线性代数电子教案课件

线性代数电子教案宇宙之大粒子之微火箭之速化工之巧地球之变生物之迷日用之繁无处不用数学第0章前言第一章行列式第二章矩阵第三章n维向量及其线性相关性第四章线性方程组第五章二次型第0章前言本课程的性质、作用和任务学习线性代数的具体要求、重点和难点线性代数的学习方法本课程的性质、作用和任务一、关于《线性代数》

线性代数基本上是讨论矩阵与和矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。它的主要理论成熟于十九世纪，而其第一块基石，二、三元线性方程组的解法，则早在两千年前，即见于我国古代数学名著《九章算术》，这使我们引以自豪。

由于线性代数在数学、力学、物理学和技术科学中有各种重要应用，因而它现在还在各种代数分枝中占居首要地位。

不仅如此，该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法，以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对强化人们的数学训练，增益科学智能都是非常有用的。本课程的性质、作用和任务本课程的性质、作用和任务

时至今日，多种专业人员都需要学习线性代数，还出于一个重要原因：随着科学技术的迅速发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要更进一步研究多个变量之间的关系。各种实际问题(不少是非线性的)大多数情况下，可以线性化，而由于电子计算机科学的高度发展，线性化的问题又可计算出来。线性代数正是解决这些问题的有力工具。所以这门学科身价百倍，正保其青春活力。1、具体与抽象线性代数运用所谓公理化的研究方法，即把数学对象归类，从不同质的具体事物或过程中抽取共同的量的关系，作为最基本的公理、性质(定义)，再从这里出发，采取统一的观点与方法，进行演绎推理等等，揭示和研究其新的性质。例如向量空间这个概念，就是从大量实例中抽象出来的。可以说，抽象程度越高，则概括程度越强，适用范围就越广，但也就不容易理解深透。本课程的性质、作用和任务2、特殊与一般就我们研究问题来说，或者说就我们的认识来看，总是由认识个别和特殊的事物，逐步地扩大到认识一般的事物。数学更不例外。对于解析几何中的二次曲线、二次曲面的标准形研究问题，是我们大家所熟知的问题，而且有它明显的几何直观意义。对于这样一个问题，我们怎样抽象到n维空间的一个一般问题呢？这在线性代数理论，就产生了有关二次型的研究。在二次型的研究方法中，我们采用了解析几何中二次曲线、二次曲面化标准形的一些具体的直观的思想并将它移植到我们更一般的n维抽象空间上来。本课程的性质、作用和任务3、计算与论证计算是按一定公式、法则机械地进行的。多数人容易学会；而探索一个论证要不断进行分析综合，弄不好便走错路。线性代数中大量需要论证，而且用到刚学过的比较抽象的概念。4、教材体系不同教本采用不同体系，如线性方程组、行列式、矩阵----，各书出现的先后不同，起的作用就不一样，这给初学者阅读参考书时增加了困难。本课程的性质、作用和任务学习线性代数的具体要求、重点和难点1、行列式(1)掌握n阶行列式的概念；(2)会运用行列式性质降阶和三角化并能综合运用，熟练地计算数字行列式，并初步掌握计算字母行列式；(3)掌握克莱姆法则，并会用它们来解“整”的线性方程组。

重点是行列式的性质与计算。难点是n阶字母行列式的计算。2、矩阵(1)熟练掌握矩阵的代数运算及性质；(2)掌握可逆矩阵的概念及其判别条件；(3)掌握矩阵乘积行列式与秩的定理；(4)掌握初等矩阵的概念及其与初等变换的关系，初等矩阵与可逆矩阵的关系及其用初等变换求逆矩阵的理论与方法。重点是矩阵的乘积运算及求逆矩阵。学习线性代数的具体要求、重点和难点3、n维向量及其线性相关性学习线性代数的具体要求、重点和难点（1）理解n维向量的概念及运算规则，清楚了解向量组的线性相关性的定义，会判断向量组的线性相关性，准确理解向量组的极大线性无关向量组和向量组的秩的概念，会求向量组的最大线性无关向量组和向量组的秩；（2）掌握齐次线性方程组有非零解的充要条件，非齐次线性方程组有解的充要条件，理解齐次线性方程组的基础解系的概念，正确理解并掌握线性代数方程组解的性质及解的结构，能够利用初等变换方法求出线性代数方程组的通解。学习线性代数的具体要求、重点和难点（3）理解向量空间的定义，理解向量空间的基、维数的概念，掌握内积的概念。

重点是利用初等变换方法求出线性代数方程组的通解。难点是判断向量组的线性相关性和如何求向量组的极大线性无关向量组和向量组的秩。4、线性方程组(1)切实理解消去法和矩阵的初等变换的关系，熟悉高斯消去法；(2)理解和掌握矩阵的秩，会用初等变换及行列式来求秩；(3)牢固掌握线性方程组有解的判别定理；(4)正确理解和掌握齐次及非齐次线性方程组解的结构；

