第02讲集合间的基本关系（4大考点7种解题方法）-2022-2023学年高一数学考试满分全攻略（沪教版2020必修一）（解析版）

第02讲集合间的基本关系（4大考点7种解题方法）考点考点考向1、子集：定义：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，此时我们称A是B的子集。即：记作：；读作：A包含于B或B包含A；注意:有两种可能：（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合2、真子集：3.集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B。4.空集定义：不含任何元素的集合叫做空集性质：空集的特殊属性，即空集虽空，但空有所用。对任意集合A，有，；；；。注意事项：①与是不同的，只是一个数字，而则表示集合，这个集合中含有一个元素，它们的关系是②与是不同的，中没有任何元素，则表示含有一个元素的集合，它们的关系是两个集合之间的关系（）③与是不同的，中没有任何元素，则表示含有一个元素的集合，它们的关系是或或④显然，，5.子集个数问题：设集合A中元素个数为，则①子集的个数为，②真子集的个数为，③非空真子集的个数为考点考点精讲考点一：子集、真子集题型一：判定集合的子集（真子集）的个数一、填空题1．（2021·上海·高一专题练习）已知集合，则集合A的真子集的个数为_________【答案】15【分析】先求得集合的元素，由此求得集合的真子集个数.【详解】因为，所以x-1是2的因数，即x-1可能是-1，-2，1，2，则={-1，0，2，3}，所以真子集的个数为24-1=15.故答案为：2．（2020·上海财经大学附属中学高一期中）已知集合，则集合A的子集个数为_____________.【答案】4【分析】根据公式可求给定集合子集的个数.【详解】因为A中元素个数为2，故其子集的个数为，故答案为：4.3．（2021·上海市行知中学高一阶段练习）已知集合，则的真子集的个数为_________.【答案】7【分析】若集合有n个元素，则集合的真子集的个数为.【详解】解：因为集合中有3个元素，所以集合的真子集的个数为.故答案为：7.4．（2021·上海浦东新·高一期中）集合的子集个数为________.【答案】8【分析】根据集合元素的个数n，直接写出其子集个数【详解】由题设，的元素个数为3，∴子集个数为个.故答案为：85．（2021·上海·格致中学高一期中）集合的子集中，含有元素0的子集共有________个.【答案】4【分析】写出集合的所有子集，再判断含有元素0的子集个数即可.【详解】集合的子集：，，，，，，，，其中含有元素0的子集个数是4个故答案为：4.6．（2021·上海·复旦附中青浦分校高一阶段练习）已知集合，、、为非零实数，则的子集个数______【答案】8【分析】按、、的正负分情况计算m值，求出集合M的元素个数即可得解.【详解】因为集合，、、为非零实数，当、、都是正数时，m=4，当、、都是负数时，m=-4，当、、中有一个是正数，另两个是负数时，m=0，当、、中有两个是正数，另一个是负数时，m=0，于是得集合M中的元素有3个，所以M的子集个数是8.故答案为：87．（2020·上海市第三女子中学高一期中）已知非空集合M同时满足下列条件：①；②若，则，则符合条件的集合M共有_______个.【答案】15【分析】先求出满足，且的数对，然后将符合条件的集合M的个数转化为对应集合的非空子集的个数即可.【详解】解：满足，且的数对有，则集合M的个数为集合的非空子集的个数，则符合条件的集合M共有个.故答案为：15.8．（2021·上海中学高一期中）已知集合是自然数}，则的真子集共有_______个．【答案】【分析】用列举法表示集合，再根据含有个元素的集合，其真子集有个计算可得；【详解】解：因为是自然数所以所以集合中含有3个元素，其真子集有个；故答案为：9．（2021·上海·华师大二附中高一期中）设集合只有一个子集，则满足要求的实数组成的集合是_________.【答案】【分析】由题意可得，讨论和即可求解.【详解】因为集合只有一个子集，所以，可得无实根，当时，不符合题意，所以，所以满足要求的实数组成的集合是，故答案为：.10．（2020·上海·同济大学第二附属中学高一期中）已知集合A＝{x|ax2﹣2x+1＝0}有两个子集，则实数a的取值集合为___．