量子力学中要用到的数学知识大汇总

第一章矩阵1.1矩阵的由来、定义和运算方法矩阵的由来矩阵的定义矩阵的相等矩阵的加减法矩阵和数的乘法矩阵和矩阵的乘法转置矩阵零矩阵矩阵的分块1.2行矩阵和列矩阵行矩阵和列矩阵行矢和列矢Dirac符号矢量的标积和矢量的正交矢量的长度或模右矢与左矢的乘积1.3方阵方阵和对角阵三对角阵单位矩阵和纯量矩阵Hermite矩阵方阵的行列式，奇异和非奇异方阵方阵的迹方阵之逆酉阵和正交阵酉阵的性质准对角方阵下三角阵和上三角阵对称方阵的平方根正定方阵Jordan块和Jordan标准型1.4行列式求值和矩阵求逆行列式的展开Laplace展开定理三角阵的行列式行列式的初等变换及其性质利用三角化求行列式的值对称正定方阵的平方根平方根法求对称正定方阵的行列之值平方根法求方阵之逆解方程组法求方阵之逆伴随矩阵11.伴随矩阵法求方阵之逆1.5线性代数方程组求解线性代数方程组的矩阵表示用Cramer法则求解线性代数方程组Gauss消元法解线性代数方程组平方根法解线性代数方程组1.6本征值和本征矢量的计算主阵的本征方程、本征值和本征矢量GayleyHamilton定理及其应用本征矢量的主定理Hermite方阵的对角化 计算本征值和本征矢量的Jacobi法1.7线性变换线性变换的矩阵表示矢量的酉变换相似变换等价矩阵二次型标准型方阵的对角化参考文献习题第二章量子力学基础2.1波动和微粒的矛盾统一从经典力学到量子力学光的波粒二象性驻波的波动方程电子和其它实物的波动性一一deBroglie关系式deBroglie波的实验根据deBroglie波的统计意义态叠加原理动量的几率一一以动量为自变量的波函数2.2量子力学基本方程 Schrdinger方程1.Schrdinger方程第一式2.Schrdinger方程第一式的算符表示3.Schrdinger方程第二式波函数的物理意义力学量的平均值（由坐标波函数计算）力学量的平均值（由动量波函数计算）2.3算符算符的加法和乘法算符的对易算符的平方线性算符本征函数、本征值和本征方程Hermite算符Hermite算符本征函数的正交性一一非简并态简并本征函数的正交化Hermite算符本征函数的完全性波函数展开为本征函数的叠加连续谱的本征函数Dirac5函数动量的本征函数的归一化Heaviside阶梯函数和5函数2.4量子力学的基本假设公理方法基本概念假设I——状态函数和几率假设II——力学量与线性Hermite算符假设m——力学量的本征状态和本征值假设W 态随时间变化的Schrdinger方程假设V——Pauli互不相容原理2.5关于定态的一些重要推论定态的Schrdinger方程力学量具有确定值的条件不同力学量同时具有确定值的条件动量和坐标算符的对易规律Hesienberg测不准关系式2.6运动方程Heisenberg运动方程 力学量随时间的变化量子Poisson括号力学量守恒的条件几率流密度和粒子数守恒定律质量和电荷守恒定律Ehrenfest定理2.7维里定理和HellmannFeynman定理超维里定理维里定理Euler齐次函数定理维里定理的某些简化形式HellmannFeynman定理2.8表示???论态的表示算符的表示另一套量子力学的基本假设参考文献习题第三章简单体系的精确解3.1自由粒子一维自由粒子三维自由粒子3.2势阱中的粒子一维无限深的势阱多烯烃的自由电子模型三维长方势阱圆柱体自由电子模型3.3隧道效应一一方形势垒1.