重点是矩阵的初等变换、线性方程组的解法及有解判定法。学习线性代数的具体要求、重点和难点4、对称矩阵与二次型(1)掌握二次型的概念及二次型与对称矩阵之间的一一对应关系；(2)掌握二次型经非退化线性变换后仍为二次型；(3)理解二次型的标准形及掌握化二次型为标准形的方法；(4)理解实数域上二次型的标准形（规范形）唯一性及意义；(5)掌握正定二次型的概念，并掌握其判别法；(6)深刻理解矩阵的相似、特征值、特征向量的概念，并掌握求矩阵特征多项式、特征值、特征向量的理论步骤和方法以及可对角化的条件。学习线性代数的具体要求、重点和难点重点是化二次型为标准形和正定二次型的性质。难点是惯性定理及正交法。学习线性代数的具体要求、重点和难点线性代数的学习方法1、攻克“抽象化”堡垒2、占领“一般性”阵地3、增强论证能力4、掌握全局和局部的关系第一章行列式行列式及其性质克莱姆法则[教学目的]:[重点]:[难点]：[学时数]：

通过本章的学习,要求学生准确理解行列式的概念及其性质,并能熟练地运用克莱姆法则解“整”线性方程组.行列式性质的运用、克莱姆法则的运用。高阶行列式及字母行列式的计算。6学时第一章行列式一、2、3阶行列式的定义：引进符号：并称之为二阶行列式。其中i——行标；j——列标第一章行列式§1.1行列式及其性质同理，符号：称为三阶行列式。第一章行列式二、2、3阶行列式与线性方程组的关系

设有两个未知数的线性方程组：

其变量的系数可以构成一个2阶行列式，称为该线性方程组的系数行列式，记为D(1.1)第一章行列式即：又记：利用消元法解(1.1)得：第一章行列式三、n阶行列式的定义

除前面介绍的二、三阶行列式的完全展开式外，高阶行列式更适合用按列展开。即：定义：一阶行列式定义为|a11|=a11；当n≥2时，假定n-1阶行列式已定义，则n阶行列式定义为：第一章行列式第一章行列式

其中元素aij的余子式是指：在Dn中去掉aij所在的行和列、剩下元素构成的一个n-1阶行列式。记为Mij

元素aij的代数余子式或可以证明：Dn按第一行展开与按第一列展开的结果相同。即第一章行列式Th1：n阶行列式|Dn|等于它的第一行元素与它们对应的代数余子式的乘积之和。证明：用数归纳法（1）n=2时，显然成立（2）设n=k-1时命题成立，现证n=k时，命题也成立。其中Mi1是k-1阶行列式，则由归纳假设有：第一章行列式第一章行列式代入（*）得：第一章行列式四、行列式的性质（以三阶行列式为例）性质1：行列式转置后，其值不变。设则第一章行列式性质2：互换行列式的两行（列），行列式的值改变符号。推论1：行列式D中有两行（列）的对应元素完全相同，则这个行列式的值为零。性质3：行列式中某一行（列）所有元素的公因子，可以提到行列式符号外。第一章行列式推论2：若行列式有一行（列）的元素全为零，则这个行列式的值为零。推论3：若行列式有一行（列）的元素对应成比例，则行列式的值为零。性质4：若行列式某一行（列）的元素加上另一行（列）相应元素的k倍，则该行列式的值不变。第一章行列式性质5：如果行列式的某一行（列）的元素都是两项之和，则可以把这个行列式化为两个行列式的和。这两个行列式的该行（列）的元素分别是原行列式中相应位置的两项的第1项、第2项，其它位置的元素不变。性质6：行列式D等于它任意一行（列）的元素与它的代数余子式的乘积之和。性质7：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子的乘积子和为零。第一章行列式例1：计算下三角行列式的值。第一章行列式第一章行列式解：按第一行展开得：第一章行列式例2：计算的值。第一章行列式解一：第2行加上第1行的-1倍、第4行加上第3行的-1倍得：第一章行列式解二:利用Mathematica软件In[1]:=Out[1]:=In[2]:=Out[2]:=第一章行列式例3：计算的值第一章行列式解一：从第二列起，以后各列乘1加到第一列上得：第一章行列式第一章行列式解二：利用Mathematica软件In[]：=Out[]：=第一章行列式例4：计算的值。第一章行列式解：In[]：=Out[]：=第一章行列式例5：证明n阶行列式:第一章行列式证:

等式左边第n列乘x加到第n-1列,(所得结果的)第n-1列乘x加到第n-2列,…,第2列乘x加到第1列得:左=第一章行列式第一章行列式第一章行列式例6

证明范德蒙行列式(n≥2)第一章行列式证

n=2:设对于n-1阶结论成立，对于n阶：（逐行减去上面相邻行的倍）第一章行列式n-1阶范德蒙行列式第一章行列式例7：利用范德蒙行列式计算:第一章行列式解原式=第一章行列式例8：计算下列n阶行列式:第一章行列式解:从第二列起,以后各列加到第一列得:原式=第一章行列式例9：计算下列n阶行列式;第一章行列式解:第n-1列加第n列的一倍,第n-2列加第n-1列的一倍,…,得:第一章行列式第一章行列式例10计算解：（加边法）第一章行列式第一章行列式第一章行列式§1.2克莱姆法则

对于2、3阶时的克莱姆法则，可推广到n阶的情况。设n个未知数、n个方程的线性方程组为：（I）第一章行列式记系数行列式为另外记第一章行列式Th1.2（克莱姆法则）：若方程组（I）的系数行列式D≠0，则（I）有唯一解：证明：分别用乘方程组（I）的第1、第2、…第n个方程，然后相加得：第一章行列式据性质6，7有：（j=1，2，…,n）(II)

