平面的基本性质教学设计及平面齿轮机构设计

9.1.2平面的基本性质【教学目标】1．在观察、实验与思辨的基础上掌握平面的三个基本性质及推论．2．学会用集合语言描述空间中点、线、面之间的关系．3．培养学生在文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化的能力．【教学重点】平面的三个基本性质．【教学难点】理解平面的三个基本性质及其推论．【教学方法】这节课主要采用实例法．结合学生身边的实物，体会平面的无限延展性，并引导学生观察身边的物体以及现象，引导学生总结出平面的三个基本性质，逐个理解其内在的思想．同时教会学生能正确用图形语言与符号语言表示文字语言．通过穿插有针对性的练习，引导学生边学边练，及时巩固，逐步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化．【教学过程】环节教学内容师生互动设计意图导入公路、平静的海面、教室的黑板都给我们以平面的形象．你还能从生活中举出类似平面的物体吗？教师呈现平面的图片，学生根据生活经验找出具有平面特点的实例．从学生身边的生活经验出发，对平面加以描述而不是定义，引发学生学习的兴趣．新课新课新课1．平面几何里所说的“平面”就是从桌面等物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的．2．平面的表示方法常把希腊字母，β，等写在代表平面的平行四边形的一个角上来表示平面，如平面、平面β等；也可以用代表平面的四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．基本性质1如果一条直线上有两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．BA练习一在正方体ABCD-A1B1C1D1（1）直线AC1在平面CC1B1B内；（2）直线BC1在平面CC1B1B内．平面内有无数个点，平面可以看成点的集合．点在平面内和点在平面外都可以用元素与集合的属于、不属于来表示．基本性质1可表示为：如果A，B，那么直线AB．利用这个性质，可以判断一条直线是否在一个平面内．位置关系的符号表示：位置关系符号表示点P在直线AB上PAB点C不在直线AB上CAB点M在平面AC内M平面AC点A不在平面AC内A平面AC直线AB与直线BC交于点BAB∩BC＝B直线AB在平面AC内AB平面AC直线AA不在平面AC内AA平面AC基本性质2如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．aaA练习二观察长方体，你能发现长方体中两个相交平面的公共直线吗？基本性质3过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面．练习三在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是AC(1)由点A，O，C可以确定一个平面；(2)由A，C1，B1确定的平面是平面ADC1B1；(3)由A，C1，B1确定的平面与由A，D，C1确定的平面是同一个平面．教师从初中的点、线、面开始说起，逐步过渡到平面，并教会学生怎样表示平面．师：如果直线l与平面有两个公共点，直线l是否在平面内？生：是．学生个别口答，其他学生进行评价，教师解决有争议的知识点．运用集合的符号表示点、线、面之间的位置关系．学生观察理解，条件容许时可作为练习，让学生分小组讨论完成．教师讲解基本性质2，同时教会学生怎样画两个平面相交．学生观察长方体，回答问题．教师创设实际情境：生活中经常看到用三角架支撑照相机．并让学生找出生活中类似的现象．例如自行车、门等．教师强调存在性和唯一性．学生在教师的引导下，理解三个推论．教师逐个结合学生身边的现象或实例讲解三个推论．如教师可结合学生身边熟悉的现象，提出问题：木匠用两根细绳分别沿桌子四条腿底端的对角线拉直，以判断桌子四条腿的底端是在同一平面内，其依据是什么？学生灵活运用所学知识进行解决．学生通过点与线的关系联想到点、线与面的关系．培养学生联想的能力．通过动画演示提高学生学习的兴趣，活跃学生的思维．学生在实际讨论中巩固平面的基本性质1．学生体会三种语言符号的联系与区别．教师结合生活经验启发学生．在这个过程中，逐步培养学生空间想象能力．学生体验生活中处处存在数学知识．学生对于“有且只有一个”进行理解．小结1.平面的基本性质1以及推论1．2.平面的基本性质2以及推论2．3.平面的基本性质3以及推论3．作业教材P113练习B组第2题．平面齿轮机构设计一、特点：

