第13讲平面应力问题的近似性

§6.平4面应力问题的近似性学习思路:对于平面应力和平面应变问题，如果讨论的物体截面形状及侧面受力相同，则它们所需满足的基本方程和边界条件相同，因此解和应力函数均相同。但是问题的Z方向应力和位移不同。应该注意的问题是虽然二者方程相同，但是平面应变问题是完全满足变形协调方程的，而平面应力问题却是部分满足的。问题的求解又不能要求平面应力问题同时满足所有变形协调方程，因此讨论其近似性。对于薄板，虽然平面应力问题没有完全满足协调方程，但是误差是比较小的。学习要点：1平面应变与平面应力问题；2平面应力问题与基本方程；3平面应力问题的误差；对于平面应力和平面应变问题，若讨论的物体截面形状及侧面受力相同，则它们所需满足的基本方程和边界条件也相同，所得到的解和应力函数均相同。因此，它们的应力分量o，o和1也相同，应力分量T和1均等于零，所不同的是z向应力分量＜ozJ应变"和位移分量W。 "”下表列出了两种平面问题的主要差别。平面应变问题平面应力问题z向应力分量o=v(o o)z x+yo=0zz向位移分量w=0w，0上述分析表明，平面应力和平面应变问题的主要不同在于Z向应变，位移和正应力的计算公式。虽然平面应力和平面应变问题的主要不同在于Z向应变，位移和正应力的计算公式。但是应该注意的问题是平面应力问题解的近似性。由于讨论平面应力问题时，仅用了一个变形协调方程，其余五个方程未做检验。这五个方程对于平面应变问题来讲是完全满足的，而对于平面应力问题，工也旦TOC\o"1-5"\h\z&c2 dy2 dxdy工工也d2y dz2 dydzdz2 dx2 8xdz3（也十以J% 炉jdxdxdydzdydzdy Sc dy dz &cdz3J-十—迄打与_2阴%变形协调方程法 取 勤 法 取如 除了第四，五两式自动满足外，第二，三，六式还要求炉三一炉吨一炉与一口