因(I)的解必是(II)的解，而(II)仅有唯一解xj=Dj/D,将其唯一解代入(I)验证也是(I)的解。所以原方程有唯一解。第一章行列式[拉普拉斯定理]1、行列式D的k阶子式M：

任选D中k行k列，位于其交叉点元素按原来顺序排列成的一个k阶行列式。2、M的余子式N：

划去k行、k列后，余下的元素按原来顺序排成的一个n-k阶行列式。第一章行列式3、M的代数余子式A：在N之前冠以一个符号，符号由下式决定其中表示M在D中的行标和列标。第一章行列式如：第一章行列式第一章行列式[拉普拉斯定理]：

在n阶行列式D中，任意取定k行、k列后，由这k行、k列元素所组成的一切k阶子式与它的代数余子式的乘积之和等于行列式D。

例1

计算

解：

按1，2行展开，不为零的二阶子式为

第一章行列式

所以，D=0.第一章行列式第一章行列式4、行列式乘法Th1.3

设第一章行列式则第一章行列式例1：问线性方程组其中a、b、c满足什么条件时，才可以用克莱姆法求解？并解之。第一章行列式解：第一章行列式当D≠0时，即a≠b≠c时，才能用克莱姆法则求解，且：第一章行列式则第一章行列式例2：用克莱姆法则解下列线性方程组解：变形原方程为标准形式得：第一章行列式In[]：=Out[]：=第二章矩阵矩阵的概念矩阵的运算逆方阵分块矩阵矩阵的秩第二章矩阵[教学目的]：通过对本章的学习，要求学生掌握矩阵的概念及一系列的运算，为以后各章打下坚实的基础。初步了解Mathematica软件包的一些矩阵运算。[教学重点]：矩阵概念及矩阵的初等变换。[难点]：有关定理的证明（可不重点要求）第二章矩阵§2.1矩阵的概念一、定义2.1：由m×n个数aij（i=1,2,…m;j=1,2,…n)所排成数表:称为m×n矩阵.第二章矩阵记为：或几种常见的特殊矩阵:行矩阵（n维行向量），即m=1时：第二章矩阵列矩阵（m维列向量），即n=1时：方阵，即m=n时第二章矩阵：上三角形矩阵、下三角形矩阵第二章矩阵对角形矩阵（不是方阵），如：第二章矩阵对角矩阵第二章矩阵单位矩阵I第二章矩阵数量矩阵kI第二章矩阵零矩阵0第二章矩阵几种特殊矩阵的Mathematica软件命令：In[1]:=Out[1]:=In[2]:=Out[2]:=第二章矩阵In[3]:=Out[3]:=例:定义一个四阶的下三角形矩阵In[4]:=Out[4]:=第二章矩阵§2.2矩阵的线性运算一、矩阵的相等设若则称A与B相等。记为A=B第二章矩阵例1设解注意：对于同型矩阵才有意义.第二章矩阵第二章矩阵二、矩阵的加减法设A、B如上定义，则定义：加法运算律：第二章矩阵三、数与矩阵的乘法第二章矩阵矩阵的线性运算满足如下八条性质：①②③⑤⑥⑧④⑦第二章矩阵四、矩阵的乘法

例2

某电子集团生产三种型号的彩电，第一季度各40万台，20万台，30万台,第二季度各30万台，10万台，50万台，每万台的利润分别是400万元，300万元，500万元，第一、二季度各类产品的利润是多少?解：第二章矩阵设则定义：其中：第二章矩阵第二章矩阵例1：设求AB解一：第二章矩阵解二：利用Mathematica软件（命令为：A.B）In[1]：=Out[1]：=In[2]：=Out[2]：=第二章矩阵矩阵乘法运算律：（左分配律）（右分配律）选证证明:设第二章矩阵则再设其中:又设第二章矩阵则其中:注意:矩阵乘法不满足交换律!第二章矩阵例2:证明对任意矩阵Am×n，有AI=A,IA=A证明:设，则同理，设Im×m

,有IA=A例3解

且

AB=O

A=O

或

B=O第二章矩阵但是

IA=A=AI(kI)A=kA=

A(kI)(矩阵乘法不适合消去律)第二章矩阵第二章矩阵五、n阶方阵的幂定义:运算律:注意:第二章矩阵六、矩阵的转置设,则其转置定义为:运算律:第二章矩阵例

对称矩阵：AT=A反对称矩阵：第二章矩阵问题：数乘对称矩阵是否仍为对称矩阵？同阶对称矩阵之和是否仍为对称矩阵？同阶对称矩阵的乘积是否仍为对称矩阵？例第二章矩阵

例

设A,B均为n阶对称阵，则

AB对称阵

AB=BA.证：:

第二章矩阵对任意矩阵A，AAT和ATA都是对称矩阵.证

(AAT)T=(AT)TAT=AAT

例

设A是n阶反对称矩阵，B是n阶对称矩阵，则AB+BA是n阶反对称矩阵.证第二章矩阵第二章矩阵七、方阵A的行列式设，定义A的行列式为:运算律:第二章矩阵例:求矩阵的行列式|A|解:利用Mathematica有:In[]:=Out[]:=第二章矩阵

定义（方阵的多项式）设有多项式f(x),g(x),A,

B

为n阶方阵，则

f(A)g(A)=g(A)f(A).但是，一般

等等注意等等但是第二章矩阵第二章矩阵§2.3逆方阵问题:当Y=AX成立时,在什么条件下可得到X,如何求出X?一、逆矩阵的概念

设A为一n阶方阵，如果有n阶方阵B存在，使得:AB=BA=I则称B是A的逆方阵(简称A的逆).记为A-1=B.

