高数1上总复习

高等数学(上)期末复习基本概念基本方法基本定理,概念罗列函数(有确定对应规则),自变量,定义域及求法,有(上,下)界,无界,奇、偶函数,单调(增、减)函数,复合函数,直接函数与反函数(关于y=x对称),基本初等函数及对应图形,初等函数;极限,左右极限,单侧极限,无穷大与无穷小,无穷小的阶(高阶,低阶,同阶,数量阶),等价无穷小,连续(3定义:

),间断,间断点分类,导数的定义及几何意义K切,K法=-/K切,高阶导数,变化率,相关变化率,微分(线性主部).不定积分(原函数族),原函数-已知.定积分(和式的极限是数).反常积分,奇点(特别注意积分区间内有无奇点).极值,驻点,最值,曲率定义及2个计算公式:

垂直,水平渐近线,斜渐近线:基本定理极限及无穷小,无穷大的性质,无穷小与极限的关系,极限性质:惟一,有界,保号,局部服从全体(判极限不存在).极限的四则运算与复合运算性质(参与的变量极限一定要存在);连续函数经+,-,*,/与复合运算后仍连续;闭区间上连续函数的两类性质:有界和最值，0点和介值Th.可导必连续,连续不一定可导.左右极限,左右连续,左右导数及其相互关系.可导充要条件是可微.dy=y’dx.4个微分中值定理+1个拉氏定理推论.极限性质：唯一性，有界性，保号性，母与子。保号性指极限和部分函数值保持同样的符号。由极限推知部分函数值的符号时是严格的关系；由部分函数值推知极限的符号时是非严格的关系。母子关系即子数列极限和函数极限(母)的一致关系。是两单侧极限存在且相等。也可以包含单双侧关系即双侧极限存在的充要条件部分函数值指自变量发展到某时刻后对应的函数值无穷小性质：无穷小的有限和、有限积是无穷小。无穷小与有界变量的乘积是无穷小。无穷大性质1/无穷大=无穷小，1/无穷小=无穷大。运算：但：则不一定。(2)无穷大加、减有界量仍无穷大。积分的基本定理线性,换元法,分部积分法.线性:换元法:分部积分法:变上限求导:（一）函数的定义（二）极限的概念（三）连续的概念主要内容：第一章函数与极限函数的定义反函数隐函数反函数与直接函数之间关系基本初等函数复合函数初等函数函数的性质单值与多值奇偶性单调性有界性周期性双曲函数与反双曲函数7种自变量的变化(1)自变量n→∞;(2)自变量x→x0

；(3)自变量x→x0+0；

(4)自变量x→x0-0；(5)自变量x→∞

；(6)自变量x→+∞

；(7)自变量x→-∞。--双侧--双侧单侧单侧极限和无穷大定义(1)自变量n→∞(2)自变量x→x0

(3)自变量x→x0+0

(4)自变量x→x0-0(6)自变量x→+∞(5)自变量x→∞(7)自变量x→-∞7种自变量发展到某时刻后的精准定义(3)函数f(x)→∞即f(x)无穷大；(4)函数f(x)→+∞即f(x)正无穷大；(5)函数f(x)→-∞即f(x)负无穷大。(1)函数f(x)→极限A;(2)函数α→0即α无穷小;随着自变量变化下5种函数的变化5种函数变化的精准定义(1)函数f(x)→A(2)α无穷小(3)f(x)无穷大(4)f(x)正无穷大(5)f(x)负无穷大极限的求法:若函数连续:(最常用),初等函数在定义区间内连续.四则运算,幂运算和有理函数在的计算公式.去0因子,及有理化后去0因子或产生再去;变量代换(基础是复合函数的极限,复杂时用),有界与无穷小之积是无穷小.无穷大与无穷小(除0外)互为倒数关系.两准则:夹逼,单调有界;凑两个重要极限:凑1)1∞；2)含三角函数且;等价无穷小替换(注:只用于乘除,加减不能用)洛必达法则(最有效非万能).幂运算有限数是不定式.或或是不存在.是不存在.不定式.是幂运算是不定式.总之，考虑：是不存在.不定式.是9个等价无穷小替换公式，注1:lim的使用:变量未消失时,一定有lim.变量已消失时,一定没有lim.注2:分毋为0肯定是无意义.具体运算时,不要出现0/0,1/0等，这些只是符号.第二章内容提要1、导数的定义2、基本导数公式（常数和基本初等函数的导数公式16个）3、求导法则4、高阶导数(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)5、微分的定义6、导数与微分的关系7、微分的求法8、微分的基本法则（7个）导数的求法定义(导数是切线斜率)多用于抽象函数或分段函数在固定点.初等函数求导,基本初等函数求导公式,求导(+-*/)运算法则,复合函数求导公式,反函数求导公式;隐函数求导公式,对数求导法,参数方程求导公式,高阶导数公式.初等函数求导公式运算法则：隐函数求导要点:方程两端同时关于x求导,遇到y时,将y当作中间变量,先对y求导,然后,马上乘以y′,最后解出y′.对数求导注意点:要充分地使用对数性质.将对数性质发挥至极致.适用于(1)幂指函数;(2)多因子乘积.参数方程求导注意点:y,y′是t的函数,对t求导后一定要及时除以xt.（3）莱布尼茨（Leibniz）公式高阶导数公式求高阶导数的方法小结抽象函数关于某一点或分段函数在分段点求(高阶)