dx2dy2Sxdy这要求ez为x，y的线性函数，因此ez=ax+by+c，但平面应力问题又要£,=——（CT+CT）求'£''。 这要求。x+y＜满足线性分布。这只有均匀应力分布，例如单向、双向拉伸，纯弯曲和纯剪切等可以满足。这将使求解受到极大的限制，通过双调和方程和边界条件得到的弹性力学解，一般是不可能满足此条件的。由于平面应力问题£^却，这使得问题的求解困难相对。为了简化分析，对于薄板问题，£^很小，可以认为£近似为零。这样平面应力问题也可以像平面应变问题一样求解。 ”z对于这样的假设，将不可避免产生误差，下面将讨论其误差。假如重新假定应力分量OX，O，TX是X，y，z的函数，应力分量oz，T^和%仍然等于零，则可以选取新的应力函数 Z位甲（30二四Gf）-2/叫守鼻求解平面应力问题。如果上式中函数3f（，y）为双调和函数，则应力函数中（，y，z）完全满足平衡微分方程和六个变形协调方程。显然，新的应力函数中（，y，z）与平面应力问题近似解应力函数的主要差别在于补充项2（1+% 的影响。根据上述分析，可以对平面应力简化解的误差做量级上的分析。由于平面应力问题讨论的板厚很小，补充项含有z的平方项，因此补充项对应力计算的贡献就是一个z的平方项。对于薄板问题，一般来讲，此项影响很小，因此可以忽略不计。§6.应5力函数的物理意义及边界条件表示学习思路:边界平衡条件要求弹性体趋近于边界的应力分量满足面力边界条件。应力分量可以通过应力函数表达，因此应力函数也应该满足对应的边界条件。将应力函数表达的边界条件积分，并且应用应力函数的性质，则可以得到应力函数的偏导数在边界的性质。考虑应力函数全微分的积分，可以确定应力函数在边界的性质。分析表明：边界上任意点的应力函数等于由任一定点到该点的作用力对该点的力矩；而应力函数对x，y的一阶偏导数分别等于作用力合力在x轴和y轴负向的投影。这是一个非常有用的结论，它能够帮助我们在半逆解法中确定应力函数的基本形式。学习要点：1应力函数与面力边界条件；2应力函数的偏导数与边界条件；3应力函数与边界条件；4应力函数性质在体力为常量的条件下，弹性力学平面问题应力解法由三个未知函数简化为一个应力函数，从而将问题归结为在给定的边界条件下求解双调和方程。因此，应力函数的确定对于平面问题的求解是极为重要的。本节将讨论应力函数表达的面力边界条件，并由此进一步分析应力函数及其一阶偏导数在平面物体内任意一点的的物理意义。对于平面物体，如果应力分量满足面力边界条件，则边界应力函数满足设A为边界上任一定点，而B为边界上任一动点如图所示。边界上由A到B为正方向，也就是说物体在ds的左侧，边界法线方向余弦m-sma--——ds因此边界条件可以表示为F_3飞力+产物*_d3砧"dy2dsdxSydsdsByF__3飞也_3飞力__d83f郎dx2ds&cdydsdsdx对于上述应力函数表达公式从定点A到动点B作积分，可得由于在应力函数中增加或减少一个线性项狈+b+如对于所求应力是没有影响的。所以可以适当的选取a，b，如使得应力函数3f（，y的一阶偏导数3佻3佻改，加在定点A的值为零。因此，上述公式可以简化为另外，根据应力函数的全微分对上式从定点A到动点B作分部积分，则积分并将应力函数边界条件公式代入上式，则由于在应力函数中增加或减少一个线性项改+勿+积分并将应力函数边界条件公式代入上式，则由于在应力函数中增加或减少一个线性项改+勿+如对于所求应力是没有影响A A整理并且将公式代入，可得的。所以我们适当的选取a，b，如使应力函数3f（，在定点的值为零。因此上式可以简化为知二JQ-巧）q#+J（＞「y）%出另外显然，上述公式的第一式表示由定点A到动点B边界上的面力对B点的合力矩，而第二和第三式分别表示由A到B边界面力的合力沿x，y轴的投影。11．一次多项式因此可以得出以下结论，边界上任意点的应力函数等于由任一定点到该点的作用力对该点的力矩；而应力函数对X,y的一阶偏导数分别等于作用力合力在X轴和y轴负向的投影。这是一个非常有用的结论，将可帮助我们在逆解法中确定应力函数的基本形式。上述公式也是应力函数表达的面力边界条件，和面力边界条件比较，三个公式中只有两个是独立的。§6.逆6解法与多项式应力函数学习思路:弹性力学问题的求解归结为在给定边界条件下求解双调和方程。由于偏微分方程的求解是相当困难的，因此使用逆解法求解。逆解法一方面是避免偏微分方程求解的困难，更重要的是通过逆解法，探讨建立应力函数的基本性质。逆解法的基本思想是：对于一些具有矩形边界并不计体力的平面问题，分别选用幂次不同的多项式，令其满足基本方程，求出应力分量，并由边界条件确定这些应力分量对应边界上的面力，从而确定该应力函数所能解决的问题。学习要点：1逆解法与线性应力函数；2二次和三次应力函数与边界条件；3四次应力函数与边界应力条件；平面问题的求解方法，归结为给定边界条件下求解双调和方程。偏微分方程的求解是相当困难的，对于某些矩形平面物体，可以使用逆解法求解。逆解法一方面是避免偏微分方程求解的困难，更重要的是通过逆解法，探讨建立应力函数的基本性质。逆解法的基本思想是：对于一些具有矩形边界并不计体力的平面问题，分别选用幂次不同的多项式，令其满足基本方程，求出应力分量，并由边界条件确定这些应力分量对应边界上的面力，从而确定该应力函数所能解决的问题。%(,axby+不论系数取何值，都能满足双调和方程，其应力分量为因此，一次多项式应力函数对应无应力应力状态。将不影这个结论说明在应力函数中增加或减少一个x,y的线性函数，响应力分量的值。将不影2．二次多项式(xxyax2bxycy2不论系数取何值，都能满足双调和方程，应力分量为二次多项式应力函数对应于均匀应力状态，如图所示。如仅a，b,c=0,分别表示单向拉伸或者纯剪切应力状态。三次多项式

(xxyax3bx2ycxy2dy3不论系数取何值，都能满足双调和方程，对应的应力分量为6ax+2制,=-2bx-leylex6ax+2制,=-2bx-leya?_/场dxdy三次多项式应力函数的边界应力分布，如图所示。bh-biix-d\-2bxbh-biix-d\-2bx对应于线性边界应力。如果仅考虑d不为零的情况，即a=b=c，其对应于矩形梁的纯弯曲应力状态。4．四次多项式(xxyax4bx3yxx2y2dxy3ey4若使四次多项式满足双调和方程，其系数需满足关系式3a+x+e3x0因此四次多项式应力函数只能有四个独立的系数，设应力函数为