数a≠0：aa-1=a-1a=1?矩阵A:A(?)=I单位阵I

:

对角阵:

I-1

=I第二章矩阵第二章矩阵二、逆矩阵的个数是唯一的(约定记为A-1)定理:若方阵A是可逆的，则有唯一的逆矩阵.

证明:设B,C均为A的逆矩阵，则:B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C所以，A的逆是唯一的，记为A-1三、A可逆的充要条件:注意若A,B均为方阵，且AB=I(或BA=I),则A可逆且B=A-1.第二章矩阵定理:n阶方阵A可逆的充要条件是:其中A*称为A的伴随矩阵，且为:Aij是矩阵A的行列式|A|的代数余子式.第二章矩阵证明:设A可逆，则:又∵|A|≠0,同理可证:第二章矩阵

注:第二章矩阵四、可逆矩阵的性质1.若矩阵A可逆,且AB=E,则必有BA=E.反之亦然.3.若A、B均可逆,则AB也可逆,且有:注:若A,B均可逆,但A+B未必可逆!第二章矩阵Mathematica中有关矩阵的转置和逆矩阵的命令:

矩阵的运算函数意义Det[M]计算矩阵M的行列式Transpose[M]求M的转置矩阵M’Inverse[M]计算矩阵M的逆矩阵Sum[M[[i,i],{i,Length[M]}]计算矩阵M的迹第二章矩阵例1:设且AX=B,求出X.解一:所以A可逆第二章矩阵又因为AX=B，两边同乘以A-1得:而第二章矩阵解二:利用Mathematica软件In[1]:=(计算A的行列式的值)Out[1]:=In[2]:=(求A的逆矩阵A-1)Out[2]:=第二章矩阵In[3]:=(按表格输出A-1)Out[3]:=In[4]:=(X=A-1B)第二章矩阵Out[4]:=In[5]:=(以表格形式输出)Out[5]:=(=X)第二章矩阵例2:设矩阵B可逆,A与B同阶且满足:证明:A和A+B均可逆.证:故A与A+B均可逆.第二章矩阵例3:若A与B均为n阶方阵,且E+AB可逆.则E+BA也可逆,且证明:例4

设方阵A满足A2-A-2I=O，证明：

(1)A和I-A都可逆，并求其逆矩阵；

(2)A+I和A-2I不同时可逆.

证(1)第二章矩阵(2)

所以，A+I和A-2I不同时可逆.

为什么？第二章矩阵

例5

证第二章矩阵

例6

解第二章矩阵第二章矩阵

§2.4分块矩阵分块矩阵:以分块子阵为元素的矩阵.例，又如，一、分块矩阵的运算设第二章矩阵第二章矩阵1、加法——对应块块元素相加.2、数乘与分块矩阵——数乘遍各子块.3、分块矩阵的乘法这里要求:Ai1,Ai2,…，Ais的列数等于B1j,B2j,…Bsj的行数。则:第二章矩阵其中:4、分块矩阵的转置设A如前面所示，则:第二章矩阵5、分块对角矩阵设Aij为ri阶矩阵(1≤i≤s)，则矩阵第二章矩阵二、分块对角阵的运算律设n阶矩阵A，B都是分块对角阵:其中:是同阶矩阵，则:第二章矩阵第二章矩阵若A可逆，则有:第二章矩阵第二章矩阵例1求AB:解第二章矩阵第二章矩阵注意：设A,B均为n阶矩阵，且分块相同，Ak

呢？

将矩阵分块作乘法其分法不是唯一的.只需前一个矩阵列的分法与后一个矩阵行的分法一致就行了

.第二章矩阵在例1中第二章矩阵第二章矩阵例2

如何分块来求AB：第二章矩阵解第二章矩阵

例3

设矩阵求A的逆.

第二章矩阵解第二章矩阵第二章矩阵§2.5矩阵的秩一、矩阵的秩定义：设一个m×n矩阵A=(aij)。在A中任取s行s列(s≤min{m,n})，位于这些行列交叉点处的元素构成的s阶行列式，称为矩阵A的s阶子式。第二章矩阵定义1:矩阵A中不为零的子式的最高阶数称为A的秩.定义2:A中至少存在一个r阶子式不为0，当r≤min{m,n}时，A中所有r+1阶子式全为0，则A的秩为r。矩阵A的秩记为:

显然对任意矩阵A，A的秩唯一.但其最高阶非零子式一般不唯一.第二章矩阵

注意:

(1)、对n阶方阵A，若|A|≠0，则A为满秩的且r(A)=n;(2)、对Am×n，有r(A)≤min{m,n};(3)、r(0)=0例1

求矩阵的秩：解

第二章矩阵基本结论与性质1.R(A)=0A=O；2.R(A)≥r

A有一个r阶子式不为零；

3.R(A)≤r

A的所有r+1阶子式全为零。

第二章矩阵满秩矩阵可逆矩阵

降秩矩阵不可逆矩阵第二章矩阵二、矩阵秩的计算例1

求下列矩阵的秩：所有四阶子式全为零，所以R(A)=3.对于行阶梯形矩阵A,R(A)=A的非零行的行数.第二章矩阵第二章矩阵三、矩阵的初等变换矩阵的初等变换是指对矩阵施行以下的三种变换:1.换法变换:互换矩阵的两行(列).记为[i,j]2.倍法变换:以任意非零数k乘以矩阵的某一行(列)的各元素.记为[i(k)]3.消法变换:以数k乘矩阵的某一行(列)上各元素加到另一行(列)对应元素上去.记为[i+j(k)]第二章矩阵

