非稳态热传导

1第一页，共四十六页，编辑于2023年，星期二第三章非稳态热传导主讲人：郭智群2第二页，共四十六页，编辑于2023年，星期二引题钢制工件的热处理是一个典型的非稳态导热过程，掌握工件中温度变化的速率是控制工件热处理质量的重要因素。金属在加热炉中加热时需要确定其停留时间，以保证达到规定的温度。第三页，共四十六页，编辑于2023年，星期二引题本章内容基本概念零维一维本章重点：掌握基本概念；确定物体瞬时温度场的方法；在一段时间间隔内物体所传导热量的计算方法。第四页，共四十六页，编辑于2023年，星期二目录3.1非稳态导热的基本概念3.2零维问题的分析方法——集中参数法3.3典型一维物体非稳态导热的分析解第五页，共四十六页，编辑于2023年，星期二非稳态导热的基本概念3.1.1非稳态导热过程的特点及类型一、定义：物体的温度随时间而变化的导热过程称为非稳态导热（unsteadyheatconduction）非周期性：物体温度随时间趋近于恒值（动力机械启动、停止）周期性：物体温度随时间做周期性变化（地球表面温度随四季更替周期变化）第六页，共四十六页，编辑于2023年，星期二非稳态导热的基本概念几种典型非稳态导热过程的温度变化率第七页，共四十六页，编辑于2023年，星期二非稳态导热的基本概念二、特点：物体中各点的温度随时间发生变化；物体中各点的热流密度随时间发生变化；

不宜用热阻法定量分析非稳态导热；其中：第八页，共四十六页，编辑于2023年，星期二非稳态导热的基本概念如图所示，已知一复合平壁初始温度为t0，左侧为金属壁面，右侧为保温层，层间接触良好。令其左侧表面的温度突然升高到t1，右侧与温度为t0的空气接触，分析温度变化过程。保温层金属壁t0t1xB

P

L

保温层金属壁t0t1xC

P

L

不同时刻平壁温度场示意图（一）保温层金属壁t0xA

L

金属壁xt第九页，共四十六页，编辑于2023年，星期二非稳态导热的基本概念不同时刻平壁温度场示意图（二）保温层金属壁t0t1xD

A

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保温层金属壁t0t1xE

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保温层金属壁t0t1xF

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K

第十页，共四十六页，编辑于2023年，星期二非稳态导热的基本概念加热或冷却过程的两个重要阶段非正规状况阶段：这一阶段中温度分布主要受初始温度分布的控制。正规状况阶段：不同时刻的温度分布主要受热边界条件的影响。正规状况阶段的温度分布计算比非正规状况阶段简单得多。非稳态导热的基本概念加热或冷却过程的两个重要阶段保温层金属壁t0t1xF

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JDICBL第十一页，共四十六页，编辑于2023年，星期二非稳态导热的基本概念对于上述复合壁情形，不同时刻左右表面的导热量随时间的变化定性用右图表示。0Φ1Φ2τΦΦ1为从左侧导入金属壁的热流量Φ2为从右侧导出保温层的热流量导热过程中两者不相等，且随着过程的进行，其差别逐渐减小，直到进入稳态阶段两者平衡。阴影部分代表了复合壁在升温过程中积蓄的能量。第十二页，共四十六页，编辑于2023年，星期二非稳态导热的基本概念3.1.2导热微分方程解的唯一性定律非稳态导热问题的求解初始条件边界条件导热微分方程假定物体的热物理特性参数均为常数式中div(gradt)是温度的拉普拉斯（Laplace）算子（3-1a）第十三页，共四十六页，编辑于2023年，星期二非稳态导热的基本概念引入热扩散率，于是有：初始条件的一般形式是：一个实用上经常遇到的简单特例是初始温度均匀，即（3-1b）（3-2a）（3-2b）第十四页，共四十六页，编辑于2023年，星期二非稳态导热的基本概念

第三类边界条件较为常见，本章将着重讨论物体处于恒温介质中的第三类边界条件的非稳态导热，即：

数学上可以证明，如果某一函数t（x,y,z,τ）满足方程（3-1a）或（3-1b）以及一定的初始条件和边界条件。则此函数就是这一特定导热问题的唯一解。换言之，不可能同时存在两个都满足导热微分方程及同一定解条件的不同的解。（3-3）第十五页，共四十六页，编辑于2023年，星期二

