极限的产生、发展与应用

第1章引言极限是整个微积分教学中的理论基础,它同时又是极限理论中的基本概念,对于极限理论的理解和掌握的熟练程度,将直接影响到后续数学课程的学习,尤其是对微积分的学习.极限理论是从初等数学到高等数学的重要转折点,极限概念描述的变量是：从有限到无限、从近似到精确、从量变到质变的哲学辩证过程,这里所描述的变量的概念与初等数学中的变量的概念有着非常大的区别,因而对学生来说掌握起会有一定的困难,但是如果能从极限发展的历史中了解极限思想和极限理论的形成过程,这对于我们弄清极限概念的描述和逻辑表述形式以及对极限理论的理解、掌握和应用会起到至关重要的作用.极限包括有：数列极限和函数极限.当把数列看成是以自然数为自变量的函数时,数列极限也就被看作是函数极限.所以现代数学对数列极限和函数极限是这样定义的:设为实数数列,为定数.如果对于给定的任意数,总存在(自然数),使得n>N时,恒成立,称数列的极限是,记作设函数在点的某一去心邻域内有定义,如果存在常数,对于任意给定的>0,总存在>0,使得当满足不等式时,恒成立,就说在x趋于时有极限A,记作.微积分的创立是世界数学史上最大的事件之一,就是十七世纪英国的牛顿和德国的莱布兹以其卓越的天才,明确地认识到求积问题和作切线问题之间的互逆关系,从而真正建立了微积分的基本定理,并且系统地总结出一套比较准确的关于无穷小的算法,这的确算的上是微积分发展史上的头等重大的事件.但作为微积分基础的极限论的起源,我们可以追溯到春秋战国时期.早在春秋战国时期也就是公元前770年到公元前前221年，我国道家学派的代表人物庄子就有了极限思想,《庄子》“天下篇”中曾记载说,把一尺长的捶,每天取下前一天所剩的一半,照这样重复的不断取下去,我们永远也不可能把整个捶取完.这个具体的例子反映了我国古人对极限的一种思考,它不但表达了我们祖先的极限思想,也为我们提供了一个“无穷小量”的实际例子.这个经典的论断,至今在微积分的教学中还经常被使用.极限理论在高等数学中占有非常重要的地位,以极限为基础理论发展起来的微积分成为了各学科的一把利剑,解决了数学、物理等各领域中初等数学无法解决的问题,同时，极限思想从上世纪开始成为经济学家的有力工具.第2章极限的产生和发展2.1极限的产生19世纪法国伟大的数学家庞加莱曾经说过,能够作出数学发现的人,是具有感受数学中的秩序、和谐、对称、整齐和神秘美等能力的人.我们所学的一切数学概念都来自于社会实践,来源于我们的现实生活,这些思想的火花被数学家们捕捉到以后,经过千锤百炼,被提炼成概念.再经过使用、推敲、充实、拓展,不断完善以及实践,最终形成经典的理论.毫无疑问地说,数学中的概念、定理等都会经历这个过程.极限也是社会实践的产物.极限思想的起源，我们可以追溯到古代,比如：刘徽的割圆术、古希腊人发现的穷竭法、阿基米德的圆周率计算等等,这些都蕴含着古代朴素的、直观的极限思想.古代朴素的极限思想主要是指：先通过整体细分,然后按照某种规律或发展趋势逼近终极状态,最后通过近似获得整体值的一种思想.2.1.1中国早期极限思想在中国古代数学史上,朴素的极限思想占有非常重要的地位.许多的哲学思想中都渗透着“极限思想”的光辉.早在春秋战国时期(公元前770一前221)，我国道家学派的代表人物庄子，在他的《庄子》“天下篇”中是这样记载的,一尺长的木棍,第一天取掉它的一半,还剩下它的二分之一尺,第二天再在这剩余的二分之一尺中在取掉一半,还剩下它的四分之一尺…….按照这样的方法一直取下去,木棍的长度会越来越小,但是无论剩余的木棍多小,永远也分不完.以至于到最后木棍长度几乎接近于零,但又永远不会等于零.这就出现了我国早期极限思想.当然在道家学派思想出现以前也曾出现了一些与道家学派不同的关于极限思想的观点.如：墨家观点就与庄子的观点不同,墨家提出一个“非半”的命题.这个命题是这样得出来：将一线段按一半一半地无限分割下去,必将会出现一个不能再分割的“非半”.这个“非半”就是点.墨家由此提出了有无限分割最后会达到一个“不可分”的思想.这也是早期中国极限思想的火花.而墨家思想与名家关于极限思想的观点也有不同,名家则提出了“无限分割”的思想.名家的命题论述了有限长度“无限可分”思想,墨家的命题指出了无限分割的变化和结果.名家和墨家的讨论,对数学理论的发展具有巨大推动作用.