对矩阵A施行初等变换后，A一般都会改变，但有如下性质:定理：初等变换不改变矩阵的秩.例2:设求r(A)第二章矩阵解一:第二章矩阵故r(A)=2.R(A)=r

经行初等变换能将A化为具有r个非零行的行阶梯形矩阵.例3解分析：第二章矩阵第二章矩阵

推论对任意矩阵A,

R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A)，

其中P,Q分别为可逆矩阵.

证因为Q可逆，存在初等矩阵E1,…,Et使得

Q=E1•••Et，

AQ=AE1•••Et，即AQ为A经列初等变换所得.故R(AQ)=R(A).同理可证其他.第二章矩阵第二章矩阵解二：利用Mathematica软件In[1]:=(作行的线性组合化简A.Mathematica命令为RowReduce[])Out[1]:=第二章矩阵In[2]:=(输出结果用表格形式输出)Out[2]:=第二章矩阵定理:对于任意满秩方阵A,必可用初等行变换将A化成单位矩阵E.定理:秩为r的矩阵A=(aij)mn可通过行的初等变换及列的换法变换化为:第二章矩阵定理：设A=(aij)mn,r(A)=r,则通过初等变换可将A化为:推论同型矩阵A与B等价的充要条件是R(A)=R(B).例4

设求A的标准形.R(A)=2.解第二章矩阵四、三个证明例子例5

设A为n阶矩阵(n≥2)，证明证

①若R(A)=n:detA≠0，

第二章矩阵②R(A)<n-1:

A中所有n-1阶子式均为零，

例6

证明第二章矩阵证存在可逆矩阵P1,P2,Q1,Q2使得第二章矩阵第二章矩阵

即由此可知例7证定义(等阶):矩阵A经过有限次初等变换化为矩阵B，则称A与B等阶.记为:定理:设A，B都是m×n阶矩阵，则:证明:初等变换不改变矩阵的秩反过来:如果r(A)=r(B)=r,则:第二章矩阵三、初等矩阵1.以下三种矩阵统称为初等矩阵:(1)换法初等矩阵(互换单位矩阵的某两行(列)一次)结论:第二章矩阵(2)倍法初等矩阵(以非零数乘单位矩阵的某一行(列))结论:第二章矩阵(3)消法初等矩阵(单位矩阵的某一行(列)乘以数k加到另一行(列)上).结论:第二章矩阵有关初等矩阵的性质:10.初等矩阵均是满秩的;20.初等矩阵的逆矩阵仍是同类型的初等矩阵;30.初等矩阵的转置仍为初等矩阵：第二章矩阵2.初等矩阵与初等变换的关系

用初等矩阵左乘某矩阵A，等于该矩阵A作相应的行初等变换：用初等矩阵右乘某矩阵B，等于该矩阵B作相应的列初等变换。3.求逆矩阵的初等变换法定理：方阵P为满秩的充要条件是P可表为有限个初等矩阵的乘积。第二章矩阵证明:即存在初等矩阵F1,F2,…Fr,使得:则:(Fi为初等矩阵)第二章矩阵故P为满秩矩阵.推论1:r(AB)=r(A)，其中B为满秩矩阵.推论2:设A,，B均为m×n矩阵，则:第二章矩阵由以上定理及推论,推出求逆矩阵的初等变换法:说明:当A经过行初等变换化为单位矩阵E时,E就变成了A-1，即:第二章矩阵例如:设求A-1解一:第二章矩阵解二:利用Mathematica软件In[]:=Out[]:=第二章矩阵第三章n维向量及其线性相关性n维向量及其运算向量的线性相关性向量组的秩第三章n维向量及其线性相关性§3.1n维向量及其运算一、n维向量的概念n个实数组成的有序数组称为n维(实)向量.记为:(n维行向量)

或:(n维列向量)其中:ai(i=1,2…n)是实数,称为分量.第三章n维向量及其线性相关性二、n维向量的线性运算(可参看矩阵的运算)设1.相等2.加法3.数乘第三章n维向量及其线性相关性4.转置运算律(满足以下八条性质构成的空间称为实n维向量空间)1.交换律2.结合律3.4.第三章n维向量及其线性相关性5.数分配律.6.分配律7.结合律8.第三章n维向量及其线性相关性§3.2向量的线性相关性一、线性相关的概念设(I)是s个n维向量,如果存在s个常数使得n维向量与(I)之间有关系:则称是向量组(I)的线性组合.或称可由线量组(I)线性表示.第三章n维向量及其线性相关性