1）功率和速度范围↑。

2）η↑。

3)寿命长。

4）保证精确角速比，传动比i。

5）制造设备要求↑（专门机构，刀具），成本↑，装配要求↑。

二、分类

1、按两齿轮轴相对位置分：平行，相交，交叉。平行（外啮合，内啮合）：直齿，斜齿，人字齿，图8-1（a,b,c)；相交：直齿圆锥，斜齿圆锥，曲齿圆锥，图8-4（a,b,c)；交错：螺旋（图8-5），蜗轮蜗杆(图8-7)，双曲线体（图8-6）。

2、按两齿轮相对运动：a).平面运动机构（平行轴）；b).空间运动机构（其他：相交，交叉）。

3、按齿廓曲线分:渐开线，摆线，圆弧。§7-2齿廓啮合基本定理与渐开线齿廓（图8-8）

一、齿廓啮合基本定理（齿廓曲线与齿轮传动比关系）

一对齿轮啮合传动是靠主动轮的齿廓推动从动轮的齿廓来实现的，所以当主动轮按一定角速度转动时，从动轮转动角速度显然与两轮齿廓的形状有关，也就是说：两齿轮传动时，其传动比变化规律与两轮齿廓曲线有关。

两轮角速比称传动比：i=ω1/ω2=常数。

如图：为一对互相啮合的齿轮：

主动轮1，ω1方向

从动轮2，ω2方向

两轮齿齿廓C1,C2在K点接触，两轮在K点的线速度分别为Vk1,Vk2,过点k作两齿廓公法线n-n,要一对齿廓能连续地接触传动，它们沿接触点的公法线方向是不能有相对运动的。否则，两齿廓将不是彼此分离就是互相嵌入，因而不能达到正常传动目的。这就是说，要使两齿廓能够接触传动，则Vk1和Vk2在公法线n-n方向的分速度应相等，所以两齿廓接触点间的相对速度Vk2k1只能沿两齿廓接触点的公切线方向，设以η表示两齿廓在接触点的公法矢量，则有：Vk2k1xη=0。

这就是齿廓的啮合基本要求，上式为齿廓啮合基本方程式，由于Vk1和Vk2在公法线方向分速度应相等。

故：故由图得：P--啮合点齿廓公法线（n-n)和连心线交点

上式表明：互相啮合传动的一对齿轮，在任一位置时的传动比，都与其连心线O1O2被其啮俣合齿廓在接触点处的公法线所分成的两段成反比---齿廓啮合基本定理。

由齿廓啮合基本定理知：如两齿轮齿廓在不同位置啮合时，过其接触点的公法线与两齿轮连心线交点的位置不同，则两齿轮传动比也不同。两齿廓在接触点公法线方向如何，则决定于两齿廓曲线形状，所以根据齿廓啮合基本定理，即得齿廓曲线与齿轮传动林关系。（下面就讨论此关系）

由：i12=ω1/ω2=O1P/O2P,知：欲使i12为常数，则O1P/O2P应为一常数，由于轴心O1,O2均为（即O102为定长）所以欲使O1P/O2P为常数，则点P在连心线上为一定点，由此得出结论：要使两齿轮作定传动比传动，则其齿廓曲线必须满足下述条件：

即：不论两齿廓在任何位置接触，过其接触点所作的齿廓公法线必须与两齿轮的连心线相交于一固定点p（节点），由于点P为定点，故在轮1上的轨迹为以O1为圆心，O1P半径圆。由于点P为定点，故在轮2上的轨迹为以02为圆心，O2P为半径圆。O1P、O2P---节圆。