以我们现在的想法看来,先秦诸子中的名、墨两家,对宇宙的无限性以及连续性认识已经非常深刻了,但是在那时候这些认识还是片断的、零散的,然而这些极限思想的萌芽,为极限概念的产生提供了丰厚的沃土.公元3世纪,我国魏晋著名数学家刘徽创立了有名的“割圆术”,当他在注释《九章算术》时,他将极限思想创造性的应用到了数学领域.下面就割圆术的具体方法做以下介绍：一个圆周不断地进行分割,圆周分割得越细,圆内接多边形的边数越多,它的内接正多边形的周长就越是接近该圆周.按照这种思路不断地分割下去,一直到该圆周无法再进行分割为止,当分割到了圆内接正多边形的边数无限多的时候.该圆的周长就与该圆周几乎重合了.通过这种分割方法,刘徽得到了圆内接正3027边形的面积.通过这个过程,他求出了我国最早的圆周率,该圆周率为3.1416,这个数值也是当时世界上最早的也是最准确的圆周率数据.后来刘徽把这种思想方法推广到了更多的有关圆的计算.刘徽的“割圆术”在人类历史上首次将极限和无穷小分割引入数学证明,成为人类文明史中不朽的篇章.后来我国数学家祖冲之再次用这个方法把圆周率的值计算到小数点后七位.这种对于某个值无限接近的思想,就为后来建立极限概念打好了基础.在中国数学的发展史上，庄子、墨子、惠施、刘徽等天才数学家的数学研究和成就远远比不上与他们同时期的西方数学家(如：阿基米得、欧几里德等数学家).原因在于我国古代经济的困顿使得只有很少人来学习文化知识,自然学数学的人也就更少了,数学理论研究并没有受到相应的重视.农业社会的经济特点限制了古代人们对自然的探险与对理论的求索,从而也阻止了数学向理性发展的可能.中国几千年的文化,成就了许多的思想家、军事家和文人,其中也不缺少能工巧匠,唯独缺乏用符号与算式演绎事物内在规律和关系的数学家.由于中国古代的数学家们看重实用,因而古代数学只用于计算、测量等方面,并没有上升到理论的高度,因而也没有形成系统的理论体系.中国古代很多思想止于数学大门之外,令人非常惋惜.2.1.2外国早期极限思想尽管刘徽是第一个创造性地将极限思想应用到数学领域的科学家.但是他的割圆术是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用.古希腊数学之神阿基米德所运用的穷竭法也蕴含了极限思想.直到16世纪时,荷兰数学家斯泰文在考查三角形重心的过程中,斯泰文改进了古希腊人的穷竭法.他借助几何直观运用极限思想的方法来思考问题,放弃了古希腊人归谬法的证明.也就是就这样,荷兰数学家斯泰文在无意中将极限发展成为一个实用概念.2.2极限的发展极限的理论形成于西方,它的概念发展经历了由缓慢到快速发展的过程.古希腊时期就有了极限思想,古希腊人的穷竭法包含了极限思想.然而在十六世纪以前,关于极限的描述都是零散的、不完整的.直到十六世纪,荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中,他借助于几何直观的方法用极限思想来思考问题,放弃了古希腊数学家用归谬法对极限的证明的方法,虽然斯泰文将极限概念向前推进了一步,但是极限思想仍只停留在思想的层面,并没有形成系统的极限理论体系.数学的发展与当时的社会背景密切相关,此时的欧洲处于资本主义萌芽时期,生产力发展和技术中存在着大量的问题,只用初等数学的方法已没有办法解决这些问题,所以迫切地需要数学家们突破只研究常量的传统范围,希望他们能够提供用以描述和研究运动、变化过程的新方法.正是因为这样的社会背景,加快了极限的发展、完善与微积分的建立.同时,微积分也形成系统的理论体系.进入十七世纪后,由于极限的没有准确的概念,所以牛顿在建立微积分的过程中,也就无法确定无穷小的身份.在利用无穷小进行运算时,无穷小量到底是零还是非零呢？这个问题困扰着牛顿和他同时期的数学家们.数学家们用旧的概念说不清“零”与“非零”的问题,故而极限的本质也没有被触及到.然而真正意义上的极限概念是由英国数学家约翰瓦里斯提出,他认为当变量无限逼近的一个常数时,它们的差是一定是一个给定的任意小的量.在这个过程中,他把两个无限变化的过程表述了出来,揭示了极限思想的核心内容.在十九世纪,法国伟大的数学家柯西在《分析教程》中比较完整的揭示了极限概念和极限理论.他认为当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值时,最终使该变量的值和该定值之差越来越小,这个差值小到一定的程度时,这个定值就是所有其它值的极限.