产生的离子对数是伯努利正事件概率为

第四十七页，共七十二页，编辑于2023年，星期一N次碰撞产生n个离子对的概率服从二项式分布

且为一个有限的常数趋于泊松分布离子对数涨落的标准偏差及相对标准偏差第四十八页，共七十二页，编辑于2023年，星期一由于各次碰撞电离过程是非独立的，产生的离子对数不能简单用泊松分布来描述，而要对泊松分布进行修正，引入法诺因子FF一般取(气体)或

0.1~0.15(半导体)

不同材料法诺因子不同，

F由实验测定。把这种分布称为法诺分布。第四十九页，共七十二页，编辑于2023年，星期一7.4粒子束脉冲的总电离电荷量的涨落1、脉冲型工作方式通过脉冲探测器对逐个辐射粒子进行探测测得的信号与单个入射粒子相对应，脉冲计数的个数与入射的粒子数对应，单个输出信号的幅度反映入射粒子的能量。(2).

稳定粒子束流在探测器内产生的平均电离效应。又称电流型工作方式。输出一个直流电流(电压)信号，该信号的大小一般正比于粒子束流的大小。(1).

粒子束脉冲在探测器内产生的总电离效果，形成一个大脉冲，脉冲幅度与粒子束内粒子数和能量有关。2、累计型工作方式反映一定数量粒子的累计特性。第五十页，共七十二页，编辑于2023年，星期一仅讨论粒子束脉冲的总电离电荷量的涨落例如在电子直线加速器加速电子打在靶上产生韧致辐射，在持续时间仅为

内包含了大量粒子，这时输出信号反映了这些粒子在探测器内产生的总电离效果。n1代表一个入射粒子束脉冲中包含的粒子数，是一个服从泊松分布的随机变量。每个入射带电粒子(或入射γ/X

辐射通过次级效应产生的次电子)在探测器内产生n2个离子对，也是一个随机变量，且服从法诺分布。第五十一页，共七十二页，编辑于2023年，星期一粒子束脉冲的探测n1n2输出信号N第五十二页，共七十二页，编辑于2023年，星期一输出信号N是n1和n2的串级型随机变量其总离子对数平均值相对标准偏差由于n1服从泊松分布，n2服从法诺分布第五十三页，共七十二页，编辑于2023年，星期一7.5辐射粒子与信号的时间分布1、相邻两个信号脉冲的时间间隔核辐射事件及探测器计数服从泊松分布，设单位时间内的平均脉冲数m为一常数，相邻两个脉冲时间间隔T是一连续型随机变量，它服从什么样的分布呢？容易得到是脉冲间的平均时间间隔：t时间内出现脉冲数为n的概率为：第五十四页，共七十二页，编辑于2023年，星期一两个相邻脉冲时间间隔为

t的条件为：(1)在第一个脉冲发生后的t时间内没有脉冲发生；(2)在t后的dt时间内有一个脉冲发生。即：所以，随机变量T的概率密度函数为：即：第五十五页，共七十二页，编辑于2023年，星期一相邻两个脉冲时间间隔T服从指数分布。表明：在短时间内出现第二个脉冲的概率较大。其均值为：其方差为：第五十六页，共七十二页，编辑于2023年，星期一2、相邻进位脉冲的时间间隔设进位率为S，则相邻进位脉冲的时间间隔T的概率密度函数为：其均值为：其方差为：最可几时间间隔：令：第五十七页，共七十二页，编辑于2023年，星期一第五十八页，共七十二页，编辑于2023年，星期一7.7计数统计误差的传递在一般的核测量中，常涉及函数的统计误差的计算，也就是误差传递(ErrorPropagation)。若是相互独立的随机变量，其标准偏差相应为，由这些随机变量导出的任何量的标准偏差可以用下面公式求出：第五十九页，共七十二页，编辑于2023年，星期一分析一些常见情况：(1)第六十页，共七十二页，编辑于2023年，星期一例如：存在本底时净计数误差的计算：辐射测量中，本底总是存在的。本底包括宇宙射线、环境中的天然放射性及仪器噪声等。这时，为求得净计数需要进行两次测量：第一次，没有样品，在时间t内测得本底的计数为Nb；第二次，放上样品，在相同时间内测得样品和本底的总计数为Ns。样品的净计数为：其标准偏差