由此可知：轮1与轮2节圆在P点相切，而且在P点两轮线速度相等：ω1O1P=ω2O2P，故两齿轮的啮合传动可以视为两节圆作无滑动的滚动。

二、渐开线性质

1、形成及其性质（如图）

形成：当一直线ll沿一圆周作纯滚动，直线上任意点K的轨迹AK，就是该圆的渐开线，这个圆称基圆。如果发生线沿相反方向在基圆上滚动，亦可得到方向相反的同样的渐开线。

性质：（图8-10）1）发生线沿基圆滚过的长度，等于基圆滚过的圆弧长度BK=BA,KK1=AA1。2）因发生线L-L沿基圆作纯滚动，故它与基圆的切点B即为速度瞬心，所以发生线e-e即为渐开线在点K法线，又因发生恒切于基圆，故可得结论：渐开线上任意点的法线恒为基圆的切线。即K点的法线（e-e)=rb的切线。3）发生线与基圆的切点B也是渐开线在点K的曲率中心，而线段BK是渐开线在点K的曲率半径，即Pk=BK,Pk(k点的曲率半径）。由图可知：渐开线愈接近于基圆的部分，其曲率半径愈小，即曲率愈大，曲线愈弯曲，反之则曲线愈平直。4）渐开线形状取决于基圆大小。基圆愈小，渐开线愈弯曲，基圆愈大，渐开线愈平直。即：齿条的齿廓曲线就是变成直线的渐开线。5）rb(基圆）内无渐开线。

2、方程：由图得：由上可知：已角θk是随压力角αk大小而变化，只要知道渐开线上各点的压力角αk，则该点展角θk就可由上式求出。所以称展角θk为压力角αk的开线函数，工程上有invαk表示θk.

(b)rk=rb/cosαk,渐开线极坐标方程：三、渐开线齿廓满足齿廓啮合基本定理：(图8-11)

1、满足基本要求：

了解了渐开线的形成及其性质以后，首先需证明：用渐开线作为齿轮的齿廓能否满足定传动比要求。如图（8-11），G1,G2分别为两渐开线传动齿轮的齿廓，当它们在任意点K啮合时，过K点作这对齿廓公法线N1N2。根据渐开线性质：此公法线N1N2必同时与两齿轮的基圆相切，即N1N2为两轮基圆内的一条内公切线，它于连心线o1o2相交于点P。

由于基圆大小和位置都不变，所以不论这两个齿廓在任何位置啮合，例如在点K′啮合，则从K′所作两齿廓的公法线都将与N1N2重合（因为两事实上圆在同一方向只有一条内公切线），这就说明了N1N2为一定直线，其与连心线O1O2交点为一定点P，所以两轮传动比i=ω1/ω2=O1P/O2P=常数。所以开线齿廓满足齿廓啮合基本定理。

2、渐开线传动特点：

1）接触点公法线=两基圆内公切线(一条）

2）啮合线=公法线（因为所有啮合点均在线N1N2上，因此线N1N2是两齿廓接触点的轨迹，故将N1N2称啮合线）

3）啮合角α=节点上压力角α′，（过节点P作两节圆公切线，它与啮合线N1N2所夹锐角---啮合角α）

4）i=ω1/ω2=O2P/O1P=rb2/rb1(不仅与两节圆成反比，而且还与两基圆成反比）§7-3直齿圆柱齿轮各部分名称和几何尺寸

由于直齿圆柱的齿向与轴线平行，所以在垂直于齿向的所有剖面上的齿廓形状（齿形）与端面相同，故直齿圆柱齿轮几何尺寸可按端面齿形计算。

一、外齿轮（图8-12）

1、名称：

2、几何尺寸计算：

已知：m,z,m(模数）=P/π（为便于计算，制造，检验和互换，使用而规定的齿轮基本参数）

五个基本参数：m、z、ha*、c*、α。表8-3，标准直齿圆柱齿轮传动的几何尺寸计算公式。

3、任意半径齿厚sk

设计和检验齿轮时，常常要知道某一圆周上的齿厚。如为了检查齿顶强度而计算厚度，为确定齿侧间隙而要计算节圆上齿厚等。

如图8-13，二、齿条

齿数为无限多的外齿轮的一部分，称齿条。∵齿轮齿数增加，顶圆，根圆，分度圆，基圆亦相应增大。如果Z增到无限多时，四个圆就变成四条互相平行直线。分度圆---分度线。

ha=ha*m,hf=(ha*+c*)m

分度线上齿厚：s=e(齿槽宽）=πm/2。

与齿轮相比，有两个特点（图8-14）：

1）由于齿条的基圆直径为无限大，渐开线齿廓是倾斜角等于压力角α的直线。所以齿廓上各点法线互相平行。又由于齿条是作平移运动，故齿廓上任一点的压力角均相等。大小等于分度圆压力角α，即:各点压力角相等，且等于α等于齿廓倾斜角。

