自动控制描述函数法

自动控制描述函数法1第一页，共四十六页，编辑于2023年，星期一第七章非线性系统内容提要7.1典型非线性特性7.2描述函数法7.3相平面法 学习指导与小结

2第二页，共四十六页，编辑于2023年，星期一7.1典型非线性特性

前面各章研究的都是线性系统，或者虽然是非线性系统，但可进行线性化处理，从而可视为线性系统。事实上，几乎所有的实际控制系统，都不可避免地带有某种程度的非线性。系统中只要具有一个非线性环节，就称为非线性系统。因此实际的控制系统大都是非线性系统。本章将主要讨论关于非线性系统的基本概念，以及两种基本分析方法：描述函数法和相平面法。3第三页，共四十六页，编辑于2023年，星期一

在控制系统中，若控制装置或元件其输入输出间的静特性曲线，不是一条直线，则称为非线性特性。如果这些非线性特性不能采用线性化的方法来处理，称这类非线性为本质非线性。为简化对问题的分析，通常将这些本质非线性特性用简单的折线来代替，称为典型非线性特性。4第四页，共四十六页，编辑于2023年，星期一yxka-a0M-M饱和特性在控制系统中是普遍存在的，放大器及执行机构受电源电压或功率的限制导致饱和。1．饱和特性7.1.1典型非线性特性的种类a为线性区宽度，k为线性区斜率。5第五页，共四十六页，编辑于2023年，星期一2．死区特性yxka-a0a为死区范围，k为直线段的斜率。死区特性一般由测量元件、放大元件、执行元件的不灵敏区所造成。死区又称不灵敏区，在死区内虽有输入信号，但其输出为零6第六页，共四十六页，编辑于2023年，星期一3.滞环特性

铁磁元件的磁滞、齿轮传动中的齿隙、液压传动中的油隙等均属这类特性。滞环特性表现为正向与反向特性不是重叠在一起，而是在输入—输出曲线上出现闭合环路。又称为间隙特性。yx0b-ba-a7第七页，共四十六页，编辑于2023年，星期一4继电器特性 yx0maa-a-mab-b继电器、接触器、可控硅等电气元件的特性通常表现为继电特性。8第八页，共四十六页，编辑于2023年，星期一实际系统中，各种开关元件都具有继电器特性。

yxa-a0-bb

yx0b-b(1)若a＝0，称这种特性为理想继电器特性所示。(2)若m=1，称为死区继电器特性。(3)若m=-1，称为滞环继电器特性。

yxa-a0-bb特殊情况：9第九页，共四十六页，编辑于2023年，星期一由于上述非线性特性的存在，与线性系统相比，非线性系统具有如下特点：（1）稳定性的复杂性。（2）可能存在自激振荡现象。（3）频率响应。7.1.2非线性系统的若干特征设t=0，系统的初始状态为x0

平衡状态：

x1=0x2

=110第十页，共四十六页，编辑于2023年，星期一相应的时间响应随初始条件而变。当x0>1，t<lnx0/(x01)时，随t增大，x(t)递增；t=lnx0/(x01)时，x(t)为无穷大。当x0<1时，x(t)递减并趋于0。由上例可见，初始条件不同，自由运动的稳定性亦不同。因此非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关，而且与系统的初始条件有直接的关系。10x(t)tx0>1x0<1ln

x0x0111第十一页，共四十六页，编辑于2023年，星期一所谓自激振荡是指没有外界周期变化信号的作用时，系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运动，简称自振。考虑著名的范德波尔方程

>0

该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。当扰动使x<1时，因为(1x2)<0，系统具有负阻尼，此时系统从外部获得能量，x(t)的运动呈发散形式；当x>1时，因为(1x2)>0，系统具有正阻尼，此时系统消耗能量，x(t)的运动呈收敛形式；而当x=1时，系统为零阻尼，系统运动呈等幅振荡形式。上述分析表明，系统能克服扰动对x的影响，保持幅值为1的等幅振荡。12第十二页，共四十六页，编辑于2023年，星期一所谓自激振荡是指没有外界周期变化信号的作用时，系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运动，简称自振。考虑著名的范德波尔方程

>0

该方程描述具有非线性阻尼的非线性二阶系统。当扰动使x<1时，因为(1x2)<0，系统具有负阻尼，此时系统从外部获得能量，x(t)的运动呈发散形式；当x>1时，因为(1x2)>0，系统具有正阻尼，此时系统消耗能量，x(t)的运动呈收敛形式；而当x=1时，系统为零阻尼，系统运动呈等幅振荡形式。上述分析表明，系统能克服扰动对x的影响，保持幅值为1的等幅振荡。13第十三页，共四十六页，编辑于2023年，星期一非线性系统对于正弦输入信号的响应，除了含有与输入同频率的正弦信号分量外，还含有关于ω的高次谐波分量，使输出波形发生非线性畸变。若系统含有多值非线性环节，输出的各次谐波分量的幅值还可能发生跃变。考虑有名的杜芬方程x16234514第十四页，共四十六页，编辑于2023年，星期一7.1.3非线性系统的分析方法到目前为止，非线性系统的研究还缺乏成熟，结论不能像线性系统那样具有普遍意义，一般要针对系统的结构，输入及初始条件等具体情况进行分析。工程上常用的方法有以下几种：（1）小偏差线性化（非本质非线性）（2）描述函数法（本质非线性）这是一种频域分析方法，其实质是应用谐波线性化的方法，将非线性特性线性化，然后用频率法的结论来研究非线性系统。它是线性理论中的频率法在非线性系统中的推广，这种方法不受系统阶次的限制。（3）相平面法（本质非线性）相平面法是求解一、二阶常微分方程的图解法。通过在相平面上绘制相轨迹，可以求出微分方程在任何初始条件下的解。这是一种时域分析法，但仅适用于一阶和二阶系统。

