数学知识-函数极限及导数、微积分课件

函数及其极限一、函数概念1、变量：在某一过程中，数值不断变化的量，称为变量。变量的变化范围称为变域D，变域常常由区间组成。例1：从高度为20米的楼顶落下的物体，在下落的过程中，其距地面的高度h即为一变量。显然：：0≤h≤20。2、函数概念设x,y

为同一变化过程中的两个变量，如果变量x

在其变域D内任意取定一个值，变量y都有唯一确定的值与之相对应，就称y是x

的函数。x

称为自变量。函数y

也称为因变量。在例1中，物体的落下的高度h

显然是时间t的函数，地面楼顶f

表示某种确定的关系。自变量x的变化范围——函数的定义域所有函数值y

的集合——函数的值域。数学函数的定义域，由数学函数表达式确定。物理函数的定义域，由具体的物理过程确定。若是数学函数，其定义域为：若是物理函数，表示圆的面积S与半径r

的关系。其定义域为：函数y

也可依赖于多个自变量：称为多元函数，记为：例如，两个点电荷之间的静电力：二、函数的极限概念（不是数学上的严格定义）函数的自变量x趋近于（无限接近于）某一数值x0

时，若函数f(x)

也趋于某一固定值A。则称A

为x趋于x0时，函数f(x)的极限。记为：例：从上例知，f(x)

在

x=3时没有意义，但x→3时，f(x)

的极限可以存在。三、自变量的增量和函数的增量在函数y=f(x)

的定义域中，设自变量x由x0

变到x，相应的函数值由f(x0)

变为f(x)

。则：四、函数的导数（变化率）1）、问题的引入：求函数曲线在A点的切线Aτ斜率：先考虑在曲线上另取一B点，作割线AB。求割线AB的斜率。由图，得割线AB的斜率：能否以该斜率代替切线τ的斜率，即以割线AB代替切线Aτ？以割线代替切线肯定会有误差，误差的大小和Δx的大小有关。显然，当Δx→0时，B点无限接近A点，即割线AB无限接近切线Aτ。由此，得计算切线Aτ斜率的方法：上述极限记为：可见，数学上提出了这样一种计算要求：计算函数增量Δy与自变量增量Δx之比（商），在Δx趋于零时的极限。物理学上，也有类似的计算要求（举例）。2）导数的定义：综上讨论，得出函数导数的定义，如下：设函数y=f(x)在x=x0处，自变量增加Δx，即由x0

变为x0+Δx；相应的函数增量：Δy=f(x0+Δx)-f(x0)与自变量增量Δx之比，在Δx→0时的极限，称为函数f(x)在x0的导数。解：x由x0→x0+Δx时，从上例可归纳出求函数导数的一般步骤：1）计算自变量增加Δx时，函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)。3）计算增量比值的极限。2）计算增量的比值（商）:该极限值即称为函数f(x)在x0的导数。在求导数时，x0

可在函数的定义域内任意取值。因此，导数也是自变量x

的函数，称为导函数。记为：在大学物理学中，一些物理量之间的关系就是导数关系。3）导数的几何意义：从导数的几何意义知：导数反映了函数的变化快慢。4）基本求导公式：5）函数的和、差、积、商的导数：6）复合函数的导数：7）矢量函数的导数：五、高阶导数对导函数继续求导数，所得结果就是原来函数的二阶导数。类似可定义三阶导数、四阶导数……n阶导数。二阶以上导数统称为高阶导数。大学物理学中，一般只用到二阶导数。六、利用导数求极值和极值设右图为函数f(x)在oxy坐标上的曲线。曲线上，A、B点的函数值要比它邻近点的函数值要大，点A、B称为f(x)的极大值点，函数值f(xA),f(xB)称为极大值。而C点的函数值要比它邻近点的函数值要小，称为f(x)的极小值点。f(xC)称为极小值。极大值点和极小值点统称为极值点，相应的函数值称为极值。从图可知，函数曲线在极值点的切线与x轴平行，即，极值点处，函数曲线切线的斜率为零。亦即函数在极值点的一阶导数等于零。所以，要求函数的极值点，只需求函数的一阶导数，令其为零即可。极大值：+1；极小值：-1七、函数的不定积分1、原函数概念：对于函数f(x)，若有函数F(x)存在，使得在x的定义域上的任一点x。都有：因常数C的导数等于零。所以，若F(x)是f(x)的原函数，则F(x)+C也是f(x)的原函数（C是任意常数）。原函数包含无穷多个函数，这些函数彼此间相差一个常数。2、不定积分函数f(x)的所有原函数的全体集合称为f(x)的不定积分。记为：显然，只要找出f(x)的任一一个原函数F(x)，也就求出了f(x)的所有原函数的整体：F(x)+C从不定积分的定义知，求不定积分和求导数是互为逆运算的。直接从求导数公式，可得出求不定积分公式。3、不定积分的性质八、定积分1、定积分的引入：计算曲边梯形面积。考虑由函数：再考虑由函数：该如何计算这一面积？这时，可将整个曲边梯形分成许多与y

轴平行的小窄长条。每一个小窄长条都可近似看做长方形（右图）。任取一个小长窄条，如第i个。其面积近似为：整个曲边梯形面积近似等于所有这样的小长条面积之和，即：近似程度显然和每个小长条的宽度Δxi

有关。此式即得出曲边梯形的面积。2、定积分的计算（牛顿——莱布尼兹公式）然后，将定积分的上、下限代入原函数中，求出其差