2）各点齿距（周节）P=πm,∵齿条上各点的同侧齿廓是平行的，所以在任何一条分度线平行的直线上，其齿距均相等。

三、内齿轮（图8-15），db=dcosα,da<df,da>df一、正确啮合条件

由上述分析可知：一对渐开线齿廓是能够保证定传动比，但这并不等于说任意两个渐开线齿轮都能搭配起来正确地传动，例如:一个齿轮周节很大，另一个齿轮周节很小，显然，这两个齿轮是无法搭配的，那一对渐开线齿轮传动，正确啮合应具备什么条件？

图8-17，一对渐开线齿轮传动，当主动轮1的齿廓K1和从动轮2的齿廓K2在啮合线上的K点接触时，为保证两轮能连续正确啮合，后一对齿廓K1′，和K2′，如果已进入啮合区，则它们应在啮合线上另一点K′接触，即轮1的两齿廓K1和K1′在啮合线上的距离应等于轮2的两齿廓k2和k2′在啮合线上的距离。

k1k1′=k2k2′=bb′=cc′(基圆上齿距），渐开线性质：发生线在基圆上滚过长度等于基圆上滚过弧长。

§7-5渐开线直齿圆柱齿轮传动的中心距和可分离性一、中心线：

两齿轮回转中心距离为中心距，等于两节圆半径之和，a=r1'+r2'

二、中心距可分性

1、外啮合

1)正确安装：图8-18，没有侧隙存在的传动称正确安装传动，此时中心距称正确安装中心距，或标准中心距。

侧隙：为避免齿轮反转时发生冲击和出现空程，理论上要求两齿轮传动时轮齿不受力的一侧齿廓之间没有空隙存在，这个空隙称齿侧间隙（侧隙）。无侧隙传动：节圆上:一对标准齿轮（分度圆）无侧隙安装（标准安装）

两正确安装的标准齿轮传动的中心距：正确安装的径向间隙（一个齿轮齿顶到与之相啮合齿轮齿根径向距离）:2）可分性：（图8-18）

若两渐开线齿轮由于制造和安装误差，或因齿轮轴受载变形和轴承磨损等而使两轮中心位置变动，（中心距由a→a′)，此时啮合线N1′N2′仍为两基圆内公切线，而c′>c=c*.m,但啮合线与连心线o1′o2′的交点p′亦为定点，故此时瞬时传动比仍为定值，即：公法线=啮合线=内公切线（一条），满足基本定理：节点p′为定点故由上述可知：两正确安装的标准齿轮传动时，节点就是两分度圆的切点，分度圆与节圆重合，啮合角等于节圆压力角，也等于分度圆压力角。当中心距改变时，节点位置随之改变，节圆与分度圆不重合，啮合角仍等于节圆压力角，但不等于分度圆压力角。不过，不论中心距是否改变，两渐开线齿轮传动时的传动比均不改变。这称为渐开线齿轮传动可分离性。

注意：中心距分离后，将出现齿侧间隙，故齿轮反向转动会出现冲击。§7-6渐开线圆柱齿轮传动的重合度

齿轮传动是依靠两轮的轮齿依次接触来实现的但是，由于轮齿的高度有限，故一对轮齿的啮合区间也是有限的。因此，为了使传动不至中断，在轮齿高替工作中，必须保证当前一对轮齿尚未脱离啮合时，后一对轮齿就应进入啮合。这样，我们首先必须了解两的啮合过程。然后，进而研究两齿轮传动的连续条件。