（4）计算机求解法

用模拟计算机或数字计算机直接求解非线性微分方程，对于分析和设计复杂的非线性系统是非常有效的方法。15第十五页，共四十六页，编辑于2023年，星期一7.2描述函数法基本思想：当系统满足一定的假设条件时，系统中非线性环节在正弦信号作用下的输出可用一次谐波分量来近似，由此导出非线性环节的近似等效频率特性，即描述函数。这时非线性系统就近似等效为一个线性系统，并可应用线性系统理论中的频率法对系统进行频域分析。描述函数法主要用于分析在无外作用的情况下，非线性系统的稳定性和自振荡问题。16第十六页，共四十六页，编辑于2023年，星期一

1.描述函数的应用条件（1）非线性系统的结构图可简化成一个非线性环节N

和一个线性部分G(s)串联的闭环结构。xyNG(s)r(t)=0c(t)（2）非线性环节的输入输出静特性曲线是奇对称的，即y(x)=-y(-x)。（3）系统的线性部分具有良好的低通滤波特性。7.2.1描述函数的定义17第十七页，共四十六页，编辑于2023年，星期一2.描述函数的定义设系统的非线性环节输入信号是正弦信号x(t)=Asint则其输出一般为周期性的非正弦信号，可以展成傅氏级数非线性环节奇对称，则有A0=0其中，A0是直流分量；

Ancosnωt+Bnsinnωt为n次谐波分量；An、Bn为傅里叶系数。18第十八页，共四十六页，编辑于2023年，星期一由于在傅氏级数中n越大，谐波分量的频率越高，An,Bn越小。此时若系统又满足第三个条件，则高次谐波分量又进一步被充分衰减，故可认为非线性环节的稳态输出只含基波分量，即 19第十九页，共四十六页，编辑于2023年，星期一类似于线性系统中频率特性的定义，我们把非线性元件稳态输出的基波分量与输入正弦信号的复数比定义为非线性环节的描述函数，用N(A)来表示。由非线性环节描述函数的定义可以看出：(1)描述函数类似于线性系统中的频率特性，利用描述函数的概念便可以把一个非线性元件近似地看作一个线性元件，因此又叫做谐波线性化。 (2)描述函数表达了非线性元件对基波正弦量的传递能力。对于常见非线性特性，描述函数仅是A的函数，记为N(A)。 20第二十页，共四十六页，编辑于2023年，星期一7.2.2描述函数的求法（1）首先由非线性静特性曲线，画出正弦信号输入下的输出波形，并写出输出波形y(t)的数学表达式。（2）利用傅氏级数求出y(t)

的基波分量。（3）将求得的基波分量代入定义式，即得N(A)

。下面计算几种典型非线性特性的描述函数。1.理想继电器特性

yx0M-M21第二十一页，共四十六页，编辑于2023年，星期一0xt2特点：1）方波信号2）与x(t)同周期3）奇函数 yx0M-M

y0tM2-M22第二十二页，共四十六页，编辑于2023年，星期一直流分量为：基波余弦分量的系数A1为：23第二十三页，共四十六页，编辑于2023年，星期一所以基波分量为故理想继电器特性的描述函数为即N(A)的相位角为零度,幅值是输入正弦信号A的函数.基波正弦分量的系数B1为： 24第二十四页，共四十六页，编辑于2023年，星期一

2.饱和特性直流分量与基波余弦分量的系数为零A0=A1=0，而基波正弦分量的系数B1为 y0xt21A>aπ-1x0Mka-M-M

y0tM21π-1特点：1）与x(t)同周期2）奇函数 25第二十五页，共四十六页，编辑于2023年，星期一

式中ψ1=arctan(a/A)。可得饱和特性的描述函数为由上式可见，饱和特性的N(A)也是输入正弦信号幅值A的函数。这说明饱和特性等效于一个变系数的比例环节，当A>a时，比例系数总小于k。

26第二十六页，共四十六页，编辑于2023年，星期一以上介绍了描述函数的基本求法，对于复杂的非线性特性，完全可以利用这种力法求出其描述函数，但计算也复杂得多。此时也可以将复杂的非线件特性分解为若干个简单非线性特性的组合，即串并联，再由已知的这些简单非线性特性的描述函数求出复杂非线件特件的描述函数。 7.2.3组合非线性特性的描述 1．非线性特性的并联计算设有两个非线性环节并联，且其非线性特性都是单值函数，即它们的描述函数都是实数。27第二十七页，共四十六页，编辑于2023年，星期一x(t)y1(t)y11(t)N1y12(t)N2

y1(t)=y11(t)+y12(t)=N1Asint+N2Asint=(N1+N2)Asint

N=(N1+N2)