隧道效应2.Schrdinger方程波函数中系数的确定(E>V0)贯穿系数与反射系数(E>V0)能量小于势垒的粒子(EVV0)3.4二阶线性常微分方程的级数解法二阶线性常微分方程级数解法正则奇点邻域的级数解法若干二阶线性微分方程3.5线性谐振子和Hermite多项式线性谐振子幂级数法解U方程谐振子能量的量子化Hermite微分方程与Hermite多项式Hermite多项式的递推公式Hermite多项式的微分式定义 Rodrigues公式Hermite多项式的母函数展开式定义谐振子的波函数 Hermite正交函数矩阵元的计算参考文献习题第四章氢原子和类氢离子4.1Schrdinger方程氢原子质心的平移运动氢原子中电子对核的相对运动氢原子作为两个质点的体系坐标的变换变量分离球坐标系球坐标系中的变量分离①方程之解9.9方程之解R方程之解能级4.2Legendre多项式微分式定义幂级数定义母函数展开式定义和递推公式母函数的展开正交性归一化4.3连带Legendre函数微分式定义递推公式正交性归一化4.4laguerre多项式和连带Laguerre函数母函数展开式定义微分式定义级数定义积分性质5.连带Laguerre多项式和连带Laguerre函数连带Laguerre多项式的母函数展开式定义连带Laguerre多项式的级数定义连带Laguerre函数的积分性质4.5类氢原子的波函数类氢原子的波函数氢原子的基态径向分布角度分布电子云的空间分布波函数的等值线图和立体表示图参考文献习题第五章角动量和自旋5.1角动量算符经典力学中的角动量角动量算符对易规则Hamilton算符与角动量算符的对易规则三??算符具有相同本征函数的条件角动量的本征函数5.2阶梯算符法求角动量的本征值角动量算符的对易规则阶梯算符的性质阶梯算符的作用角动量的本征值5.3多质点体系的角动量算符1.经典力学中多质点体系的角动量总角动量算符及其对易规则多电子原子的Hamilton算符的对易规则5.4电子自旋电子自旋假设I——自旋角动量算符的对易规则假设II——单电子自旋算符的本征态和本征值电子自旋的阶梯算符自旋算符的矩阵表示假设III——自由电子的8因子参考文献习题第六章变分法和微扰理论6.1多电子体系的Schrdinge方程原子单位多电子分子的Schrdinge方程BornOppenheimer原理多电子体系的Schrdinge方程举例多电子体系的Schrdinge方程的近似解法6.2变分法最低能量原理变分法氦原子和类氦离子的变分处理（一）氦原子和类氦离子的变分处理二）激发态的变分原理线性变分法变分法的推广6.3定态微扰理论非简并能级的一级微扰理论基态氦原子或类氦离子简并能级的一级微扰理论微扰法在氢原子中的应用二级微扰理论6.4含时微扰理论与量子跃迁含时微扰理论光的吸收与发射激发态的平均寿命光谱选律偶极强度与吸收系数的关系参考文献习题第七章群论基础知识7.1群的定义和实例群的定义群的几个例子乘法表和重排定理同构和同态7.2子群、生成元和直积子群生成元3直积7.3陪集、共轭元素和类陪集Lagrange定理共轭元素和类置换群的类7.4共轭子群、正规子群和商群共轭子群正规子群（自轭子群）商群和同态定理7.5对称操作群对称操作操作的乘积对称操作群共轭对称元素系，同轭对称操作类和两个操作可对易的条件生成元、子群和直积7.6分子所属对称群的确定单轴群双面群立方体群分子对称群的生成元和生成关系晶体学点群分子所属对称群的确定参考文献习题第八章群表示理论8.1对称操作的矩阵表示基矢变换和坐标变换物体绕任意轴的旋转，Euler角对称操作的矩阵表示函数的变换8.2群的表示群表示的定义等价表示和特征标可约表示和不可约表示，不变子空间4.Schur引理正交关系正交关系示例投影算符和表示空间的约化直积群的表示实表示和复表示8.3表示的直积及其分解表示的直积对称积和反对称积直积表示的分解ClebschGordan系数8.4某些群的不可约表示循