一、啮合过程

图8-16，为一对渐开线齿轮的啮合情况：轮1，主动轮，角速度ω1顺时针回转；轮2，从动轮，角速度ω2逆时针回转。两轮轮齿在啮合起始啮合(B2为啮合线N1N2与从动轮顶圆的交点）此时，主动轮轮齿根与从动轮齿顶接触，随着传动的进行，两齿廓的啮合点将沿着啮合线N1N2移动，而同时啮合点将分别沿着主动轮的齿廓，由齿根逐渐移走向齿顶；沿着从动轮齿廓，由齿顶向齿根，当啮合进行到主动轮的齿顶圆与啮合线的交点B1时，两轮齿即将脱离接触。

B2点---始点，B1---终点，P---节点。B2P:啮合区；PB1:脱离区；B2B1:实际啮合线，N1N2:理论啮合线；齿轮1：1～a,齿轮2：2～b，有效工作段（有阴影线部分）

二、重合度

从轮齿啮合过程,得知：为了使齿轮能连续传动，必须在前一对轮齿尚未脱离啮合时，后一对轮齿就应及时地进入啮合。而为了达到这一目的，就必须使B1B2≥Pb,即要求实际啮合线段B1B2大于或等于齿轮基圆齿距Pb。当B1B2=Pb，它表明除了正好在点B1,B2接触瞬间是两对轮齿接触外，始终只有一对轮齿处于啮合状态。

B1B2>Pb，有时为一对换轮齿啮合，有时多于一对轮齿啮合；B1B2<Pb,前一对轮齿在点B1脱离啮合，后一对轮齿尚未进入啮合，结果使传动中断，引起轮齿间冲击，影响传动平稳性。连续传动条件:B1B2≥Pb

图8-1）外啮合：2）内啮合：B1P公式不变,图8-20，外齿轮1，内齿轮2，基圆半径rb1,rb2。两渐开线齿廓k1,k2,在k点接触，过k点分别作两基圆的切线KN1,KN2,显然，KN1N2为两基圆的外公切线，也是接触点的公法线，即啮合线。

如果轮1和轮2顶圆分别与啮合线交于B1,B2则B1B2就是实际啮合线。由于基圆以内无渐开线，故B2O1距离必>rb1(O1N1)所以实际啮合线B1B2必在N1N2之外。

故重合度：B1P不变内啮合传动：正确安装标准中心距：

啮合角等于分度圆压力角。

3)齿轮齿条：（图8-19）

外啮合齿轮：当轮2齿数z→∞(即rb→∞),变成齿轮齿条传动。

啮合线N1N2与齿轮的基圆相切于点N1,由于齿条的基圆→∞，故啮合线与齿条基圆的切点N2在无穷远处，过齿轮轴心而与齿条分度线垂直的直线与啮合线交点P--节点。当齿轮齿条标准安装：（轮分度圆与条分度线相切）

齿轮：分度圆与节圆重合；齿条：分度线与节线重合。传动啮合角α′等于齿轮分度圆压力角，等于齿条齿形角α。

当齿条沿径向线O1P远离或靠近齿轮（相当中心距改变），由于齿条齿廓为直线，所以不论齿条的位置如何改变，齿条的齿廓总是与原始位置时齿廓平行的，又由于啮合线N1N2与齿廓垂直，所以不论齿轮，齿条是否标准安装，啮合线N1N2的位置也总不变。因此，其啮合角α′恒等于分度圆压力角α。

此外：∵N1N2位置不变→节点P不变→齿轮节圆大小不变，而且恒与分度圆重合。但是，若非标准安装的：齿条节线与其分度线将不再重合，而是在其间将有一段距而已。

重合度：§7-7渐开线齿轮的加工一、齿廓切削的基本原理

齿轮加工方法很多:铸造法，热轧法，冲压法，模锻法，粉末冶金法和切制法（应用最广）。

切削法：滚齿法，插齿，剃齿，刨齿，铣齿，磨齿等，但就其原理来说有两种。

1、仿形法：

所采用的刀具在其轴剖面（包括刀具轴线的剖面）内，刀刃的形状和被切齿槽的形状相同。

用仿形法加工齿廓所用刀具主要有：盘形铣刀，指状铣刀等。

图8-22，8-23，切削时：铣刀转动，毛坯沿自身轴线移动，每切完一个齿槽，毛坯退回原位，并用分度盘将毛坯转过360°，再切削第二齿槽，直至切完。（指状铣刀一样）。这种方法特点：1）不连续切削，生产率↓，成本↑；2）加工精度低。