【答案】【分析】根据题意集合A有一个元素，考虑和两种情况，计算得到答案.【详解】集合A＝{x|ax2﹣2x+1＝0}有两个子集，则集合有1个元素，当时，，满足条件；当时，有一个元素，则，，此时，满足条件.综上所述：或.故答案为：.题型二：求集合的子集（真子集）一、填空题1．（2016·上海市川沙中学高一期中）写出集合的所有子集_________.【答案】【分析】集合的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集，列举出来即可.【详解】集合的所有子集为：共4个.故答案为：.【点睛】本题考查了集合的子集，属于基础题.2．（2020·上海·高一专题练习）满足的集合的个数为____________个.【答案】4【解析】根据子集的定义即可得到集合的个数；【详解】，或或或，故答案为：4.【点睛】本题考查子集的定义，属于基础题.3．（2020·上海·高一单元测试）满足的集合有__________个.【答案】15【解析】由题意可知集合是集合的非空子集，从而可求得集合的个数【详解】解：因为，所以集合是集合的非空子集，所以集合的个数为，故答案为：154．（2021·上海市嘉定区第二中学高一期中）满足{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}的集合M有________个．【答案】7【分析】由{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}，可以确定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一个，根据集合中元素的个数分类讨论，即可求解.【详解】由题意可得{1，2}M⊆{1，2，3，4，5}，可以确定集合M必含有元素1，2，且含有元素3，4，5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}；含有四个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}；含有五个元素：{1，2，3，4，5}．故满足题意的集合M共有7个．故答案为：7.5．（2021·上海市桃浦中学高一阶段练习）写出所有满足条件的集合___________.【答案】【分析】由题可得集合应为集合和集合的非空子集的并集，即可求出.【详解】，根据题意可得集合应为集合和集合的非空子集的并集，因为的非空子集有，所以满足条件的有.故答案为：.6．（2020·上海市杨思高级中学高一期中）设A={1，2，3，4}，B={1，2}，则满足的集合C有_________个．【答案】4【分析】根据满足条件的集合C中必包含1和2两个元素，然后一一列举出来求解.【详解】因为A={1，2，3，4}，B={1，2}，且，所以满足条件的集合C中必包含1和2两个元素，所以共4个，故答案为：47．（2020·上海市控江中学高一期中）设集合，若集合的所有非空子集的元素之和是40，则_________.【答案】5【分析】利用集合的非空子集个数求出含每个元素的集合个数，再进行求和即可.【详解】若一个集合中有n个元素，则它有个子集，非空子集有个.因为集合，所以含有元素的集合有个，含有元素的集合有个，含有元素的集合有个，含有元素的集合有个，若集合的所有非空子集的元素之和是40，则集合的所有元素和为，则.故答案为：5.8．（2021·上海·高一单元测试）集合的真子集有__________个.【答案】15【分析】按照真子集的元素个数分类列举，即可得到所有真子集的个数.【详解】集合{1,2,3,4}的真子集为:Φ,共有15个.故答案为：15.【点睛】本题考查集合的真子集的个数问题，属基础题，直接列举即可，列举时注意按照真子集的元素个数分类列举，要不重不漏.二、解答题9．（2020·上海·高一单元测试）已知集合，写出集合的所有子集【答案】【分析】根据集合的子集的定义得出集合的子集,注意不要溜掉空集.【详解】因为,所以的子集为:【点睛】本题考查集合的子集,属于基础题.10．（2020·上海·高一专题练习）已知求．【答案】或【分析】，则，可得集合．【详解】，则，则或．考点二：包含关系题型三：判段两个集合的包含关系一、单选题1．（2021·上海市桃浦中学高一阶段练习）以下关系式错误的有几个（

