概率与数理统计-45-特征函数课件

一、概念Def.1.设X,Y为(,ℱ,Ｐ)概率空间中的两个实随机变量,则称Z=X+iY

复随机变量,i2=-1.性质1Z=X+iY

为复随机变量,则EZ=EX+iEY

Z=X+iY为复随机变量，对其进行研究等价于研究性质2二维r.v.(X,Y),有如下性质：独立Z1,Z2独立(1)Z1=X1+iY1,Z2=X2+iY2为复随机变量,则(X1,Y1)

与(X2,Y2)§4.5特征函数(2)Z1=X1+iY1,Z2=X2+iY2为复随机变量,则EZ1Z2=EZ1EZ2

Def.2.设X为为(,ℱ,Ｐ)概率空间中的实随机变量,其特征函数(c.d.f.)定义为Remark1:Euler公式为Remark2:特征函数是关于实变量t的复值函数,由于所以特征函数对一切实数t均有意义.Remark3:特征函数只与分布有关,因此亦称为某分布的特征函数•若离散型随机变量X的分布律为则其特征函数为•若连续型随机变量X的p.d.f.为则其特征函数为即为的Fourier变换.重要分布的特征函数:EX1退化分布I(x-c)的特征函数EX20-1分布B（1，p)的特征函数EX3二项分布B（n，p)的特征函数EX4均匀分布U（a,b)的特征函数EX5Gamma分布的特征函数EX6

正态分布的特征函数二、性质性质1为某随机变量的特征函数，则(1)(3)是连续函数.(2)非负定，即为复数，则有注：上述三条性质为特征函数的特征性质，满足这三条性质，则其必为特征函数。(2)非负定，证明(1)显然有(3)先取定a,使对于,取,当时，有从而从而是连续函数.且一致连续。性质2为某随机变量的特征函数，则性质3为某随机变量X的特征函数，则Y=c1X+c2的特征函数为性质4为某随机变量X，Y

的特征函数，若X，Y独立，则则性质5为某随机变量X的特征函数，存在三、逆转公式与唯一性定理引理1设则证明:根据Dirichlet积分：定理1（逆转公式）设分布函数Ｆ(x)的特征函数为且为Ｆ(x)的连续点，则证明：不妨设由于由Fubini定理交换积分次数得到因此由勒贝格控制收敛定理并利用引理可得由引理1知有界，定理2（唯一性定理）分布函数由特征函数唯一确定证明：应用逆转公式，在F(x)的每一连续点上，当y沿F(x)连续点趋于时，有而分布函数由其连续点上的值唯一确定，定理2得证。由唯一性定理可知，特征函数唯一确定分布，因而特征函数也完整地描述了随机变量，特别当p(x)绝对可积时，有以下更强结果。定理3（Fourier逆变换）若则相应的分布函数F(x)的导数存在且连续，且有因此证明：由逆转公式，如为F(x)的连续点，则由于因此由控制收敛定理知：四、分布函数的再生性许多重要的分布函数具有一个有趣的性质——再生性。这个性质用特征函数来研究最方便，下面通过几个例子来说明。所以证明：由唯一性定理知若且独立，则EX5证明：所以且独立，则EX6证明：所以且独立，则EX7五、多元特征函数若随机向量的分布函数为则它的特征函数定义为通常记则上式表示为类似地有下列若干性质（1）在中一致连续，且（2）若为的特征函数，则的特征函数为（3）若矩存在，则则k维随机向量的特征函数为（4）的特征函数为（5）（逆转公式）若为的特征函数，而为分布函数，则其中为任意实数，但满足唯一的要求：落在平行线的面上的概率等于0（6）（唯一性定理）分布函数由其特征函数唯一确定。（7）特征函数为而的特征函数为则相互独立的充要条件为：的特征函数（8）的特征函数为则与独立的充要条件的特征函数为满足：这个性质的一维结果下将叙述并证明，为应用方便，我们将常用分布的一些结果列入下表（9）（连续性定理）若特征函数序列收敛于一个连续函数,则函数是某分布函数所对应的特征函数。分布名称分布或密度函数期望方差特征函数退化分布0-1分布二项分布泊松分布几何分布Cp0pqExp{ict}pExp{it}+qXCp1X01pqp正态分布均匀分布指数分布分布分布分布多元正态分布一、密度函数与特征函数其二阶中心矩定义为则X的数学期望定义为记其中为随机变量的方差，协方差有下列性质：由上述定义可以看出：协方差阵的对角元素为（1）为对称阵即（2）为非负定矩阵，记为称为协方差矩阵，也称为随机向量的方差，Proof:（1）显然（2）所以非负定（3）为n维随机向量，A,B为n阶方阵，则对于n维的n元正态分布的定义为Proof则Th1、若则由于为正定阵，则存在可逆阵P，使令Proof:令Pf:不相关.Th2、若则独立的充要条件为:相互独立，则根据独立性与不相关概念知不相关.若不相关，则由特征函数的性质知：相互独立。Th3、若A为n阶矩阵，则Proof:即正态分布的线性组合仍服从正态分布（柯赫伦定理）设且型，则相互独立且其中关于的非负定二次是秩为Pf:显然；分布函数的其他特征数2、变异系数方差（或标准差）反映了随机变量取值的波动程度，但是比较两个R.V波动大小时，仅看方差大小有时会产生