导数,多用定义求得.具体函数的低阶导数要由一阶导数,二阶导数,…,

依序算出.简单函数类的高阶导数求至3,4阶后,尽量把它们变换成同一形式,用不完全归纳法得一般规律.或套公式(1)做.简单函数类指f(x)=xa,ex,ax,sinx,cosx,Lnx等和中间变量为线性的函数复合而成.不太复杂函数的高阶导数,先化成简单函数类的线性组合,而后用高阶导数的线性运算法则即公式(2)做.尤其是多项式和简单函数类乘积的高阶导数,用

Leibniz公式.洛必达法则Rolle定理Lagrange中值定理常用的泰勒公式Cauchy中值定理Taylor中值定理单调性,极值与最值,凹凸性,拐点,函数图形的描绘;曲率;求根方法.导数的应用第三章微分中值定理与导数应用主要内容条件:满足：（1）在闭区间[a,b]

上连续；（2）在开区间(a,b)

内可导；（3）结论:

在开区间(a,b)

内至少有一点，使微分中值定理的特点罗尔中值定理适用于有关方程的根(在端点处给出函数值及牵涉到一个函数);拉格朗日中值定理的适用于有关函数的改变量或函数的差;拉格朗日中值定理的推论(导数为零的函数是常数)适用于关于恒等式;柯西中值定理适用于有关方程的根(没给出函数值及牵涉到两个函数差之比);泰勒中值定理涉及函数的高阶导数.

注意：关于哪一点展开。Rolle定理的适用范围:有关方程的根.用Rolle定理解题的常见步骤:首先引进辅助函数,其次验证定理条件,最后据Rolle定理得结论,存在方程的根.辅助函数的作法：先将方程的所有项移到方程左端使之为零，然后对左端乘或除一个非零因子使之成为某函数的导数，于是设该函数为所需的辅助函数。例设f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导.f(0)=1,f(1)=0.证明:至少存在一点

ξ∈(0,1),使得

此类：辅助函数F(x)=xλ

f(x)例设f(x)可导,证明f(x)的任意两个零点之间一定有的零点.

此类：辅助函数F(x)=ekxf(x)用罗尔中值定理得到方程根的两类常见辅助函数：使用洛必达法则注意:必须是或型的不定式;必须对分子和分母,分别及同时求导;每次求导前为使求导数简单，必须对分子，分母整理和简化,若有可约去因子,或有非零的极限因子,要先行约去或提出.有时,也要与无穷小替换等方法联合使用.条件是充分的而非必要.导数应用用一阶导数判别单调性与极值.极值的必要条件是驻点或导数不存在点.判别极值的三个充分条件.用二阶导数判别凹凸性与拐点.

拐点的必要条件是二阶导数为0的点或二阶导数不存在点.判别不等式的5种方法:1)单调性;2)拉氏Th;3)凹凸性;4)最值;5)积分估值Th.曲率及其2计算公式也有三个充分条件.只有一个相当于判极值的第一充分条件.极值与最值区别极值是局部的,而最值是全局的.极值点处的函数值必须与两侧的函数值比较,最值可以与一侧的比较即可以在边界处取得.应用题中求最值题,在求得驻点后,必须讨论得到最值,讨论最值的四种办法:1)比较大小;2)单调性;3)惟一驻点,用二阶导数判别极值;4)实际问题,惟一驻点.积分法原函数选择u有效方法基本积分表第一换元法第二换元法直接积分法分部积分法不定积分几种特殊类型函数的积分第四章不定积分主要内容(1)(2)(3)22个基本积分公式(5)(12)(13)不定积分基本方法线性,22个基本积分公式,直接积分法(要巧拆).第一类换元,凑微分法(要巧凑).第二类换元,变量代换(要巧换).分部积分法(要巧分).解方程,递推,凑成微分尽量用有理函数:待定系数法分解;(一般不用)三角函数有理式:万能代换.(一般不用)uu问题1:曲边梯形的面积问题2:变速直线运动的路程存在定理广义积分定积分定积分的性质定积分的计算法牛顿-莱布尼茨公式第五章定积分主要内容用和式极限表示定积分：求和式极限的方法：1.夹逼；2.定积分。定积分性质与基本方法与积分变量无关,线性,区间可加性,单调性,估值Th,积分中值Th.定积分的换元法,分部积分法.第六章定积分的应用主要内容1、定积分的微元法2、定积分的几何应用(1)平面图形的面积(2)立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积：旋转体的体积：3、定积分的物理应用:做功,水压力,引力.基本形式；基本形式；应用极限定义,性质和求极限的10种方法连续和间断,闭区间上连续函数微分中值Th定积分定义,性质,换元法导数的物理意义和几何意义，相关变化率最大小值作图计算面积，体积功，水压力，引力难点不考内容所有带*内容；