同时,柯西还指出零是无穷小的极限.他的这个思想已经摆脱了常量数学的束缚,走向了变量数学.柯西在此时已经用数学语言能准确的表达极限的思想,但是这种极限思想的表达还是定性的、描述性的.直到后来,经过德国数学家维尔斯特拉斯给出极限的定量的定义,极限的概念才得以完善,这也为微积分提供了严格的理论基础：“如果对任何,总存在自然数,使得当时,不等式恒成立”.德国数学家维尔斯特拉斯给出的极限概念,深入的刻画了两个“无限过程”之间的联系,排除了以前极限概念中的直观痕迹,将极限思想转化为了数学的语言.他用数学的方法描述完成了从思想到数学的一个转变,使极限思想在数学理论体系中开始占有了属于它的合法地位,在我们高等数学的数学分析书籍中,这种描述一直沿用至今.第3章极限的应用3.1极限的早期应用在古希腊,“穷竭法”是研究一类数学问题的一种特殊方法.在公元三世纪,古希腊诡辩学家安提丰(Antiphon,约公元前430年)在求圆面积时,提出了用成倍扩大圆内接正多边形边数的方法,并把内接正多边形的面积来表示圆面积,该方法即“穷竭法”.他认为这样圆与内接正多边形的差将被“穷竭”.然而这是一种粗糙的极限论思想,虽然这种方法获得的结果是正确的,但在逻辑上却是有问题的,我们谁也保证不了无限扩大后的正多边形的边会不会与圆周重合?这个疑问就是古希腊数学家们的“关于无限的困惑”.这种边数加倍的过程可以无限制地进行,不会有所终结,所以说“差”被“穷竭”的说法是不合适的.但用我们用现在极限理论的观点来看这个过程,这个被构成了的“无穷小量”,它在不断趋向于零.尽管如此,“穷竭法”仍然被认为是人类最早运用极限论的观点去思考数学问题的方法.数学家家阿基米德后来用“穷竭法”求抛物线的弓形面积时,发现这种方法似乎还不够严密,因此在获得结果后又用归谬法加以证明,他在逻辑上证明了结果的正确性.他的发现如下：第个多边形的面积与抛物线弓形面积有一个差值,随着n的增大,这个差值会越来越小,直到这个差值不可能是一个的大于零的常数为止,但这个差值也不可能是小于零的常数,根据归谬法我们可以知道,这个差值为,并且这个差值只可能等于零.在此时,古希腊数学家阿基米德提出了一个相当于现在无穷小量的概念,为近代的极限理论打下了良好的基础.我国古代数学早期的极限思想应用历史悠久.公元三世纪,魏晋数学家刘徽的“割圆术”就运用了极限论的初步思想,解决了求圆周率的实际问题.它的“割圆术”与古希腊人的“穷竭法”思路一致,他是中国数学史上第一个将极限思想运用于数学计算的人,这与现在极限论的观点是十分相近的.3.2极限思想在高等数学教学中的应用高等数学主要的研究内容为函数的微分与积分,它的研究方法为极限,这也是高等数学相比于初等数学的显著标志.极限思想贯穿于高等数学的始终,是高等数学的一种重要思想方法,我们可以说没有极限就没有微积分,极限和极限思想在微积分中占据着核心的地位.3.2.1极限思想在微积分概念中的体现.体现一：连续函数概念的建立函数连续与否的概念源于对函数图像的直观分析.例如,函数的图像是一条抛物线,图像上个点相互“连接”而不出现“间断”,构成了曲线“连续”的外观.而符号函数的图像也直观的地告诉我们,它的“连续”在处遭到破坏,也就是说在这一点出现了间断.用分析的观点来看,函数在某点处是否具有“连续”特性,就是指当在附近做小变化时,是否也在附近做微小变化.借助于已经学过的函数极限工具,就是看当自变量趋于时,因变量y是否趋于定义：设函数在点的某个领域中有定义,并且成立则称函数在点连续,而称是函数的连续点.体现二：导数概念的建立导数是微积分中的重要基础概念,导数是函数的局部性质。一个函数在某一点的导数就是这个函数在这一点附近的变化率。如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。在求函数在点的变化率时,我们要进行以下三个步骤:(1)先从出发,然后以为中心“张开”一个小区间.(2)再利用知道的代数知识,求出在该“张开”小区间上的平均变化率.(3)最后让此小区间向点进行“收缩”,经过一个“无限”变小的过程后,让函数在点邻近的平均变化率来获得在点的变化率,即就是函数在的导数.这就是所要求的函数在点的变化率.体现三：定积分概念的建立定积分就是求函数在中图线下包围的面积.即由所围成图形的面积.