三角形的外角课件+2023-2024学年人教版数学八年级上册

新知一览与三角形有关的线段与三角形有关的角三角形三角形的高、中线与角平分线三角形的边三角形内角和三角形的外角多边形与内角和多边形多边形的内角和直角三角形的判定和性质三角形的稳定性第十一章

三角形11.2.2三角形的外角两只小猫在如图的

A

处发现有一只老鼠在

O处觅食，小猫打算用迂回的方式，由一只先从

A

前进到

C

处，然后再折回至

B

处，截住老鼠返回墙洞的去路

，另一只则直接从

A

处扑向老鼠，已知∠BAC

=

40°，∠ABC

=

70°，问，小猫从

C

处要逆时针转多少度才能直达

B处?题目所求的是哪个角度？知识点1：三角形外角的定义探究新知合作探究

探究一

(1)任意画两条直线，使它们相交，会出现四个角，这些角有什么关系呢？分别说一说.图1对顶角、邻补角.图2(2)分别在图1中再画一条直线，使得三条直线两两相交，得到图2，使其出现更多的角，这些角有什么关系呢？分别说一说.图1(3)三角形同一顶点处的角有四个，仔细观察并连线.图2.3∠1∠3∠2∠4∠1的对顶角三角形的内角一边与另一边边的延长线组成的角

三角形外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角.例如：∠ACD.1.下列各图中，∠1是△ABC

的外角的是()DA B CD知识点2：三角形外角的性质合作探究探究二

如图，∠ACD

是

△ABC

的一个外角.(1)

说说图中角的关系.例如：∠A

+∠B+∠ACB

=180°，

∠ACD+∠ACB=180°

等.(2)

如果∠A

=

70°，∠B

=

60°，求∠ACD

的度数，并说说∠ACD

与∠A、∠B

的关系；∠ACD=130°.∠ACD

=∠A

+∠B，∠ACD>∠A

等.(3)

改变∠A、∠B

的度数，∠ACD

与∠A、∠B

还有(1)中你发现的关系吗

?

如果有，请说明理由并试着用语言归纳一下你发现的结论.∠A∠B∠ACD

30°60°51.95°53.04°118°12′21°24′104.99°90°139°36′∠ACD

=∠A

+∠B想一想，如何证明这个结论呢？证明

已知：△ABC如图，求证：∠ACD=∠A+∠B.分析：利用角的转移.D证明：过

C

作

CE∥AB，ABC12则∠1

=∠B(两直线平行，同位角相等)，∠2

=∠A

(两直线平行，内错角相等).∴∠ACD

=∠2+∠1=∠A

+∠B.E

三角形内角和定理推论：三角形的外角_____与它不相邻的两个内角的___.等于和几何语言：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD=∠A+∠B.

例1如图，∠A=42°，∠ABD=28°，∠ACE=18°，求∠BFC的度数.解：∵∠BEC是△AEC的一个外角，∴∠BEC=∠A+∠ACE.∵∠A=42°

，∠ACE=18°，∴∠BEC=60°.∵∠BFC是△BEF的一个外角，∴∠BFC=∠ABD+∠BEF.∵∠ABD=28°，∠BEF=60°，∴∠BFC=88°.FACDEB例2(一题多解)

如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数.ABCD(((51°20°30°分析：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.解法一：连接

AD并延长到点

E.在

△ABD中，∠1+∠B=∠3，在

△ACD中，∠2+∠C=∠4.∵∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C

=51°

+20°

+30°

=101°.ABCD((20°30°E

))12)3)4你发现了什么结论？解法二：延长

BD交

AC于点

E.在△ABE中，∠1=∠B+∠A，在△ECD中，∠BDC=∠1+∠C.∴∠BDC=∠A+∠B+∠C

=51°

+20°

+30°

=101°.ABCD(((51°20°30°E

)1解法三：连接

CD并延长交

AB于

F(解题过程同解法二).)2F

通过前面的例题

，你能画出这些题型的基本图形吗？∠BDC＝∠A+∠B+∠C飞镖形2.两只小猫在如图的

A

处发现有一只老鼠在

O处觅食，小猫打算用迂回的方式，由一只先从

A

前进到

C

处，然后再折回至

B

处，截住老鼠返回墙洞的去路

，另一只则直接从

A

处扑向老鼠，已知∠BAC

=

40°，∠ABC

=

70°，问，小猫从

C

处要逆时针转多少度才能直达

B处?解：∵∠BAC

=

40°，∠ABC

=

70°，∴∠A

=70°.∴小猫需要转动的角度为：

∠ECB=∠A+∠ABC

=40°+70°

=110°.知识点3：三角形的外角和合作探究探究三

对于任意三角形

ABC，请探索其外角和是多少.例3

如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？分析：利用三角形内角和及其推论、平角的定义等将这些角整体计算.证法一：利用三角形内角和及其推论.解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2.又知∠1+∠2+∠3=180°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)=360°.证法二：利用三角形内角和及平角的定义.解法二：如图，∠BAE+∠1=180°①，∠CBF+∠2=180°②，∠ACD+∠3=180°③，又知∠1+∠2+∠3=180°，①+②+③得∠BAE+∠CBF+∠ACD+(∠1+∠2+∠3)=540°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-

180°=360°.你还有其他解法吗？

三角形外角和：三角形的外角和等于_____.例如：∠FAE+∠ECD+∠DBF=360°.360°性质三角形的外角三角形的一个外角等于与它______的两个内角的和定义三角形的一边与另外一边的______所组成的角延长线

三角形外角和三角形的外角和等于_____360°不相邻基础练习1.如图，AB∥CD，∠A＝37°，∠C＝63°，那么∠F等于

(

)A.26°B.63°C.37°D.60°A解：∵∠1是△FBE的外角，∴∠1=∠B+∠E，同理