3g)5+反k十+的3-g+沙即其独立的系数仅为四个，对应的应力分量为边界面力，如图所示。四次多项式应力函数对应于二次应力分布状态，如果仅考虑d不为零的情况，即a=b=c=0该应力状态由矩形板边界上三部分面力产生，在边界”二土，上，作用有均匀分布的切应力、二^劭在x的边界上，作用有按抛物线分布的切应力%=一了"在x=l,作用有按抛物线分布的切应力%=一和和^性和线性分布的正应对四次多项式构成的应力函数，其边界上的应力分量的分布可以是均匀的，线性分布的或者是二次抛物线分布的。悬7臂梁受集中力作用学习思路:本节应用平面问题的基本方程讨论悬臂梁的弯曲应力、变形和位移。通过问题的分析，全面介绍平面问题应力函数求解方法。作为一个典型的平面应力问题，问题求解的关键是确定应力函数。首先分析悬臂梁的边界条件，根据悬臂梁弯矩分布建立应力函数的基本表达式。然后应用变形协调方程确定应力函数。再通过面力边界条件确定待定常数。分析所得悬臂梁的弯曲应力解与材料力学解是一致的。弯曲应力确定后，通过本构方程可以确定应变分量；利用几何方程可以得到位移偏导数公式。由于应力分量是协调的，积分可得位移基本表达式。至于表达式中的待定系数，需要通过位移边界条件确定。由于悬臂梁力学模型给定的位移边界条件太强硬，因此分析中假设端面约束仅为排除刚体位移。学习要点：1悬臂梁作用集中力；2边界条件与应力函数；3悬臂梁应力；4悬臂梁变形；5悬臂梁位移推导；悬臂梁端面位移边界；边界条件一；边界条件二；本节讨论悬臂梁的弯曲，考察薄板梁，左端固定，右端受切向分布力作用，其合力为F，悬臂梁在力的作用下将产生弯曲。设梁的跨度为l，高度为h，厚度为一个单位，自重忽略不计。首先讨论梁的弯曲应力。对于悬臂梁，建立坐标系如图所示。则梁的边界条件为=±| =0s=°工二i ,二0 1%如二产7=0 u=0 v=0该边界条件要完全满足非常困难。但深入分析发现，只要梁是细长的，则其上下表面为主要边界，这是必须精确满足；而左右端面的边界条件，属于次要边界。根据圣维南原理，可以使用静力等效的应力分布来替代，这对于离端面稍远处的应力并无实质性的影响。因此两端面的边界条件可以放松为合力相等的条件。此外由于梁是外力静定的，固定端的三个反力可以确定，因此在求应力函数时，只要三面的面力边界条件就可以确定。固定端的约束，即位移边界条件只是在求解位移时才使用。这样问题的关键就是选择适当的应力函数，使之满足面力边界条件。因为在梁的上下边界上，其弯矩为F（l-x）,即力矩与（l-x）成正比，根据应力函数B B知二色-%居心国也的性质，设应力函数为其中fy）为y的任意函数。将上述应力函数代入变形协调方程，可得即它一°，积分可得 f（y）="+/+cy+d由于待定系数d不影响应力计算，可令其为零。所以，应力函数为审t'y）二Q一工）（小3+V+/）将上述应力函数代入应力分量表达式，可得应力分量驾^二（金-工）（6"+比）dxSy将上述应力分量代入面力边界条件%=0/十%想，可以确定待定系数。

在上下边界， "W 自动满足。而碗'W ，则要求—ah2+ +c=0:2—dh—bh+c—0Jr^dy=F

在x二l边界上，行#==0自动满足。而T ，则要求4ah2+ch=F联立求解上述三式，可得注意到对于图示薄板梁，其惯性矩12。所以应力分量为注意到对于图示薄板梁，其惯性矩12。所以应力分量为所得应力分量与材料力学解完全相同。当然对于类似问题，也可以根据材料力学的解答作为基础，适当选择应力函数进行试解，如不满足边界条件，再根据实际情况进行修正。应力分量求解后，可以进一步求出应变和位移。

du

dxdv4K_dvtdudu

dxdv4K_dvtdu和和和物将应力分量代入几何方程理方程，可得]啜只5=加du2(1+V)(1+z/j22x对于上述公式的前两式分别对x,y积分，可得辽二一马孙-9，）+/加）

iLi 2 iLi其中f（y），g（X）分别为y，x的待定函数。将上式代入应变分量表达式的第三式，并作整理可得国⑶-(及4/)]+[/&)-撩/+Q+i4/]=Q+炉)由于上式左边的两个方括号内分别为x，y的函数，而右边却为常量，因此该式若成立，两个方括号内的量都必须为常量。所以尸&)+Q+。/二而£(x)_(bc_gf)二丹h2m+?i=(l+y)—上式的前两式分别作积分，可得r融电V二v-(^fy2--V2)+--^(x)将上式回代位移表达式 EI2 , ,，则其中m,n,c,d为待定常数，将由位移边界条件确定。显然，上述位移不可能满足位移边界条件x=0，u=v=0。悬臂梁左端完全固定的约束条件太强了，要严格满足非常困难。对于工程构件，端面完全固定仅仅是一种假设真实的端面约束条件是非常复杂的。在弹性力学讨论中，重要的是分析一般条件下，悬臂梁的弯曲变形。根据圣维南