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文档简介

一、极点与极线的定义定义1（代数定义）已知圆锥曲线,则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点的极线方程.特别地：（1）对于椭圆，与点对应的极线方程为；（2）对于双曲线，与点对应的极线方程为；（3）对于抛物线，与点对应的极线方程为.定义2（几何定义）如图1，是不在圆锥曲线上的点，过点引两条割线依次交圆锥曲线于四点连接交于点，连接交于点，则直线为点对应的极线.若为圆锥曲线上的点，则过点的切线即为极线.由图1可知，同理为点对应的极线，为点所对应的极线.称为自极三点形.若连接交圆锥曲线于点则恰为圆锥曲线的两条切线.二、极点与极线的基本性质、定理定理1（1）当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线；当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹.定理2（配极原则）（1）点关于圆锥曲线的极线经过点点关于的极线经过点;（2）直线关于的极点在直线上直线关于的极点在直线上.由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线.特别地：圆锥曲线的焦点与其相应的准线是该圆锥曲线的一对极点与极线.（1）对于椭圆而言，右焦点对应的极线为，即，恰为椭圆的右准线.对于椭圆而言，点对应的极线方程为;（2）对于双曲线而言，点对应的极线方程为；（3）对于抛物线而言，点对应的极线方程为.定理3下面再给出与圆锥曲线的极点和极线有关的性质.性质1如图，已知点是椭圆上任一点，极点，相应的极线.椭圆在点处的切线与极线交于点，过点作直线的垂线，垂足为，则直线恒过轴上的一个定点，且点的轨迹是以为直径的圆（点除外）.性质2如图，已知点是双曲线上任一点，极点，相应的极线.双曲线在点处的切线与极线交于点，过点作直线的垂线，垂足为，则直线恒过轴上的一个定点，且点的轨迹是以为直径的圆（点除外）.求双曲线的方程；（2）过上一点的直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明点在上移动时，恒为定值，并求此定值.【例8】（2013年江西卷理20）椭圆的离心率，.求椭圆的方程；如图所示，是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意一点，直线交轴于点，直线交于点，设的斜率为，的斜率为，证明：为定值.【例9】（2009年福建）如图，已知椭圆的离心率为长轴的左右端点分别为.（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于两点，直线与交于点.试问当变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.【例10】（2006年全国卷Ⅱ理21）已知抛物线的焦点为，是抛

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