高中数学-椭圆及其标准方程教学设计学情分析教材分析课后反思

《椭圆及其标准方程》教学设计【教学目标：

】

1.掌握椭圆的定义及其标准方程；通过对椭圆标准方程的探求，熟悉求曲线方程的一般方法.

2.在椭圆概念的形成过程及其标准方程的推导过程中,培养学生的归纳概括能力、动手实践能力、分析问题、解决问题的能力及运算能力.

3.在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会数形美的统一，激发学生学习数学的兴趣，培养学生敢于探索，勇于创新的精神.

教学重点和难点:

1.重点：感受建立曲线方程的基本过程，掌握椭圆的标准方程及其推导方法.

为了突出重点，让学生动手实践，自主探索，通过画图揭示椭圆上的点所要满足的条件由此得出定义，推出方程.

2.难点：椭圆标准方程的推导.

为了突破难点，关键是抓住“怎样建立坐标系”和“怎样简化方程”两个环节来进行方程的推导.

(一)创设情境，引入课题

本节课的开始由视频“神舟十号”无人飞船飞天引入。提出问题:

“神州十号”

的轨道是什么形状？

待学生回答后,请学生叙述生活中见到的椭圆形象，并用课件展示我所搜集的椭圆形象，让学生形成椭圆的感性认识，引入课题.

[设计意图]

这一过程充分调动学生的学习兴趣，激发学生的探究心理,为引出新知做铺垫.通过举例和展示生活中椭圆形的图片，让学生认识到椭圆和日常生活关系密切.使他们感受数学的应用价值，同时培养学生学会用数学眼光去观察周围事物的能力.

(二)实验探索，形成概念

有了对椭圆的感性认识,如何来研究椭圆呢?

提出问题1：曲线可以看作适合某种条件的点的集合或轨迹.

椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？

这时借助于多媒体演示椭圆的画法，请学生用老师准备的学具动手画图，并思考问题.在学生思考的过程中我继续用问题引导：问题2：圆是如何定义的,圆是满足什么条件的点的轨迹呢?学生回答后我继续追问：问题3：在画图的过程中，哪些量在变，哪些量保持不变

？学生根据自己的实验，观察回答：“两定点间的距离没变，绳子的长度没变，点在运动.”

我继续提问4：你们能根据刚才画椭圆的过程，类比圆的定义，归纳概括出椭圆的定义吗？

先让学生独立思考,尝试归纳,然后进行小组合作交流

,教师重点关注学困生,适时给予点拨指导.几分钟后,大部分学生都能得到椭圆的定义:“平面内与两个定点的距离之和为常数的点的轨迹叫椭圆.”

接着对得到的概念进行剖析，提出问题：这个常数是任意的吗？

给学生两分钟时间进行思考、讨论、交流，尝试找出答案，若有困难，教师借助于演示实验再次探索观察，学生不难发现，这个常数必须大于两定点间的距离.这样，就得到了完整的椭圆定义平面内与两个定点、的距离之和等于常数（大于|FF|）的点的轨迹叫做椭圆。定点F1、F2叫做椭圆的焦点，F1、F2间的距离叫做椭圆的焦距。

[设计意图]这一过程充分体现了新课标要求的以教师为主导，学生为主体的理念，提高了学生的归纳概括能力，并培养其思维的严谨性.

(三)合理建系，导出方程

给出椭圆的定义后，教师即可指出：由椭圆定义，知道了它的基本几何特征，这只是一种“定性”的描述，但是对于这种曲线还具有哪些性质，尚需进一步研究.

根据解析几何的基本思想方法，我们需要利用坐标法先建立椭圆的方程“定量”的描述，然后通过对椭圆的方程的讨论，来研究其几何性质.

提出问题1：用坐标法求曲线方程的步骤有哪些?问题2：如何来求椭圆的方程呢?

在学生回答问题1的基础上，启发引导学生尝试求椭圆的方程。

教师指出，如何建系是求曲线方程重要而关键的一步，请学生观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系最合理？

先让学生尝试探究，并说明自己建系的理由.

学生可能会选择多种建系方式，例如选择以F1或者F2作为坐标原点，这时要加以引导说明:建系一般应遵循简单、优化的原则.使点的坐标、几何量的表达简单化，方程达到最简洁，同时要注意充分利用图形的对称性.

在老师的引导下学生选择这两种方案来建系此时，我让学生以第一种方案建系,设出动点M的坐标M(x,y),写出动点M满足的集合：P＝｛M

|│MF1│+│MF2│|

=2a｝

列出方程：

，对于这样一个含有两个根式的方程，学生在之前的学习中没有遇到，大多数学生的学习活动因此而受阻，我适时启发引导学生，对于含有两个二次根式的方程的化简，应先去其中的一个根式，将其单独放在等号的一边，两边平方。同样的办法再去另一个根号。

对以上的过程要给学生充足的时间，相信学生，让学生独立完成，教师重点关注学困生，适时加以点拨.让学生尝试方程的化简，叫一名中等学生板演，相信大多数学生都能得到这个方程：

教师指出该方程还不够简洁对称,能否使其更简洁一些呢？我结合图形，引导学生观察a、c

，引入字母b,这样不仅简化了方程，还使得字母b具有明确的几何意义.得到方程

.

告诉学生这就是椭圆的方程，称之为椭圆的标准方程，它的焦点在x轴上.