）①；②；③；④；⑤A．个 B．个 C．个 D．个【答案】C【分析】根据元素与集合、集合与集合之间关系直接判断即可得到结果.【详解】对于①，空集不包含任何元素，①错误；对于②，是任一集合的子集，②正确；对于③，表示自然数集，是自然数，③正确；对于④，两集合元素相同，④错误；对于⑤，两集合中元素分别为和，没有包含关系，⑤错误；综上所述：错误的共有个.故选：C.2．（2021·上海市向明中学高一阶段练习）已知集合，，那么集合与的关系是（

）A． B．互不包含 C． D．【答案】A【分析】首先求得集合，由集合间的关系可得结果.【详解】集合，，又集合，.故选：A.3．（2021·上海·高一专题练习）设集合M＝{x|x＝4n＋1，n∈Z}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，则（）A．MN B．NM C．M∈N D．N∈M【答案】A【分析】根据集合元素的特征确定正确选项.【详解】对于集合N，当n＝2k时，x＝4k＋1（k∈Z）；当n＝2k－1时，x＝4k－1（k∈Z）.所以N＝{x|x＝4k＋1或x＝4k－1，k∈Z}，所以MN.故选：A4．（2021·上海·高一专题练习）已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（）A．B．C． D．【答案】B【分析】先求得集合，判断出的关系，由此确定正确选项.【详解】N={x|x2-x=0}={0，1}，M={-1，0，1}，所以N⊆M，所以选B.故选：B5．（2021·上海·高一专题练习）已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0，1，2}，则集合M与N的关系是（

）A．M＝N B．NM C．MN D．N⊆M【答案】C【分析】先求出集合M，然后通过比较两集合中的元素的关系，可得答案【详解】解方程x2－3x＋2＝0得x＝2或x＝1，则M＝{1，2}，因为1∈M且1∈N，2∈M且2∈N，所以M⊆N.又因为0∈N但0∉M，所以MN.故选：C6．（2021·上海市新场中学高一阶段练习）若，集合，则下列表示中正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系判断即可得正确选项.【详解】因为，所以，故选项A正确，选项B不正确；集合之间的关系符号有误，应为，故选项C不正确；元素与集合之间的关系符号有误，应为，故选项D不正确；故选：A.二、填空题7．（2019·上海师范大学附属嘉定高级中学高一阶段练习）下列六个关系式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6），其中是真命题的序号有______________________.【答案】（1）、（6）【分析】根据集合与集合、元素与集合的关系，以及空集的性质判断各项的正误.【详解】（1）任意集合是自身的子集，故，正确；（2），故错误；（3）由于集合只有包含、被包含关系，故错误；（4）空集是集合，集合间只有包含、被包含关系，故错误；（5）空集没有任何元素，故错误；（6）空集是任意非空集合的子集，故正确.故答案为：（1）、（6）8．（2022·上海徐汇·高一期末）已知集合，，则满足条件的集合的个数为_________个【答案】7【分析】化简集合A，B，根据条件确定集合C的个数即可.【详解】因为，,因为，所以1，2都是集合C的元素，集合C中的元素还可以有3，4，5，且至少有一个，所以集合C为：，，，，，，，共7个.故答案为：7三、解答题9．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高一阶段练习）已知集合，集合.判断集合A与集合B的包含关系，并证明你的结论.【答案】，证明见解析.【分析】先判断得到，①对于集合，当时，得到，但；②化简集合，令，得到，即可得证.【详解】判断，证明：①对于集合，当时，，即，假设,则有，可得，这与矛盾，所以，但；②对于集合：集合，由于，则，令，可得，综上所述：题型四：根据集合的包含关系求参数一、单选题1．（2021·上海市新场中学高一阶段练习）已知集合，，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据集合的包含关系列不等式，解不等式即可求解.【详解】因为集合，，，所以，解得：，故选：B.二、填空题2．（2020·上海市晋元高级中学高一期中）已知集合，若集合满足，则实数的取值范围____________.【答案】[2,＋)【分析】根据结合数轴即可求解.【详解】∵≠∅，，∴A与B的关系如图：∴a≥2.故答案为：[2，＋).3．（2021·上海市七宝中学高一期中）已知集合，，若，则实数的所以可能取值组成的集合是_________.【答案】【分析】根据集合的包含关系分类求解．【详解】时，，时，，由得，或，即或，综上，的取值集合是．故答案为：．4．（2021·上海·上外附中高一期中）若，则__________．【答案】0或##或0【分析】由题，先求出所代表集合，再分别讨论作为子集的可能情况即可.【详解】由得集合为，故为空集或，当为时，可得；当为空集时，可得，故答案为：0或5．（2020·上海市晋元高级中学高一期中）已知集合，，且，则实数的取值集合为___________.【答案】【分析】讨论和两种情况，根据包含关系得出实数的取值集合.【详解】当时，，满足；当时，，因为，所以或，解得或即实数的取值集合为.故答案为：6．（2021·上海市桃浦中学高一期中）若集合A＝{﹣1，1}，B＝{x|mx＝1}，且B⊆A，则实数m的值为___．【答案】0或1或-1【分析】考虑集合B为空集和不为空集两种情况，进而根据集合间的关系解得答案.【详解】若，则，满足题意；若，则，因为，所以或，则.综上：或.故答案为：0或1或-1.7．（2021·上海市桃浦中学高一期中）已知集合A＝{1}，B＝{a，a2+1}，若AB，则实数a的值为___．【答案】1或##0或1【分析】由可知，讨论即可求出．【详解】，，若，则，满足题意；若，则，满足题意；综上，或故答案为：1或考点三：相等关系题型五：判断两个集合是否相等一、单选题1．（2020·上海·高一专题练习）已知，则集合M与P的关系是（

