高中数学导数题型总结

导数经典例题剖析考点一：求导公式。例1.是的导函数，则的值是。考点二：导数的几何意义。例2.已知函数的图象在点处的切线方程是，则。例3.曲线在点处的切线方程是。考点三：导数的几何意义的应用。例4.已知曲线C：，直线，且直线与曲线C相切于点，求直线的方程及切点坐标。考点四：函数的单调性。例5.已知在R上是减函数，求的取值范围。例6.设函数在及时取得极值。（1）求a、b的值；（2）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围。点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数的极值步骤：①求导数；②求的根；③将的根在数轴上标出，得出单调区间，由在各区间上取值的正负可确定并求出函数的极值。例7.已知为实数，。求导数；（2）若，求在区间上的最大值和最小值。解析：（1）， 。（2），。令，即，解得或，则和在区间上随的变化情况如下表：＋0—0＋0增函数极大值减函数极小值增函数0，。所以，在区间上的最大值为，最小值为。答案：（1）；（2）最大值为，最小值为。点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数在区间上的最值，要先求出函数在区间上的极值，然后与和进行比较，从而得出函数的最大最小值。考点七：导数的综合性问题。例8.设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为。（1）求，，的值；（2）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值。解析：（1）∵为奇函数，∴，即∴，∵的最小值为，∴，又直线的斜率为，因此，，∴，，．（2）。，列表如下：14.已知曲线，则过点“改为在点”的切线方程是______________15.已知是对函数连续进行n次求导，若，对于任意，都有=0，则n的最少值为。16.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，运费为4万元／次，一年的总存储费用为万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则吨．解答题17.已知函数，当时，取得极大值7；当时，取得极小值．求这个极小值及的值．18.已知函数（1）求的单调减区间；（2）若在区间[－2，2].上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.19.设，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线。（1）用表示；（2）若函数在（－1，3）上单调递减，求的取值范围。20.设函数，已知是奇函数。（1）求、的值。（2）求的单调区间与极值。21.用长为18cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？22.已知函数在区间，内各有一个极值点．（1）求的最大值；当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式．强化训练答案：1.A2.B3.D4.A5.D6.D7.A8.A9.A10.A11.D12.A填空题13.14.15.716.20解答题17.解：。据题意，－1，3是方程的两个根，由韦达定理得∴∴∵，∴极小值∴极小值为－25，，。18.解：（1）令，解得所以函数的单调递减区间为（2）因为所以因为在（－1，3）上，所以在[－1，2]上单调递增，又由于在[－2，－1]上单调递减，因此和分别是在区间上的最大值和最小值.于是有，解得故因此即函数在区间上的最小值为－7.19.解：（1）因为函数，的图象都过点（，0），所以， 即.因为所以. 又因为，在点（，0）处有相同的切线，所以 而 将代入上式得因此故，，（2）.当时，函数单调递减.由，若；若由题意，函数在（－1，3）上单调递减，则所以又当时，函数在（－1，3）上单调递减.所以的取值范围为20.解：（1）∵，∴。从而＝是一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；（2）由（Ⅰ）知，从而，由此可知，和是函数是单调递增区间；是函数是单调递减区间；在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。21.解：设长方体的宽为（m），则长为(m)，高为.故长方体的体积为从而令，解得（舍去）或，因此.当时，；当时，，故在处取得极大值，并且这个极大值就是的最大值。从而最大体积，此时长方体的长为2m，高为1.5m.答：当长方体的长为2m时，宽为1m，高为1.5m时，体积最大，最大体积为。22.解：（1）因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，设两实根为（），则，且．于是，，且当，即，时等号成立．故的最大值是16．（2）解法一：由知在点处的切线的方程是，即，因为切线在点处空过的图象，所以在两边附近的函数值异号，则不是的极值点．而，且．若，则和都是的极值点．所以，即，又由，