在求函数在上的定积分时,我们可以进行以下四个步骤:(1)先从题目给出的整体出发,将这个整体“化整为零”.(2)然后在被分割开了的每一个局部范围内进行“以直代曲”,接着用初等代数和几何方法求出各个局部范围内的近似值.(3)在接着用“积零为整”的方法求出整体的近似值.(4)最后用“无限求和”的方法来达到最终求整体的精确值.的目的.体现四：级数的敛散性概念的建立级数及敛散的定义：设,,那么如果极限存在,我们称级数收敛,如果极限不存在,我们称级数发散.通过上述四个概念的叙述可见,在微积分概念的建立过程中,都采取了由“先由精确到近似,再由近似到精确”的过程.通过极限思想方法,使得未知的数转化为已知的数,实现了由“直与曲”、“有限与无限”、“近似与精确”的矛盾转化.也体现了极限思想在微积分中的具体体现和应用.3.2.2极限思想在微积分解题中的应用相比于初等数学，高等数学能以更快更简便的方法去解决一些初等数学不能解决的问题（如：曲线弧长、瞬时速度、曲边形面积、曲面体体积等问题的求解.）,在解决高等数学问题过程中，极限思想发挥了重要的作用.应用一：瞬时速度问题的求解例题：设一个运动物体在时刻位移可以用函数来描述,那么求这个物体在时刻的瞬时速度？解：因为该物体在时间段中位移的改变量为，所以当很小的时候,它在时刻的瞬时速度可以近似地用它在中的平均速度来代替.即但是,对于任意给定的,该物体的瞬时速度是时的极限值,即于是也即运动物体的速度是它的位移函数的导数.注：函数在的导数,是在时函数值的改变量与自变量x的改变量之比.即f(x)的极限是.应用二：曲线弧长问题的求解例题：已知平面曲线为,.求该区间上平面曲线的弧长？解：由题目已知,对区间做如下划分：则得到这条曲线上顺次排列的个点.用表示连接点和的直线段的长度,则相应的折线的长度为若当时,极限存在,且极限值与区间的划分无关,则该曲线是可求长的,该曲线的弧长为：应用三:曲边形面积问题的求解例题:求连续曲线(假设),直线和轴围成的梯形的面积.解：在中取一系列的分点,作成一种划分记小区间的长度为并在每个小区间上任意取一点,用底为,高为的矩形面积近似代替小的曲边梯形的面积,那么这些小矩形面积之和就是整个大的曲边梯形的面积的近似.令,当时,该曲边梯形的面积是：注：函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,是当区间[a,b]的任意分割长度趋于0时,积分和的极限.即函数f(x)在区间[a,b]上的定积分应用四：曲面体体积问题的求解例题：已知在三维空间中存在一个几何体,这个几何体夹在平面和之间,若对于任意,过点且与轴垂直的平面与该几何体想截,截面的面积是已知的,且有是上的连续函数,求该几何体的体积？解：根据已知,对区间作划分记小区间的长度为在每个小区间上取一点,用底面积为,高为的柱体体积近似代替夹在平面和之间的那块小几何体的体积,那么这些柱体体积之和就是整个几何体体积的近似.由于在上连续,当时，即知就是所要求的几何体的体积.极限的学习是由浅入深,由简单到复杂过程.极限思想贯穿整个高等数学的始终,把高等数学的全部内容统一了起来.微积分学是科学家们和数学家们思想的荟萃.总之,微积分学的极限思想,在初等数学向高等数学转化过程中,它显示了数学真正的进步.极限思想的严格性和严密性,既构成了数学分析的基础,也成为了表达思想和发展科学最有效的工具,同时也为其它学科(尤其是物理学)提供了深刻的思想养分和文化力量,在现代文明和文化的创造中发挥了巨大的作用..结论极限思想方法是解决高等数学问题必不可少的一种重要方法,从极限的产生、发展与应用看,高等数学之所以能解决许多初等数学无法解决的问题.如：级数的敛散、曲线弧长、瞬时速度、曲边形面积、曲面体体积等微积分问题的求解）都由于它采用了极限的思想方法.才得以更快得以解决。从某种程度上来说,微积分学中的每一个概念无不以极限概念为基础,因而,有人认为数学史上微积分的产生，它可以说是人类思维的伟大结晶之一.极限概念是一个抽象的概念,是比较难理解的概念.尤其在微积分中的应用.从微积分学的发展演变过程可以看出,历代数学家在形成某些数学内容的过程中,应用了一些极限的方法（如：无穷小方法、穷竭法等）.极限方法在数学理论体系的形成过程中起了很大作用,为微积分的后续学习打下坚实的基础.参考文献[1]李玉玲.极限概念的建立及其重要作