）A．M=P B． C．P D．P【答案】A【分析】分别化简集合M与P，可得两个集合的关系．【详解】，，则故选：A2．（2019·上海师范大学附属嘉定高级中学高一阶段练习）已知集合，，，则，，的关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将三个集合中的元素的公共属性分别变形为，，，，，，比较可得答案.【详解】因为，，，，，，所以.故选：B.【点睛】本题考查了判断集合间的关系，将三个集合中的元素的公共属性分别变形是解题关键，属于基础题.3．（2020·上海·高一课时练习）如果集合，，，那么下列结论中正确的是（

）A． B．? C． D．【答案】C【分析】用列举法分别列出集合即可判断.【详解】因为集合，，，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查了集合之间的关系.属于较易题.二、填空题4．（2021·上海·高一专题练习）下列各组中的两个集合相等的有____________（1）P={x|x=2n，n∈Z}，Q={x|x=2(n+1)，n∈Z}（2）P={x|x=2n-1，n∈N+}，Q={x|x=2n+1，n∈N+}；（3）P={x|x2-x=0}，Q={x|x=，n∈Z}.（4）P={x|y=x+1}，Q={(x，y)|y=x+1}【答案】（1）（3）【分析】根据集合的元素逐一分析，由此判断出正确结论.【详解】（1）中集合P，Q都表示所有偶数组成的集合，有P=Q；（2）中P是由1，3，5，…所有正奇数组成的集合，Q是由3，5，7，…所有大于1的正奇数组成的集合，1∉Q，所以P≠Q.（3）中P={0，1}，当n为奇数时，x==0，当n为偶数时，x==1，所以Q={0，1}，P=Q.（4）中集合的研究对象不相同，所以P≠Q.故答案为：（1）（3）.5．（2020·上海·高一单元测试）如果集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0},P={(x,y)|x<0,y<0},那么M与P的关系为_____.【答案】M=P试题分析：利用不等式的性质可得：x+y＜0，xy＞0，⇔x＜0，y＜0．进而判断出集合M与P的关系．解：由x+y＜0，xy＞0，⇔x＜0，y＜0．∴M=P．故答案为M=P．点评：熟练掌握不等式的性质和集合间的关系是解题的关键．题型六：根据两个集合相等求参数一、填空题1．（2021·上海市延安中学高一期中）已知集合，集合，且，则实数___________.【答案】【分析】解方程组即得解.【详解】因为，所以，解之得.故答案为：2．（2021·上海大学附属南翔高级中学高一阶段练习）已知，若，则=____________；【答案】2【分析】由题意可得，，从而可求出的值，进而可得答案【详解】因为，所以，则，所以，所以，故答案为：23．（2020·上海市控江中学高一期中）设，若集合，，且，则_________.【答案】【分析】本题可根据集合相等的相关性质得出结果.【详解】因为，，所以，，满足题意，故答案为：.4．（2020·上海市行知中学高一阶段练习）设集合，．若，则实数a的值为______．【答案】0【分析】根据，得到，然后结合集合中元素的互异性可得结果.【详解】由题可知：，且所以，得或1当时，，不符合集合中元素的互异性所以故答案为：05．（2020·上海·高一单元测试）设，集合，则___________．【答案】2【分析】根据题意，集合，注意到后面集合中有元素0，由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得，进而分析可得、的值，计算可得答案．【详解】根据题意，集合，又，，即，故，，则，故答案为：6．（2020·上海·高一单元测试）已知集合，，且，则的值为________.【答案】【分析】本题根据题意先得到限制条件，再根据限制条件求的值即可.【详解】解：因为，，，所以，解得，故答案为：0【点睛】本题考查根据集合相等求参数的值，是基础题.7．（2020·上海·曹杨二中高一阶段练习）已知集合，，则的充要条件是___________.【答案】，【分析】由集合相等的定义列出方程即可求解.【详解】，或，解得或，当时，，不符合，舍去；当时，，符合题意，的充要条件是.故答案为：.【点睛】本题考查集合相等求参数，属于基础题.二、解答题8．（2020·上海·高一课时练习）设【答案】试题分析：解：由得的两个根，即的两个根，∴，，∴考点：集合的求解点评：根据集合之间的关系来求解，转换为一元二次方程的根的问题来处理，属于基础题．9．（2020·上海·高一专题练习）设，集合，，且，求实数x，y的值【答案】或【分析】根据两个集合相等，则其元素全部相同，可得，从而得出答案.【详解】由得:解得

或

考点四：空集题型七：空集一、单选题1．（2021·上海·高一专题练习）下列命题中正确的是（

）A．空集没有子集B．空集是任何一个集合的真子集C．任何一个集合必有两个或两个以上的子集D．设集合，那么，若，则【答案】D【解析】根据集合的相关概念，逐项判断，即可得出结果【详解】A选项，空集是其本身的子集，A错；B选项，空集是任一非空集合的真子集，B错；C选项，空集只有一个子集，即是空集本身；C错；D选项，若，则中元素都在中，中没有的元素，则中也没有；故D正确.故选：D.2．（2021·上海市复兴高级中学高一期中）设集合A、B、C、D是全集X的子集，，，则下列选项中正确的是（

）A．如果或，则B．如果，则，C．如果，则，D．上述各项都不正确【答案】D【分析】利用韦恩图举出ABC三个选项的反例即可【详解】A选项：如图1，满足，但，故A错误B选项：如图2，满足，但，故B错误C选项：如图3，满足，但，故C错误故选：D3．（2021·上海·高一专题练习）下列四个集合中，是空集的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】对每个集合进行逐一检验，研究集合内的元素是否存在即可选出.【详解】选项A，；选项B，；选项C，；选项D，，方程无解，.选:D.4．（2021·上海·高一专题练习）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中正确的个数是（

