《巧求二次函数的表达式》教学设计-中考数学一轮复习（浙教版）

《巧求二次函数的表达式》教案

一、学习目标

1.掌握二次函数的三种表达式.

2.理解二次函数不同表达式之间的区别和联系.

3.会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的表达式.

二、学习重难点

重点：用待定系数法求二次函数的表达式.

难点：根据不同的条件，灵活选取不同的形式，巧求二次函数的表达式.

三、学习过程

（一）问题背景

如图1,二次函数丁=以2+法+，的图象经过点A（1,0）和8（0,-4）.

你能得到与a,b,c有关的哪些结论？

你能求出该抛物线的解析式吗？、『,

【设计意图】以开放的形式抛出问题，唤醒学生A-------~T4

的旧知，针对第1个问题，绝大部分学生都能回答\/

针对第2个问题，学生会从“数”和“形”两个方面\/

表达自己的观点，此时教师引导学生思考''为什么无\J\B

法求”，激发了学生的求知欲，从而引到“问题探究”环节.

（二）问题探究

1.回顾二次函数的概念，理解“为什么无法求”.

我们把形如>=改2+法+。（a,b,c是常数，的函数叫作二次函数.

把、=依2+"+。（a。。）称为二次函数表达式的一般形式.

把坐标（1,0）和（0,-4）代入y=a?+bx+c,得卜+"。=0,

c=-4.

总结1:在字母参数都未知的情况下，一般需要三对变量值或图象上三个点

坐标，才能求出二次函数的表达式（最值或顶点除外）.

2.尝试添加一个条件，继续求函数表达式.

如图1,二次函数的图象经过点A(1,0)和8(0,-4).若

图象还经过点(-2,0),求该二次函数的表达式.(选一般式)

追问：还能用其它的办法求该二次函数的表达式吗？

3.回顾二次函数表达式的常用形式，寻求更优方法.

一般式：y=ax~+bx+c0)

顶点式：y=。(犬一根)2+Z(a/0)

交点式：y=<2(X-X])(X-X2)(tz*O)

一般式：。决定了函数图象的开口和大小，(0,c)是函数图象与y轴的交

点坐标，直线x=-2是函数图象的对称轴，(-2,生£二生)是函数图象的

2a2a4a

顶点坐标，即当》=一2时，函数有最值比at.

2a4。

顶点式：。决定了函数图象的开口和大小，直线x=m是函数图象的对称轴,

(加，％)是函数图象的顶点坐标，即当x=加时，函数有最值上

交点式：。决定了函数图象的开口和大小，(王，0)和(Z，0)是函数图

象与x轴的两个交点坐标，直线x=小玉是函数图象的对称轴.

2

总结2：如何选择合适的形式.巧求二次函数的表达式？

一般式：已知当自变量为0时函数的值，或图象与y轴的交点坐标.

顶点式：已知函数的最值信息，或图象的顶点坐标、对称轴.

交点式：已知当函数值为o时自变量的值，或图象与X轴的交点坐标.

4.分析找到合适的形式，巧求二次函数表达式.

如图1,二次函数y=ar2+bx+c的图象经过点A(1,0)和3(0,-4).若

图象还经过点(-2,0),求该二次函数的表达式.(选交点式)

【设计意图】当学生明确缺少条件时，添加一个条件进行尝试，一方面巩固

待定系数法的常规操作，另一方面也为“巧求”进行了铺垫.在梳理建构二次函

数表达式的相关知识后，学生再一次求，既达到了复习的目的，又感受了选择不

同形式的意义.

(三)拓展生长

例题：请写出下列二次函数的表达式.

1.已知二次函数的图象经过(-1,-5),(0,-4)和(1,1).则这个二次函

数的表达式是.

解析：因为图象经过(0,-4),所以设函数表达式为y=o?+法一4,代入

(-1,-5)和(1,1),解得a=2,b=3,所以表达式为y=2f+3x—4.

2.已知二次函数y=ox?+^x+c。0),当x=2时，y=-5,且当x=4时，

y取到最大值T.则这个二次函数的表达式是.

解析：因为当x=4时，y取到最大值-1,所以设函数表达式为y=a(x-4)2-1,

又因为当x=2时，丁=一5,代入后解得a=-L,所以表达式为y=—(x—4)2—1.

变式：已知四个点A(1,0),B(0,-4),C(-3,8),D(2,8),试问是

否存在一个二次函数，使它的图象同时经过这四个点？若存在，请求出这个二次

函数的表达式；若不存在，请说明理由.

分析：如何判断四个点是否同时在一个二次函数的图象上，一般思路是先根

据三个点求出函数表达式，再判断第四个点是否在该函数图象上.选择哪三个点

来求一个二次函数表达式，是本题“巧求”的关键.

思路1：关注3(0,-4),可以设经过点B的二次函数表达式为y=+区一4,

再代入A(1,0)和。(2,8),可以求出经过3,A,。三点的抛物线解析式，

再代入C(-3,8)进行判断.

思路2：关注C(-3,8)和。(2,8),得经过这两点的二次函数图象的对

称轴为直线》=上上=-±,所以设经过A,C,D三点的抛物线解析式为

22

(IY

y=ax+-+k,再代入C(-3,8)、B(0,-4)或。(2,8)、B(0,-4)可

以求出这个函数表达式，再代入A(1,0)进行判断.

思路3：关注A(1,0),根据C(-3,8)和。(2,8)可得过C,。两点

的二次函数图象对称轴为直线》=_3+2=-士1，那么经过A,C,。三点的二次

22

函数图象与x轴的另一个交点坐标为(-2,0),所以设该函数表达式为

y=«(x+2)(x-l),再代入C(-3,8)或。(2,8)即可求出函数表达式，再

代入8(0,-4)进行判断.

思路4：关注C(-3,8)和D(2,8),结合“思路3”，可设经过C,D

两点的抛物线解析式为y=a(x+3)(x-2)+8,代入8(0,-4)即可求得经过C,

D,B三点的抛物线解析式，最后代入A(1,0)进行判断.

拓展结论：若f二次函数图象经过(西，团)和(迎，a),其中，”为确

定的常数，那么可以设这个二次函数的表达式为y=a(x-xJ(x-W)+m("0),

这样的表达式是根据二次函数的对称性得出的，是交点式的一般化，可称为"对

称式”.

【设计意图】例题是三种常见形式的直接应用，目的在于巩固.而变式具有

一定的开放性，学生可以选择不同的三个点来确定函数表达式，在这个过程中，

学生进一步掌握了二次函数表达式三种不同形式的特点和作用，在求解时充分感

受到了“巧”这一字.通过“思路4”，学生发现了对称式，理解了交点式是其特

殊情况，拓宽了学生对二次函数表达式的认识.

(四)梳理提升

待定系数法

二

系

次

数

孟

的

致

直

的

接

对

关

卷