设给定s个n维向量,如果存在s个不全为零的常数，使得:即第三章n维向量及其线性相关性其中aij为系数,ki为n个未知数.由克莱姆法则知:当系数行列式方程有唯一解。所以由第三章n维向量及其线性相关性成立，则称向量组是线性相关的.否则称为线性无关.例1:试证n个n维单位向量:是线性无关的.第三章n维向量及其线性相关性证:若即故所以线性无关.(称为Rn中的基)第三章n维向量及其线性相关性例2：判断所给向量组的线性相关性:解：线性相关.第三章n维向量及其线性相关性二、向量组线性相关的判定1、直接运用向量组线性相关的定义;2、一个向量线性相关的充要条件是该向量为零向量;3、两个向量线性相关的充要条件是它们对应的分量成比例;4、设有n个n维向量:第三章n维向量及其线性相关性则线性相关的充要条件是时，方程组有唯一解，即ki=0.第三章n维向量及其线性相关性若D=0，即方程组有无穷多解。故：线性相关的充要条件是D=05.向量组(r>=2)线性相关的充要条件是中至少有一个向量是其余r-1个向量的线性组合。第三章n维向量及其线性相关性6.如果向量组中有一部分线性相关，则该向量组一定线性相关。(即部分相关，则全体相关)。7.若则它的任何一个部分组也一定线性无关。(即：全体无关，则部分无关)。线性无关，第三章n维向量及其线性相关性8.若向量组中含有零向量，则此向量组一定线性相关。9.设第三章n维向量及其线性相关性

若r维向量组αi线性无关,则r+1维向量组βi也线性无关.10.任意n+1个n维向量必然线性相关。例3:设试判定其线性相关性。第三章n维向量及其线性相关性解:因为线性相关例4:若线性无关，证明:也线性无关。第三章n维向量及其线性相关性证:要使成立即因为线性无关第三章n维向量及其线性相关性该三元线性方程组的系数行列式不等于零,故仅有唯一解,即所以线性无关.第三章n维向量及其线性相关性定理3.5如果向量组线性无关线性相关可由唯一地线性表示.第三章n维向量及其线性相关性§3.3向量组的秩一、向量组间的线性关系设向量组III

如果I中的每个向量均可以由II线性表示,则称向量组I可由向量组II线性表示；如果I与II能互相线性表示,则称I与II等价。记为I≌II第三章n维向量及其线性相关性向量组等价的性质:1)自反性：I≌I2)对称性：若I≌II,则II≌I3)传递性：若I≌II、II≌III,则I≌III定理：如果向量组线性无关,且该向量组可由向量组线性表出,则r≤s。第三章n维向量及其线性相关性推论1:若可由线性表示,且r>s,则线性相关。推论2:两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量。推论3:任意n+1个n维向量组必然线性相关。第三章n维向量及其线性相关性二、向量组中的极大线性无关组和向量组的秩

设一个向量组的某一部分组是线性无关的,并且从该向量组中的其余向量中任取一个添进去,所得的新的向量组线性相关,则称该部分组为一个极大线性无关组。

一个向量组的任意两个极大线性无关组中所含向量的个数相等，称该个数为向量组的秩。第三章n维向量及其线性相关性结论1:全为零向量组成的向量组的秩为0。结论2:两个等价的向量组必有相同的秩。第三章n维向量及其线性相关性三、矩阵的行秩和列秩设分块后:行向量组列向量组第三章n维向量及其线性相关性

矩阵A的列(行)向量组的秩定义为A的列(行)秩。可以证明:A的行秩等于A的列秩等于A的秩。定理如果矩阵A经过初等行变换化为矩阵B,则A和B中任何对应的列向量组都有相同的线性相关性。例1:求的极大线性无关组,并将其余向量由它线性表出.第三章n维向量及其线性相关性解:第三章n维向量及其线性相关性且线性无关是一个极大线性无关组.令第三章n维向量及其线性相关性同理:(ki均不为0)例2:若I是n个线性无关的n维向量,试证:中任意n个向量都线性相关.第三章n维向量及其线性相关性证:记II因为所以II可由I线性表出，所以I≌II因r(I)=n,推出r(II)=n,推出无关。第三章n维向量及其线性相关性例3:设为一组n维向量。证明:线性无关的充要条件是任一个n维向量都能被它线性表出.证:必要性.设I线性无关,为任一n维向量则必线性相关所以I≌II故线性无关.显然I可由II线性表出,由题意如果任一向量可由I表出.则II可由I表出。充分性:记II第三章n维向量及其线性相关性第四章线性方程组线性方程组的概念线性方程组解的判定线性方程组解的结构[教学目的][重点][难点]1.熟练掌握线性方程组的解的判定;2.熟练掌握两类线性方程组的求解方法;3.正确表达方程组的解.

解的判定、求解方法.解的结构第四章线性方程组第四章线性方程组§4.1线性方程组的概念

含有m个方程、n个未知数的线性方程组的一般形式为：（I）改写成矩阵的形式为：第四章线性方程组

其中：方程的解：若有一组数ai(i=1,2,…n)代入方程中的未知数使(I)成立,则称该组数为(I)的一组解或一个解向量。称A为系数矩阵，为增广矩阵。第四章线性方程组非齐次线性方程组.即bi不全为0时.线性方程组齐次线性方程组.即bi全等于0时.第四章线性方程组§4.2线性方程组解的判定一、非齐次线性方程组设(I)第四章线性方程组r(A)=r，则A行变换互换两列的变换第四章线性方程组相应地有第四章线性方程组与对应的方程组为:显然(I)与(I’)同解.以下讨论(I’)解的情况(I’)第四章线性方程组讨论:①.若r<m,且di(i=r+1,…m)不全为0,则(I’）无解；②．若ｒ＝ｍ或ｒ<m但di全等于0,则(I’)同解于:(II”)再讨论:I).若r=n.则由克莱姆法则知(II’)有唯一解;第四章线性方程组II).若r<n.则(I”)变为:

当yj(j=1,2,…n)任赋一组值时,即可得到唯一的yj.此时由yj的任意性,可得(I”)有无穷多个解.第四章线性方程组Th1:线性方程组(I)有解无解

综上所述，有下列定理.(记为方程组的秩)Th2:当r=n时,方程组有唯一解;当r<n时,方程组有无穷解;第四章线性方程组推论：n个方程n个未知数的线性方程组有唯一解的充要条件是方程组的系数行列式的值不等于零.例1:判断下列方程组是否有解？若有解，是唯一解还是无穷解？第四章线性方程组解:所以原方程组无解.第四章线性方程组例2:求解下列线性方程组：解一:第四章线性方程组所以原方程组有无穷多个解.解二:利用Mathematica软件给出方程组的解In[1]:=(输入矩阵A，作行的线性组合化简)第四章线性方程组Out[1]:=(AX=0的两个线性无关的解)In[2]:=(显然A的秩是2)Out[2]:=In[3]:=第四章线性方程组Out[3]:=(AX=B的一个特解)In[4]:=Out[4]:=(全部解)第四章线性方程组二、齐次线性方程组：(II)[Th3]:(1)齐次线性方程组总有解。

(2)当r<n时,(II)除零解外，还有无穷多个解。第四章线性方程组[推论1]:含有n个未知数的齐次线性方程组有非零解的充要条件是方程组的系数行列式等于零。[推论2]：齐次线性方程组的方程的个数少于未知数个时，则必有非零解。例2：试问当λ为何值时，下面齐次线性方程组有非零解？第四章线性方程组解一：令|A|=0得：由推论1知，此时方程组有非零解。解二：利用Mathematica软件计算行列式：In[1]：=第四章线性方程组Out[1]：=In[2]：=Out[2]：=第四章线性方程组§4.3线性方程组解的结构一、齐次线性方程组当时有非零解，以下讨论该种情况：定义：齐次线性方程组的一组解向量：若满足：第四章线性方程组（1）线性无关；（2）的任意一解向量均可由线性表示。则称为的一个基础解系。定理1：设是方程组的解，则也是该方程组的解（即解的线性组合仍是方程组的解）。第四章线性方程组定理2：设齐次线性方程组有n个未知数，，则该齐次线性方程组的基础解系存在，且基础解系含有n-r个线性无关的解向量。证：第四章线性方程组相应方程组为：（II’）令第四章线性方程组第四章线性方程组

可以证明上面n-r

个向量为齐次线性方程组的一个基础解系。（1）显然线性无关；（2）设为AX=0的任一解向量。将其代入（II’）得：第四章线性方程组易验证：第四章线性方程组即故为AX=0的一个基础解系。所以，AX=0的通解为：第四章线性方程组例1：求解下列齐次线性方程组：解一：第四章线性方程组所以与原方程组同解的简化方程组为：第四章线性方程组又因r=2，n=4，所以原方程组有无穷多个解向量。令可得一个基础解系为：故原方程组的通解为：第四章线性方程组解二：利用Mthematica软件In[]：=Out[]：=（两个线性无关的解向量）例2：解下列齐次方程组：第四章线性方程组解一：第四章线性方程组所以原方程组有非零解令则基础解系为：故原方程组的通解为：第四章线性方程组解二：利用Mathematca软件In[]：=Out[]：=思考：，其基础解系是否唯一？第四章线性方程组定理：设，则该方程组的任意n-r个线性无关的解都是其基础解系。证明：设是AX=0的一个基础解系是AX=0的一组线性无关的解又设为AX=0的任一解第四章线性方程组因可由线性表出，且线性相关，而线性无关，所以可唯一地由线性表出

故也是AX=0的一个基础解系。第四章线性方程组二、非齐次线性方程组当，方程AX=B有解且当r=n时，（I）有唯一解；当r<n时，（I）有无穷多解；当时，（I）无解。第四章线性方程组以下讨论当时，（I）的解的结构称为（I）的导出方程组[定理1]：1、非齐次线性方程组（I）的任意两个解向量的差都是其导出组（II）的解。2、AX=B的任一解与导出组AX=0的任一解之和仍是AX=B的解。第四章线性方程组定理2：设导出组AX=0的一个基础解系为为AX=B的任意一个特解，则AX=B的通解为：证：由定理1知：为AX=B的解第四章线性方程组设X为AX=B任一解，则X-V为AX=0的任一解而所以例1：求解下列线性方程组：第四章线性方程组解一：∴AX=B有无穷多解第四章线性方程组其简化方程组为：令，可得AX=0的一个基础解系：，可得AX=B的一个特解：第四章线性方程组所以原方程组的解为：解二：利用Mthematica软件In[1]：=（求AX=B的特解）第四章线性方程组Out[1]：=In[2]：=（求AX=0的基础解系）Out[2]：=例2：讨论下列方程组的解的情况：第四章线性方程组解一：由定理可知，当时，原方程组有无穷解当时，第四章线性方程组对应简化方程为：所以原方程的一个特解为：导出组为：得一个基础解系为：第四章线性方程组所以，原方程通解为：当λ=-2时第四章线性方程组其对应的简化方程组为：所以原方程组的特解为：导出组为：所以λ=-2时，原方程组的通解为：第四章线性方程组解二：利用Mathematica软件In[]：=时（求特解）Out[]：=In[]：=（求AX=0的一个基础解系）Out[]：=In[]：=（求全部解）Out[]：=同理可求λ=-2时的全部解（略）第四章线性方程组例3：设为非齐次线性方程组AX=B的一个解，是导出组的一个基础解系，证明：（1）线性无关；（2）线性无关。证：（1）（反证法）设相关，即存在不全为0的数：，使得：第四章线性方程组成立显然，则有：即为AX=0的解，这与是AX=B的解相矛盾。（2）（定义法）由第四章线性方程组因为据（1）知线性无关,所以故线性无关。第四章线性方程组例4：设