）A．1 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】利用集合相等的概念可判定①，③，④；利用集合之间的包含关系可判定②，⑤，利用元素与集合的关系可判定⑥.【详解】①正确，集合中元素具有无序性；②正确，任何集合是自身的子集；③错误，表示空集，而表示的是含这个元素的集合，所以不成立.④错误，表示空集，而表示含有一个元素0的集合，并非空集，所以不成立；⑤正确，空集是任何非空集合的真子集；⑥正确，由元素与集合的关系知，．故选：C.二、填空题5．（2020·上海市第三女子中学高一期中）用适当的符号填空：0_____.【答案】【分析】结合空集、元素与集合的关系确定正确答案.【详解】空集没有任何元素，所以.故答案为：6．（2021·上海虹口·高一期末）若集合，，且，则满足条件的实数的取值集合为______.【答案】【分析】求出集合，由可分、、三种情况讨论，可求得实数的值.【详解】依题意得，.∵,所以集合、、．当时，即方程无实根，所以，符合题意；当时，则1是方程的根，所以，符合题意；当时，则是方程的根，所以，符合题意；故答案为：．【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数值，解题时不要忽略对空集的讨论.巩固巩固提升一、单选题1．（2021·上海市大同中学高一期中）对集合，2，3，，的每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”，概念如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的开始，交替减或加后继的数所得的结果．如：集合的“交替和”为，集合的“交替和”为，集合的“交替和”为10，则集合所有非空子集的“交替和”的总和为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】因为集合A的非空子集有个，逐个计算“交替和”再求总和是不可能的，必须通过分析“交替和”的特点，寻找“交替和”的规律.为了找到“交替和”的规律，令，则的非空子集共有15个，写出它们的全部“交替和”如下：

；

；

；

；

；

3；

；

；

4.

；

；

；

；

1；

2；从以上写出的“交替和”我们发现，除了集合以外，可以把集合A的子集分成两类：一类子集中包含4，另一类不包含4，并且可以在这两类集合之间建立起一个一一映射：设是集合A的一个不包含4的子集，则令与集合相对应，显然与的“交替和”之和为4.因为这样的共有个，所以集合A的所有非空子集的“交替和”的总和为【详解】解：集合，2，3，，的非空子集中，除去集合，还有个非空子集，将这个子集分成两类：第一类是包含元素的子集；第二类是不包含元素的子集；在第二类子集与第一类子集之间建立如下对应关系，其中是第二类子集，显然这种对应是一一映射，设的“交替和”为，则的“交替和”为，这一对集合的“交替和”的和等于，所以集合A的所有非空子集的“交替和”的总和为.故选:A.2．（2021·上海市奉贤中学高一阶段练习）设所示有理数集，集合，在下列集合中：①；②；③；④；与相同的集合有（