因为渐开线形状取决于基圆，而db=mzcosα,故渐开线形状随m,z,α而变，因此，不同m,z的齿轮应由不同成型刀具加工。但这样所需刀具，为减少刀具数量，规定每一种m,z一定的刀具，有8把左右，所以每反刀具要加工几种到几十种齿数的齿轮。

表8-4，圆盘铣刀的加工齿数范围，由于同样m和α的齿轮，齿数愈少，渐开线愈弯曲，所以它的齿槽顶p愈宽，为避免卡齿（啮合时），一般每把刀具都是以所加工的一组齿轮中齿数最少者来设计，故用这把刀加工同组其他齿数齿轮会产生齿形误差。

这种方法优点：在普通铣床上（或刨床）就可加工，不需专门机床，故常用于单件或修配生产。

2、展成法

利用两个相互啮合传动齿轮的齿廓曲线互为包络线的原理加工轮齿。

如图8-24，两个相互啮合传动的标准渐开线齿轮1和2，如果它们的m,α,ha,c(径向间隙系数），z1z2为已知，则它们正确安装中心距a12=m(z1+z2)/2,若将轮2改为用软材料（胶泥，软腊）制成直径为顶圆的的毛坯，再用力将轮1与齿轮坯靠近到原有中心距a12,并使它们按原传动比转动，则齿轮坯在轮1的挤压下转过一周后，其上将出现与原齿轮2完全相同的齿廓--展成法。

展成法加工齿轮相当于被加工齿轮与作为刀具的齿轮的啮合的传动过程，被加工齿轮的齿廓就是它与刀具齿轮作相对运动时，由刀具齿轮的齿廓包络而成。

1）齿轮插刀

齿轮插刀外形像一个具有刀刃的外齿轮，插齿刀装在插齿刀上进行加工（图8-25，8-26）

当插刀参数：m、α、z,去加工m、α、z齿轮，将插刀和轮坯装在专用的插齿机床上，通过机床的传动系统，使插刀与轮坯按传动比n刀/n坯=z坯/z刀回转，实现展成运动。其中：刀具与轮坯之间相对运动，主要有：

(a)展成运动：即刀沿坯以恒传动比i=z坯/z刀回转

(b)切削运动：即刀沿坯的齿宽方向作往复切削运动

(c)进给运动：即为切出轮齿高度，切削中，刀具还需向坯中心作径向进给，直至达到规定全齿高。

(d)在切削中，为防止插刀向上退刀时与轮坯发生摩擦，损伤已切好齿面等原因，所以在插刀退刀时，轮坯还需让开一小段距离。（插刀向下切削时，再恢复到原来位置）。

这种加工方法：只要按被加工齿轮齿数，改变毛坯直径和齿轮插刀与轮坯传动比，就可用一把刀加工m,z相同齿轮。

2）齿条插刀（图8-27）

齿轮插刀z→∞，rb→∞,渐开线为直线---成为齿条插刀加工过程同齿轮插刀。但此时展成运动成为齿轮齿条传动。即：当轮坯角速度为ω，齿条移动速度v=Υω=ωmz/2(m,z,Υ，为齿轮的参数）。图8-28，齿条插刀齿廓形状，与传动齿条相似，分度线上齿厚等于齿槽宽，齿廓倾角α为压力角→刀具角。但若加工齿数多齿轮，齿条长度增加工，机床结构复杂，应用较小。