得到了焦点在x轴上的椭圆的方程，我继续提问：你能得到焦点在y轴上的

椭圆方程吗？

大多数学生会不假思索地说：再按刚才的方法推一遍即可.我启发学生，还有更简单的办法吗？不急于让学生回答，给两分钟时间让他们思索、讨论，此时，会有学生发现只要将坐标轴交换一下，也就是将方程中的x,y互换即可得到焦点在y轴上的椭圆的标准方程：

得到方程

.

告诉学生这就是椭圆的方程，称之为椭圆的标准方程，它的焦点在x轴上.

得到了焦点在x轴上的椭圆的方程，我继续提问：你能得到焦点在y轴上的

椭圆方程吗？

大多数学生会不假思索地说：再按刚才的方法推一遍即可.我启发学生，还有更简单的办法吗？不急于让学生回答，给两分钟时间让他们思索、讨论，此时，会有学生发现只要将坐标轴交换一下，也就是将方程中的x,y互换即可得到焦点在y轴上的椭圆的标准方程：

[设计意图]

这样设计使学生完全成了学习的主人，由被动的接受变成主动的获取。通过讨论，让学生互相交流，互相学习，培养他们的合作意识和谦虚好学的品质。在师生互动的过程中，让学生体会数学的严谨，使他们的观察能力、运算能力、推理能力得到训练，渗透数形结合的数学思想。并感受椭圆方程、图形的对称美，获得成功的喜悦！

(四)对比分析，加深认识

为了强化认识，我设计了如下表格:

标准方程+=1+=1图形

a,b,c关系焦点坐标焦点位置在x轴上在y轴上

[设计意图]通过填表，进行对比总结，不仅使学生加深了对椭圆定义和标准方程的理解，有助于教学目标的实现，而且使学生体会和学习类比的思想方法，为后边双曲线、抛物线及其它知识的学习打下基础。

（五）课堂小结（1）椭圆的定义及其标准方程；（2）标准方程中的关系；（3）焦点所在的轴与标准方程形式之间的关系（六）作业布置：P28

习题2.2.（1）

2【学情分析】(1)在学习本课之前学生已学习了直线和圆的方程及其性质，曲线与方程的关系，对解析几何有一定的了解，已有一定的观察、分析、解决问题的能力.这为本节课的学习奠定了必要的知识基础。(2)在日常生活中，学生对椭圆有了一定的认识，但仍没有上升到成为“概念”的水平，将感性认识理性化将会是对他们的一个挑战，含有两个根式的方程的化简也会使学生的探究受阻，教师要适时加以点拨。【效果分析】本节课目标明确，结构安排科学合理，重点突出，层次分明，运用了谈话式，启发式教学方法，学生积极参与，踊跃发言，联系现实生活，比如：人造卫星运行轨迹，红旗、丰田等汽车的标志外形都是椭圆，圆柱形盛水杯子倾斜时的截面也是椭圆，让学生感觉到数学就在身边，只要我们用心观察就会把我们学习的知识和现实联系起来。整堂课课堂气氛融洽活跃，通过实物，课件演示把本节课的难点很容易的就解决了。通过本节课的学习，使学生不但掌握了新的知识，而且掌握了一定的数学方法，提高了逻辑思维能力，运算能力，看到了数学的对称美，提高了学生学习数学的兴趣，充分体现了现代的教学模式，以学生为主，教师为辅，精讲多练，达到了本节课的预期效果。【教材分析】《椭圆及其标准方程》是人教A版普通高中课程选修2-1第二章的第二节内容，在前面学生已经学习了运用坐标法研究直线和圆的性质，及曲线与方程的关系，对椭圆概念与方程的研究是坐标法的深入，为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础，因此，“椭圆及其标准方程”起到了承上启下的重要作用。【评测练习】【教学反思】本节借助几何画板的演示功能，使学生通过点的运动，观察到椭圆的轨迹的特征。多媒体创设问题的情境，让探究式教学走进课堂，唤醒学生的主体意识，发展学生的主体能力，让学生在参与中学会学习、学会合作、学会创新.学生虽然对椭圆图形有所了解，但只限于感性认识，缺少理性的思考、探索和创新，这与缺乏必要的数学思想和方法密切相关.本节课从实例出发，用多媒体结合本课题设计了一对动点有规律的运动作一些理性的探索和研究.在教材处理上，大胆创新，根据椭圆定义的特点，结合学生的认识能力和思维习惯在概念的理解上，先突出“和”，在此基础上再完善“常数”取值范围.在标准方程的推导上，并不是直接给出教材中的“建系”方式，而是让学生自主地“建系”，通过所得方程的比较，得到标准方程，从中去体会探索的乐趣和数学中的对称美和简洁美.在对教材中“令”的处理并不是生硬地过渡，而是通过课件让学生观察在当为椭圆短轴端点时(但这一几何性质并不向学生交待)，特征三角形所体现出来的几何关系，再做变换.【课标分析】《椭圆及其标准方程》是人教A版普通高中课程选修2-1第二章的第二节内容.课程标准对这部分内容的要求是：“经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质”根据教学内容的地位和作用，结合学生的实际，确定了以下教学目标：

1.掌握椭圆的定义及其标准方程；通过对椭圆标准方程的探求，熟悉求曲线方程的一般方法。

2.在椭圆概念的形成过程及其标准方程的推导过程中,培养学生的归纳概括能力、动手实践能力、分析问题、解决问题的能力及运算