总的描述函数若干个非线性环节并联后的总的描述函数，等于各非线性环节描述函数之和。当N1和N2是复数时，该结论仍成立。 28第二十八页，共四十六页，编辑于2023年，星期一△0M△0kxy++xk0M△y例7-1

一个具有死区的非线性环节，求描述函数N(A)。29第二十九页，共四十六页，编辑于2023年，星期一解：该死区非线性特性可分解为一个死区继电器特性和一个典型死区特性的并联，描述函数为2．非线性特性的串联计算必须首先求出这两个非线性环节串联后等效的非线性特性，然后根据等效的非线性特性求出总的描述函数。x(t)N1y(t)N2z(t)30第三十页，共四十六页，编辑于2023年，星期一120x

y例7-2

求图所示两个非线性特性串联后总的描述函数N(A)。k1=1120xz120

z

yk2=2k=231第三十一页，共四十六页，编辑于2023年，星期一120x

yk=232第三十二页，共四十六页，编辑于2023年，星期一等效为一个死区加饱和的非线性特性，分解为两个具有完全相同的线性区斜率k=2和不同死区宽度1=1及2=2的死区特性的并联相减。33第三十三页，共四十六页，编辑于2023年，星期一前面介绍了描述函数的定义及其求法。通过描述函数，一个非线性环节就可看作一个线性环节，而非线性系统就近似成了线性系统，于是就可进一步应用线性系统的频率法进行分析. 7.2.4用描述函数法分析非线性系统这种利用描述函数对非线性系统进行分析的方法称为描述函数法，这种方法只能用于分析系统的稳定性和自振荡。1.非线性系统的稳定性分析假设非线性元件和系统满足上节所要求的描述函数法的应用条件，则非线性环节可以用描述函数N(A)来表示，而线性部分可用传递函G(s)或频率特性G(jω)表示。34第三十四页，共四十六页，编辑于2023年，星期一x(t)y(t)N(A)G(s)r(t)=0c(t)而闭环系统的特征方程为或式中1/N(A)叫做非线性特性的负倒描述函数(负倒特性曲线)。由结构图可以得到线性化后的闭环系统的频率特性为35第三十五页，共四十六页，编辑于2023年，星期一对比在线性系统分析中应用奈氏判据，当满足G(j)=1时，系统是临界稳定的，即系统是等幅振荡状态。显然，1/N(A)相当于线性系统中的(1,j0)点。区别在于，线性系统的临界状态是(1,j0)。而非线性系统的临界状态是1/N(A)曲线。综上所述，利用奈氏判据，可以得到非线性系统的稳定性判别方法：首先求出非线性环节的描述函数N(A)，然后在极坐标图上分别画出线性部分的G(j)曲线和非线性部分的1/N(A)曲线，并假设G(s)的极点均在s左半平面，则36第三十六页，共四十六页，编辑于2023年，星期一

(1)若G(s)曲线不包围1/N(A)曲线，则非线性系统是稳定的。

(2)若G(s)曲线包围1/N(A)曲线，则非线性系统是不稳定的。G(j)0Im-1/N(A)ReG(j)0ImRe-1/N(A)37第三十七页，共四十六页，编辑于2023年，星期一G(j)0ImRe-1/N(A)M2M1(3)若G(s)曲线与1/N(A)曲线相交，则在理论上将产生等幅振荡或称为自振荡。38第三十八页，共四十六页，编辑于2023年，星期一

例7-补具有死区继电器特性非线性系统如图所示，试确定使系统稳定的K的范围。013r(t)=0c(t)39第三十九页，共四十六页，编辑于2023年，星期一-1/N(A)解：死区继电器特性的负倒描述函数为当A=1时，1/N(A)=∞当A=∞时，1/N(A)=∞。其极值发生在A=1.414处，此时，1/N(A)=/6。0ImReG(j)M2M140第四十页，共四十六页，编辑于2023年，星期一Im[G(j)]=0，得G(j)曲线与负实轴交点处的频率

=1.414。将

=1.414代入实部，得该交点为负实轴上-K/3这点。令解得41第四十一页，共四十六页，编辑于2023年，星期一2.自振荡的分析与计算下面从信号的角度分析自振荡产生的条件。在图示非线性系统中，若产生自荡，则意味着系统中有一个正弦信号在流通，不妨设非线性环节的输入信号为x(t)=Asint则非线性环节输出信号基波分量为y1(t)=N(A)Asin[t+N(A)]而线性部分的输出信号为c(t)=G(j)N(A)Asin[t+G(j)+N(A)]根据系统中存在自振荡的假设，r(t)=0，故x(t)=c(t)即Asint=G(j)N(A)Asin[t+G(j)+N(