）A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③【答案】D【分析】根据集合相等的含义，逐一分析①②③④，即可得答案【详解】对于①：集合，则，解得，即，是一一对于，所以与集合相同.对于②：集合，则，也是一一对应，所以与集合相同.对于③：集合，，一一对应，，所以与集合相同.对于④：，但方程无解，则，与不相同．故选：D二、填空题3．（2020·上海市晋元高级中学高一期中）若对任意的，有，则称是“伙伴关系集合”，则集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________.【答案】【分析】在集合的子集中列举出满足“伙伴关系集合”的集合，从而可得结果.【详解】因为，则，就称是伙伴关系集合，集合，所以具有伙伴关系的集合有共7个.故答案为：4．（2021·上海市七宝中学高一期中）在整数集Z中，被整数t除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，如，则有下列结论：①；②；③整数、满足且的充要条件是；④．则其中正确的为___________.【答案】①④##④①【分析】根据集合相等的定义判断①，举反例判断②③，根据集合的交集的定义判断④．【详解】解：对于①，若，则，，若，则，故，若，则，故，是的子集，若，则或，若，则，若，则，，故是的子集，，故①正确；对于②，，而且，，故②错误；对于③，，，而，，整数、满足且不是的必要条件，故③错误；对于④，若，则，，且，，1故④正确．故答案为：①④5．（2021·上海·格致中学高一期中）设是实数，集合，若，则的取值集合是_______.【答案】【分析】先求解集合中的一元二次方程可得，由，分，，三种情况讨论，即得解【详解】由题意，集合若，且集合中至多有一个元素则当时，即时，满足题意；当时，即，即时，满足题意；当时，即，即时，满足题意；综上，的取值集合是故答案为：6．（2021·上海交大附中高一开学考试）已知集合，，若，则实数m的取值构成的集合为___________.【答案】【分析】先化简集合M，然后再根据N⊆M，求出m的值，即可求解．【详解】∵集合，∴集合，∵，，∴，或，或三种情况，当时，可得；当时，∵，∴，∴；当，，∴；∴实数m的取值构成的集合为，故答案为：7．（2021·上海市行知中学高一阶段练习）以集合的子集中选出两个不同的子集，需同时满足以下两个条件：（1）、都至少属于其中一个集合；（2）对选出的两个子集，其中一个集合为另一个的子集，那么共有_________种不同的选法.【答案】32【分析】根据题意，集合A,B可以互换，不妨设元素少的为A，多的为B，则B必包含{a,b}，A为B的真子集，从而解得答案.【详解】由题意，不妨设元素少的为A，多的为B，则B必含有a,b，A为B的真子集，若，A为B的真子集，则有种，若，A为B的真子集，则有种，若，A为B的真子集，则有种，若，A为B的真子集，则有种，共有3+7+7+15=32种.故答案为：32.8．（2021·上海·格致中学高一阶段练习）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＝0}，B＝{x|mx+1＝0}，若B⊆A，则实数m组成的集合为________．【答案】【分析】解方程求得集合；分别在和两种情况下，根据包含关系构造方程，从而求得结果.【详解】由题意，当时，，满足B⊆A当时，