3）蜗杆滚刀，(图8-29,8-30）

能连续切削，蜗杆滚刀装在滚齿机上。刀具外形象螺杆，其上开有若干斜槽，以形成刀刃。轴向剖面齿形与齿条插刀相似。当蜗杆滚刀转动时，它的轴向剖面齿形与齿条插刀相似。当蜗刀转动时，它的轴向剖面相当于一个齿条在连续向前移动。§7-8渐开线标准齿轮无根切现象的最少齿数根切—刀具齿顶超过理论极限位置N1(图8-31，8-32)要了解根切产生的原因，则必须知道范成法切齿时，齿廓渐开线部分的形成过程。如图：刀具分度线与轮坯分度圆相切，由轮齿啮合过程知:刀具的刀刃将从B1点开始切制被切齿轮的渐开线齿廓至B2点结束,过了点B2由于刀具已离开啮合线，故不能继续切制渐开线齿廓，此即说明：被切齿轮的齿廓从点B2开始至齿顶部分，点B2为渐开线齿廓的起始点过点B2所作圆为渐开线齿廓起始圆齿廓在该圆以内的部分是由刀具圆角切出的非渐开线称过渡曲线部分。按渐开线形成原理：渐开线是从基圆开始。但按上述齿廓渐开线起始点取决于刀具国内外轮坯的相对位置，如果将刀具齿增大，使刀具齿顶线通过啮合极限点N1,则被切齿轮齿廓渐开线部分将从基圆开始。根切原因：如果将刀具齿顶再增大，使其超过点N1，那么这时的点N1就不再是啮合终止点了，所以刀具的齿顶与已经切出的齿廓在点N1不能脱离接触。因而当范成运动继续进行，产生根切。这种现象用方法证明：设刀具由3到4（移动rΨ）刀刃与啮合线交于K点，基圆转弧长：

故知齿廓曲线上的点N1′必落在刀刃左下方被切掉。加工轮齿时，若刀具齿顶线超过啮合线与轮坯基圆切点N1,则被切齿轮发生根切。无根切的最少齿数由图8-32，用齿条型刀具加工标准齿轮，不发生根切：§7-9变位齿轮概述一、标准齿轮传动的主要缺点及改善方法：

1、（1）两齿轮啮合，材料相同时，小齿轮工作条件差，接触次数多，容易破坏。

（2）小齿轮齿根厚度小，强度↓

（3）小齿轮曲率半径小，齿根厚度↓，接触应力大。

2、不适用于中心距

3、z<zmin,发生根切，但z↑,机构尺寸↑二、变位齿轮

1、概念：

a)用齿条刀具加工标准齿轮，刀具v=Υω(工件），工件分度圆是在加工过程中，与刀具作纯滚动的节圆---分度圆（因为刀具线上的齿厚与齿槽宽相等，故被加工齿轮，在分度圆上齿厚亦等于齿槽宽，称标准齿轮）。

b)若将刀具移动，刀具中线相对加工齿轮移动xm，（但此时，相对运动不变，即v=Υω）由于此时刀具节线不是中线，而是平行于中线的直线N′N′，因刀具节线N′N′上的齿厚与齿槽宽亦不相等。---则产生变位，xm---变位系数

xm>0,x>0（刀具离开中心）“+”变位，hf↓,df↑,s↑,e↓

xm<0,x<0(刀具离开中心）“-”变位，hf↑,df↓,s↓,e↑

2、变位后齿轮尺寸计算

a)d=mz(分度圆不变，因为齿条刀具任一平行中线的直线，m,相等）

b)db=dcosα

c)分度圆齿厚:

d)df,df=d-2hf+2xm

e)da,da=d+2ha维持齿顶圆直径不变（此时，齿顶高不变）；da=d+2ha+2xm,维持齿全高不变，此时应增大毛坯圆2xm，齿顶高:；上述计算方法只适用于变位较小场合，因为这种变位径向间隙减少，故常用维持啮合时径向间隙不变，c=c*.m,来计算顶圆da=2a'-d2+2m(ha*-x2)二、Xmin,最小变位系数（无根切条件下）

