平面向量基本定理及平面向量基本定理导学案

PAGE1-2.3.1平面向量基本定理【学习目标】1.了解平面向量基本定理和意义，能用基底表示平面内任意给定向量.2.掌握三点共线的向量表示方法.3.在了解平面向量基本定理的基础上，理解并掌握平面向量的正交分解及坐标表示.4.体会向量与几何问题、物理中力学问题的联系.一、引入悟境1.回顾三个基本内容：（1）向量的加法运算与平行四边形法则；（2）实数与向量的积；（3）向量共线定理.2.由平行四边形法则思考这样一个问题：是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？二、引领悟识1.作图研究任一向量与两不共线向量的关系作图：任意画两个不共线的向量，及任意向量，如何用，表示2.平面向量基本定理平面向量基本定理：如果，是平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任意向量，实数，，使.此时不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组.【对定理的理解】（1）定理的实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合.（2）对基底的理解，同一平面内可以有不同的基底，只要是两个不共线的向量都可以成为一组基底.一旦基底定了，那么定理中的，就唯一确定了，也就是说，λ1，λ2是被，，唯一确定的数量.（基底可以有零向量吗？）（3）基底背景下向量共线的条件我们很容易得到下述结论：设，为一组基底，若向量与向量共线，则，反之亦然.（4）基底背景下向量相等的条件：设，为一组基底，若向量与向量相等，则：。3.两向量的夹角非零向量、的夹角，一般用表示两向量的夹角.注意向量、的始点为同一点.夹角的范围，而不共线向量夹角范围为.几个特殊夹角对应的特殊位置：若向量、的夹角为，那么时，与；时，与；（）时，与，记作.三、引导悟技1.理解平面向量基本定理例1.设是平面内一组基底，用反证法证明：当时，恒有.变式1：如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是()①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.A.①②B.②③C.③④D.②2.利用基底表示平面内的向量例2.（1）已知中，为的中点，、为的三等分点，若，，用，表示、、.（2）在△OAB中，，AD与BC交于点M，设=，=，用,表示.【变式2】（1）已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足，则（）A． B． C． D．（2）如图所示，在▱ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若＝a，＝b，试以a，b为基底表示，.3.向量共线及应用例3.已知向量，平面内一组基底，且，，.（1）若、、三点共线，求的值.（2）、C、能否共线？【变式3】1．已知，一组基底，且，，若，共线，则=_______.2．已知向量，是一组基底，且∥，则实数的值为.3.如图，在中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB、AC于M、N两点，若。试问：是否为定值？4.利用平面向量基本定理进行几何证明例4.在平行四边形中，点是的中点，点在上，且，求证：、、三点共线.【变式3】证明：三角形中线的交于一点.四、引申悟道1.充分理解基底条件及平面向量基本定理.2.能利用基底表示平面内任一给定向量.3.掌握三点共线的向量表示.§2.3.1平面向量基本定理高一（）班姓名：上课时间：【目标与导入】1、学习平面向量基本定理及其应用；2、学会在具体问题中适当选取基底，使其他向量能够用基底来表达。【预习与检测】1、点C在线段AB上，且，,则等于（）ABA、B、C、-D、-AB2、设两非零向量不共线，且与共线，则的值为（）。3、已知向量，作出向量与。两个向量相加与物理学中的两个力合成相似，如果与力的分解类比，上述所作的分解成两个向量：在方向上的____与在方向上的______，则分解成_____与_____。4、阅读课本P93—94，了解平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个_______向量，那么对于这一平面内的______向量，有且只有一对实数，使_____________，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组__________。5、已知两个非零向量，作，则叫做向量与的__________，若,则与_______；若,则与__________；若,则与_______，记作______。【精讲与点拨】HBACD如图所示，在平等四边形ABCD中，AH=HD，MC=BC，设，以为基底表示。HBACD【检测与纠错】1、设是同一平面内的两个向量，则有（）一定平行的模相等同一平面内的任一向量都有若不共线，则同一平面内的任一向量都有P2.在中，，若,=()PA、B、C、D、EACDEACDFBA组：如图所示，梯形ABCD中，AB//CD，且AB=2CD，E、F分别是AD、BC的中点，设，，以，为基底表示。BB组：1、已知向量，其中不共线，则与的关系（）不共线共线相等无法确定2、若向量不共线，实数满足，则的值为________;3、已知，是一组基底，且，则与__________，与_________.