高中数学基本不等式的解法十例_第1页
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高中数学基本不等式问题求解十例一、基本不等式的基础形式1．，其中，当且仅当时等号成立。2．，其中，当且仅当时等号成立。3．常考不等式：，其中，当且仅当时等号成立。二、常见问题及其处理办法问题1：基本不等式与最值解题思路：（1）积定和最小：若是定值，那么当且仅当时，。其中（2）和定积最大：若是定值，那么当且仅当时，，其中。例题1：若实数满足，则的最大值是．解析：很明显，和为定，根据和定积最大法则可得：，当且仅当时取等号。变式：函数的图象恒过定点A，若点在直线上，则的最大值为______。解析：由题意可得函数图像恒过定点，将点代入直线方程中可得，明显，和为定，根据和定积最大法则可得：，当且仅当时取等号。例题2：已知函数，则取最小值时对应的的值为__________．解析：很明显，积为定，根据积定和最小法则可得：，当且仅当时取等号。变式：已知，则的最小值为。解析：由题意可得，明显，积为定，根据和定积最大法则可得：，当且仅当时取等号，此时可得。例题3：若对任意x>0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则a的取值范围是________．解析：分式形式的不等式，可以考虑采用常数分离的方法。解法1：将化简可得，观察分母，很明显可以得到积为定值，根据积定和最小的法则可得：，当且仅当时取等号。故而可得分式的分母，因此可得：。解法2：将化简可得，令，这是一个对勾函数，故而可得。故而分母，代入分式函数取倒数可得因此可得：。问题2：“1”的代换解题思路：根据，对所求内容进行乘除化简即可。例题4：若两个正实数x、y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是。解析：由题意可得，左边乘以可得：，化简可得：，很明显中积为定值，根据积定和最小的法则可得：等式右侧积为定值，故而利用积定和最小法则可得：，当且仅当时取等号。故而可得。（不等式与解析几何）例题8：若直线（，）被圆截得的弦长为4，则的最小值为。解析：将圆化为标准方程可得，根据弦长为4可得直线经过圆心。将圆心代入直线方程可得。观察求解形式可得采用“1”的代换方法，即，化简可得很明显积为定，根据积定和最小法则可得：，当且仅当时取等号，故而可得。（基本不等式与线性规划）例题9：设满足条件，若目标函数（）的最大值为12，则的最小值为。解析：作出可行域如图所示：故而可得在点取最大值，即，由题意可得采用“1”的代换求解。即，观察分子可得分子积为定值，根据积定和最小法则可得：，当且仅当时取等号，故而可得。（不等式与解三角形）例题7：ΔABC中，角A，B，C的对边分别为（1）求角A的大小； （2）若a=3，求SΔABC的最大值. （3）求周长的最值。解析：（1）由题意与余弦定理可得，解得，故而（2）由余弦定理可得，故而，由基本不等式可得，当且仅当时取

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