或，解得：或实数组成的集合为故答案为：9．（2021·上海市大同中学高一阶段练习）已知一个有四个数字元素的集合，的所有子集的元素和（空集的元素和认为是零）的总和等于16192，则的元素之和等于______.【答案】2024【分析】利用集合的非空子集个数先求出含每个元素的集合个数，在进行求和即可．【详解】解：设集合，由一个集合中有n个元素，则它有个子集，非空子集有（−1）个可得：含有元素的集合有个，含有元素的集合有个，含有元素的集合有个，含有元素的集合有个，若集合的所有非空子集的元素之和是16192，则集合的所有元素和为，则；故答案为：2024．10．（2021·上海师大附中高一阶段练习）设集合是整数集的一个非空子集，对于任意，若且，则称为集合的一个“孤立元”.给定集合，则由中的3个元素组成的所有集合中，不含有“孤立元”的集合共有___________个，分别为___________【答案】

4

、、、【分析】根据集合的新定义，可得集合不含“孤立元”，则集合中的三个数必须连在一起，利用列举法，即可求解.【详解】由集合的新定义知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，集合不含“孤立元”，则集合中的三个数必须连在一起，所以符合题意的集合是，，，，共4个．故答案为：4，、、、11．（2021·上海师大附中高一阶段练习）已知集合，集合，若，则___________.【答案】【分析】由，结合可得，即或，分别代入验证，即得解【详解】由题意，又，即解得：或当时，，此时，成立；当时，，不满足集合中元素的互异性，不成立；因此.故答案为：三、解答题12．（2020·上海·高一课时练习）已知集合，，若，求实数的取值范围．【答案】或【分析】分析得出，求得，对方程，计算得出，分、、三种情况讨论，在、的前题下，验证成立，在时，可得出，可求得实数的值，综合可得出实数的取值范围.【详解】因为，对于方程，.当时，，则，合乎题意；当时，，此时，合乎题意；当时，即当时，则，所以，，解得.综上所述，实数的取值范围是或.13．（2021·上海市奉贤中学高一期中）定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集；(1)求集合的生成集B；(2)若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值；(3)若集合，A的生成集为B，求证.【答案】(1)(2)或(3)证明见解析【分析】（1）根据新定义算出的值即可求出；（2）B的子集个数为4个，转化为B中有2个元素，然后列出等式即可求出的值；（3）求出的范围即可证明出结论(1)由题可知，(1)当时，，(2)当时，，（3）当或时，所以(2)（1）当时，，（2）当时，（3）当或时，B的子集个数为4个，则中有2个元素，所以或或，解得或（舍去）,所以或.(3)证明：，，，，即，又，所以，所以14．（2021·上海市进才中学