讨论如左图所示的一块厚度为2δ的金属平板，初始温度为，突然将它置于温度为的流体中进行冷却，表面传热系数为h，平板的导热系数为λ。根据平板的导热热阻δ/λ与对流传热热阻1/h的相对大小的不同，平板中温度场的变化会出现以下三种情形。非稳态导热的基本概念3.1.3第三类边界条件下Bi数对平板中温度分布的影响第十六页，共四十六页，编辑于2023年，星期二非稳态导热的基本概念1、首先讨论毕渥数Bi趋近于无穷，即导热热阻远大于对流传热热阻（请同学举例）。过程一开始，平板表面温度就立即被冷却到。随着时间的推移，平板内部各店的温度逐渐下降，最后趋近周围流体温度。第十七页，共四十六页，编辑于2023年，星期二非稳态导热的基本概念2、讨论毕渥数Bi趋近于0，即对流传热热阻远大于导热热阻（请同学举例）。由于平板内部导热热阻δ/λ

几乎可以忽略，所以在整个过程中，平板中各点的温度基本一致。并随着时间的推移整体地下降，最后趋近周围流体温度。第十八页，共四十六页，编辑于2023年，星期二3、讨论Bi为有限大小毕渥数Bi为有限大小，即导热热阻δ/λ与对流传热热阻1/h数值比较接近（请同学举例）。该情况下，平板中不同时刻的温度分布介于上述两种极端情况之间。非稳态导热的基本概念第十九页，共四十六页，编辑于2023年，星期二非稳态导热的基本概念xxxttt

特征数：表征某一类物理现象或物理过程特征的无量纲数。又称为准则数。出现在特征数定义式中的几何尺度称为特征长度，用l

表示。第二十页，共四十六页，编辑于2023年，星期二目录3.1非稳态导热的基本概念3.2零维问题的分析方法——集中参数法3.3典型一维物体非稳态导热的分析解第二十一页，共四十六页，编辑于2023年，星期二零维问题的分析法——集中参数法当固体内部的导热热阻远小于其表面的换热热阻时，任何时刻固体内部的温度够趋于一致，以致可以认为整个固体在同一瞬间均处于同一温度下。即，固体的质量和热容量都汇总到一点上。这种忽略物体内部导热热阻的简化分析方法称为集中参数法。（lumpedparametermethod）条件：物体的导热系数相当大，或几何尺寸很小，或表面传热系数极低。第二十二页，共四十六页，编辑于2023年，星期二零维问题的分析法——集中参数法3.2.1集中参数法温度场的分析解

设有任意形状的固体，其体积为V，表面积为A，初始温度t0，突然将其置于温度恒为t∞的流体中，设t0>t∞，固体与流体间的表面传热系数h及固体的物性参数均保持常数，求解物体温度随时间的依变关系。此问题可应用集中参数法分析。t∞第二十三页，共四十六页，编辑于2023年，星期二零维问题的分析法——集中参数法非稳态、有内热源的导热问题式中：是广义热源。界面上交换的热量应折算成整个物体的体积热源。第二十四页，共四十六页，编辑于2023年，星期二零维问题的分析法——集中参数法引入过余温度，则有：两式合并有：初始条件：导热微分方程第二十五页，共四十六页，编辑于2023年，星期二零维问题的分析法——集中参数法将导热微分方程分离变量注意到V/A具有长度的量纲，并定义：两边积分得：第二十六页，共四十六页，编辑于2023年，星期二Bi是以lc为特征长度的毕渥数，FO称为傅里叶数，也是以lc为其特征长度。故上式可简化为：零维问题的分析法——集中参数法第二十七页，共四十六页，编辑于2023年，星期二零维问题的分析法——集中参数法3.2.2导热量计算式、时间常数与傅里叶数1、导热量计算式导热物体与流体间所交换的热量可由瞬时热流量对时间积分得到。导热物体的瞬时热流量为：第二十八页，共四十六页，编辑于2023年，星期二零维问题的分析法——集中参数法从τ=0到τ时刻之间所交换的总热量为