（填共线或不共线）【总结与体会】1、基底有什么作用？________________________________2、要成为基底需满足什么条件？______________________3、基底唯一吗？_______________4、基底确定了，向量分解形式唯一吗？_____________________§2.3.2-2.3.3平面向量的正交分解和坐标表示及运算高一（）班姓名：上课时间：【目标与导入】1、学习平面向量的坐标的概念；2、能够进行平面向量的坐标运算【预习与检测】BDAC1、D是的边AB上的中点，则向量BDACA、B、C、D、2、下列说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可以作为基底中的向量；④基底给定时，分解形式唯一，是被唯一确定的数量。其中正确的说法是（）①②②③④①③①②③3、在坐标系下，平面上任何一点都可用一对有序实数（即坐标）来表示，一个向量是否也可以用坐标来表示呢？若可以，它们是否是一一对应的？阅读课本P95，了解向量坐标的定义方法：（1）把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量____________________.（2）在平面直角坐标系中，分别取与方向相同的两个单位向量，对于平面上的任一个向量，有且只有一对实数，使得，我们把有序实数对叫做的坐标，记作=________。这样用坐标表示。4、若，则5、若，则【精讲与点拨】例1：如图，已知，求的坐标。思考：若，则例2、已知，求的坐标。例3、已知的三个顶点的坐标分别是，试求顶点的坐标。【检测与纠错】完成课本P100练习1题、2题、3题【作业与预习】A组：1、设，（1）已知，则点B坐标为_______（2）已知，则点B坐标为_______（3）已知，则点A坐标为_______2、作用在坐标原点的三个力分别为，则合力=_____。3、已知的顶点，求顶点的坐标。B组：4、在中，，，对角线交于点O，则的坐标是______.5、已知是坐标原点，点在第一象限，求向量的坐标。【总结与体会】本节课的重点、难点？_________________________________________________________________________________________________________________________.§2.3.4平面向量共线的坐标表示高一（）班姓名：上课时间：【目标与导入】1、理解平面向量共线的坐标表示；2、能够熟练运用平面向量共线的坐标表示的知识解决有关向量共线问题。【预习与检测】1、若，则2、若，且，则，用坐标表示为____________________________，消去有___________________。所以，判断向量共线的条件有两种形式：3、证明三点共线的方法：设，只要证明______________，即可证三点共线。4、设，则的中点的坐标为__________________________.5、设，当时，______________________.【精讲与点拨】例1：已知，且，求。例2：已知，试判断三点之间的位置关系。【质疑与互动】设点是线段上的一点，的坐标分别是，（1）当点是线段的中点时，求的坐标。探究：（2）当是线段的一个三等分点时，求点的坐标。（3）当时，求点的坐标。【检测与纠错】完成《课本》P100练习4题、5题、6题【作业与预习】A组：1、当=_____时，向量共线。2、已知，若与平行，则的值为_____________。3、若，且，则=（）4、已知，点P在线段AB的延长线上，且，求点P的坐标。B组：1、设，且，则的值是（）【总结与体会】本节课的重点是什么？_________________________________________平面向量基本定理测试班级：成绩：时间：一、选择题1、若ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设=，=，则向量等于A．+B．－－C．－+D．－2、已知向量和不共线，实数x、y满足(2x﹣y)+4=5+(x﹣2y)，则x+y的值等于（）A．－1B．1C．0D．33、若5EQ\s\up8(→)\d\ba24()AB+3EQ\s\up8(→)\d\ba24()CD=，且|EQ\s\up8(→)\d\ba24()AD|=|EQ\s\up8(→)\d\ba24()BC|，则四边形ABCD是（）A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形4、设M是△ABC的重心，则EQ\s\up8(→)\d\ba24()AM=（）A．EQ\F(\s\up8(→)\d\ba24()AC－\s\up8(→)\d\ba24()AB,2) B．EQ\F(\s\up8(→)\d\ba24()AB+\s\up8(→)\d\ba24()AC,2) C．EQ\F(\s\up8(→)\d\ba24()AC－\s\up8(→)\d\ba24()AB,3) D．EQ\F(\s\up8(→)\d\ba24()AB+\s\up8(→)\d\ba24()AC,3)5、设和为不共线的向量，则2﹣3与k+λ（k ．λ∈R）共线的充要条件是（）A．3k+2λ=0B．2k+3λ=0C．3k﹣2λ=0D．2k﹣3λ6、D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且，给出下列命题，其中正确命题的个数是①②③=－④A．1B．2C．3D．4二、填空题1、设向量和不共线，若+=