证明AX=B必存在n-r+1个线性无关的解：，且它的任一解可表为：证：存在性由上题（2）可得证；设为AX=B的任一解向量，第四章线性方程组因为线性无关也线性无关又是AX=0的解为AX=0的一个基础解系而也是AX=0的解，第四章线性方程组则令显然有第四章线性方程组第五章二次型二次型及其矩阵表达用满秩线性变换化二次型为标准型正交变换矩阵的特征值与特征向量用正交变换化二次型为标准型正定二次型[教学目的]：[重点]：[难点]：通过对本章的学习，掌握利用矩阵化二次型为标准型的方法。正交变换化二次型为标准型的方法。抽象的理论推导第五章二次型第五章二次型§5.1二次型及其矩阵表达式含有n个变量的二次齐次函数：称为二次型.f的标准型为:f的法式为:第五章二次型所以其中:第五章二次型A是实对称矩阵,称为二次型的矩阵,其秩叫做二次型的秩.第五章二次型当|P|≠0时,该线性变换称为满秩线性变换:显然:矩阵A的二次型经过满秩线性变换后,变为一个含新变量的二次型.第五章二次型§5.2用满秩线性变换化二次型为标准形式一、化二次型为标准形式的满秩变换的存在性设原二次型为:若经过满秩线性变换:得到新的二次型:第五章二次型其中则由前面可知:再令(Fi均为初等矩阵)第五章二次型则其中:第五章二次型二、实际求法例1:设用满秩变换化为标准形式.第五章二次型解:第五章二次型所以在满秩线性变换:下,变为标准型:第五章二次型例2:化二次型为标准型.解：第五章二次型所以f在满秩线性变换:下化为标准形式:第五章二次型注意:(1)满秩线性变换化二次型为标准形式是可行的;(2)二次型的标准形式不是唯一的(如例2),但其项数是一定的(=r)且正项项数也一定;(3)二次型的法式是唯一的.第五章二次型§5.3正交变换一、向量的内积(数量积)定义:设则两向量的内积定义为:第五章二次型内积有如下几点性质:(1)当且仅当时等号成立(2)(3)(4)欧几里得空间:凡定义了内积的实n维向量空间.第五章二次型定义:数叫做向量的模长(长度)记为:即几点性质:(1)(2)第五章二次型(3)(4)当且仅当时,等号成立只证(2):作辅助向量则即第五章二次型若若从而由t的任意性得(关于t的一元二次不等式):第五章二次型由性质(2)知:定义:若称θ为两向量之间的夹角.记为(称为正交)第五章二次型二、标准正交向量组和施密特正交化方法定义:对一组向量若若则称为标准向量则称该向量组两两正交为标准正交向量组.定理1:正交向量组一定是线性无关的.第五章二次型证明:设是一组正交向量组所以线性无关.第五章二次型定理2:若n维向量组是线性无关的,则:（1）可由它们出发作出m个n维正交向量组.(正交化)（2）继续化为m个n维正交标准向量组.(标准化)（3）新旧向量组是等价的.第五章二次型施密特正交化过程:令第五章二次型标准化过程:显然即两两正交第五章二次型又因为所以为标准向量例1:将所给向量组化为标准正交向量组:第五章二次型解:可以判定所给向量组是线性无关的(按定义)正交化过程:令第五章二次型第五章二次型标准化过程:可以验证:是一组标准正交向量组.第五章二次型定理:若是n维向量的标准正交向量组,且m<n,则必有非零的n维向量存在，使成为标准正交向量组.例2:从例1所给的向量组出发,作出含四个向量的标准正交向量组.解:由例1可知:第五章二次型设与都正交即

因该方程组的方程个数小于其变量个数，所以有非零解第五章二次型从而可的一个解为:第五章二次型将其标准化得:即为所求满足条件的向量.故是一组标准正交向量组.第五章二次型三、正交变换与正交矩阵设即第五章二次型定义:如果线性变换Q保持向量的模不变，即对任意向量X，有(X,X)=(QX,QX)则称线性变换Q为正交变换.定理:Y=QX为正交变换证明:由X的任意性得:第五章二次型正交矩阵的性质：（1）（2）(3)(4)例1:判断所给矩阵是否为正交矩阵:第五章二次型解:所以A不是正交矩阵.第五章二次型定理：一个n阶矩阵A为阵交矩阵的充要条件是A的行(列)向量组是一个标准正交向量组。第五章二次型§5.4矩阵的特征值与特征向量一、矩阵的特征值与特征向量的概念设A是n阶方阵，定义:为A的特征多项式，λ为实数.第五章二次型叫做A的特征多项式.一般形式为:叫做A的特征方程.该方程的根叫做A的特征值(根)。第五章二次型设λ0