由于加工变位齿轮时，是在刀具与工件相对运动不变，而把刀具由加工标准齿轮的位置移动Xm而产生，如果刀具齿顶线超过N1点，则发生根切。此时刀具从虚线位置移到实线位置（图8-35），使其顶线移至N1点之下，则不发生根切。

此时，用齿条刀加工标准齿轮不发生根切最少齿数：故得条刀加工标准齿轮不发生根切最少变位系数：由上分析：三、变位齿轮传动

1、啮合方程式：

因为计算齿轮的公称尺寸时，都是按无侧隙啮合来考虑，由上述各：一对标准齿轮正确安装，可得到无侧隙啮合：e1=s1s1'=e2's2'=e1's2=e2但当一对变位齿轮传动时，能否满足无侧隙啮合条件。

虽然变位齿轮和标准齿轮在分度圆上，m,α相等。但它们的齿厚和齿槽宽不相等，故变位齿轮作无侧隙啮合传动时，分度圆不一定相切：r1≠r1′(即分度圆不等于节圆），a≠a′（中心距不一定相等）

但两轮的节圆应满足：（图8-36）s1'=e2's2'=e1'故节圆齿距：p1'=s1'+e1'=s1'+s2'任意圆半径齿厚：上式中：变位后分度圆齿厚：上式表明变位齿轮在无侧隙啮合时，变位系数之和和啮合角α′的关系。若两变位系数之和（x1+x2≠0)，则两轮作无侧隙啮合时，其啮合角α′不等于分度圆压力角α,此时两轮分度圆不是分离，就是相交。（不重合）

两轮中心距不等于标准中心距：2、传动几何尺寸计算：

保持径向间隙不变的da计算。3、传动分类（在无侧隙条件下）

按相互啮合的两齿轮的变位系数之和X=X1+X2之值分类。①零传动x=x1+x2=0②正传动x=x1+x2>0③负传动:优缺点和正传动相反，一般不用，只有在凑中心距情况下选用。正传动和负传动统称不等移距变位传动（或角度度位）§7-10斜齿圆柱齿轮和啮合特点一、齿廓表面形成和啮合特点

1、直齿齿廓形成

前面讨论直齿轮时，仅就齿轮端面而言。因此认为轮齿齿廓是发生线绕基圆作纯滚动时，其上任一点K所形成的渐开线。

因为齿轮是有一定宽度的，故前述的基圆应为基圆发生线应为发生面，点K应是一条平行于轴线的直线KK.直齿圆柱齿轮的齿廓是发生面绕基圆柱作纯滚动时，发生面上的直线KK,在空间形成的渐开线齿廓曲面，图8-39

（当一对直齿啮合，端面看接触一点，而实际两齿面沿一条平行轴线的直线接触，这种接触方式容易引起冲击，振动，噪音）

2、斜齿齿廓表面的形成

斜齿齿面形成和直齿一样，也是发生面绕基圆圆柱纯滚动，不同的是形成渐开线齿面的直线KK不再与基圆柱轴线平行，而是与其轴线偏斜了一个角βb。由于这些渐开线都是同一基圆已成，所以形状相同，只是已成起始点一样。

偏斜βb的斜线kk---轨迹就是渐开线螺旋面。

3、啮合特点：（如图）

a)瞬时接触线是斜线（不平于轴线）

b)传动啮合：从动轮前端面齿顶接触点开始→斜线（接触线）长度↑---斜线长度↓（由长变短）→后端面齿根接触点分离

c）受载荷：开始常受载小→载荷大→↓→0,受载荷变化小，逐渐啮合过程，传动平稳，总接触线长度↑→接触应力↓

二、斜齿圆柱齿轮的基本参数

由于斜齿轮的齿面为一渐开线螺旋面，故其端面齿形和垂直于螺旋方向的法面齿形是不相同的。因而端面参数和法面参数也不相同。

垂直轴线剖面：（测量，计算尺寸）：端面（t)：mt,at,d,da,df,垂直轴线剖面：（刀具尺寸，故切削时刀具沿轮齿螺旋线方向进刀），