换热量是恒为正的，因此对物体被加热的场合应将式中的t0-t∞改为t∞-t0。物体内部导热热阻可以忽略时的加热或冷却，有时又称牛顿加热或牛顿冷却。第二十九页，共四十六页，编辑于2023年，星期二零维问题的分析法——集中参数法2、时间常数

采用集中参数法分析时，物体中过余温度随时间成指数曲线关系变化，在开始阶段温度变化得很快，随后逐渐减慢。第三十页，共四十六页，编辑于2023年，星期二零维问题的分析法——集中参数法

在指数函数中具有与相同的量纲。如果则有：称为时间常数（timeconstant）,记为τc

。第三十一页，共四十六页，编辑于2023年，星期二零维问题的分析法——集中参数法

当时间τ=τc

时，物体的过余温度已经降到了初始过余温度的36.8%。时间常数不仅取决于几何参数V/A

，物理性质ρ、c，还与换热条件h有关。时间常数越小，物体的温度变化就越快。物体就越迅速地接近流体温度。

第三十二页，共四十六页，编辑于2023年，星期二零维问题的分析法——集中参数法

以热电偶为例，时间常数越小，热电偶越能迅速地反映流体的温度变化，故热电偶端部的接点总是做得很小。当τ=4.6τc

时，

工程上认为τ=4.6τc

时导热物体已经达到热平衡状态。第三十三页，共四十六页，编辑于2023年，星期二扩展·热电偶

热电偶（thermocouple）是常用的测温元件，它直接测量温度，并把温度信号转换成热电动势信号，通过电气仪表（二次仪表）转换成被测介质的温度。测温原理：两种不同成份的导体两端接合组成回路，当两个接合点的温度不同时，在回路中就会产生电动势，这种现象称为热电效应。第三十四页，共四十六页，编辑于2023年，星期二扩展·热电偶热电偶分度号

热电极材料正极负极S铂铑10纯铂R铂铑13纯铂B铂铑30铂铑6K镍铬镍硅T纯铜铜镍J铁铜镍N镍铬硅镍硅E镍铬铜镍第三十五页，共四十六页，编辑于2023年，星期二零维问题的分析法——集中参数法3、傅里叶数的物理意义

傅里叶数可以理解为两个时间间隔相除所得的无量纲时间。故Fo可以看成是表征非稳态过程进行深度的无量纲时间。从边界上开始发生热扰动的时刻起到所计算时刻为止的时间间隔边界上发生的有限大小的热扰动穿过一定厚度的固体层扩散到lc2的面积上所需的时间第三十六页，共四十六页，编辑于2023年，星期二零维问题的分析法——集中参数法

在非稳态导热过程中，这一无量纲时间越大，热扰动就越深入地传播到物体内部，因而物体内各点的问题就越接近周围介质的温度。第三十七页，共四十六页，编辑于2023年，星期二零维问题的分析法——集中参数法3.2.3集中参数法的实用范围及应用举例

对于平板、圆柱和球中的一维非稳态第三类边界条件下的导热问题，当按特征长度l=δ，厚度为2δl=R，圆柱l=R，球定义Bi数≤0.1第三十八页，共四十六页，编辑于2023年，星期二典型一维物体非稳态导热的分析解

由于lc=V/A，对圆柱和球分别是R的1/2和1/3。因此如果以lc作为毕渥数的特征长度，则该Bi数对平板、圆柱和球应分别小于0.1、0.05和0.033。（如例题3-1、3-2、3-3）第三十九页，共四十六页，编辑于2023年，星期二目录3.1非稳态导热的基本概念3.2零维问题的分析方法——集中参数法3.3典型一维物体非稳态导热的分析解第四十页，共四十六页，编辑于2023年，星期二典型一维物体非稳态导热的分析解所谓一维是指：对平板，温度仅沿着厚度方向变化；对圆柱和球，温度仅沿着半径方向变化。

以平板为例，厚为2δ的无限大平板，初始温度为t0。将其置于温度为t∞

的流体中，设平板两边对称受热，板内温度必然以其中心截面为对称面。研究厚为δ