第16讲椭圆中焦点三角形面积和中点弦问题（解析版）

第16讲椭圆中焦点三角形面积和中点弦问题【知识点梳理】1.椭圆焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角）证明：设．2．中点弦问题（点差法）直径问题：若过原点，则为椭圆直径，为椭圆上异于任意一点，（椭圆）；[焦点在轴上时]中点弦问题：若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，；[焦点在x轴上时]下述证明均选择焦点在轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似．直径问题证明：设，，因为过原点，由对称性可知，点，所以．又因为点，在椭圆上，所以有．两式相减得，所以．中点弦问题证明：设，，则椭圆两式相减得．【典型例题】题型一：【例1】已知椭圆的左、右焦点分别是，，直线与椭圆C交于A，B两点，若，且四边形的面积为（c是椭圆C的半焦距），则椭圆C的离心率是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】由椭圆的对称性和，易知四边形为矩形，设，，利用椭圆的定义，结合勾股定理和矩形的面积公式，即可求出结果．【详解】由椭圆的对称性可知四边形是平行四边形．因为，所以平行四边形是矩形．设，，则整理得，所以，解得，故椭圆C的离心率为．故选：B.【例2】（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．【答案】【解析】因为为上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，设，则，所以，，即四边形面积等于.故答案为：.【题型专练】1.为椭圆上的一点，和是其焦点，若∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为.【答案】【详解】由题知.2.设P为椭圆上一点，为左右焦点，若，则P点的纵坐标为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据椭圆中焦点三角形的面积公式求解即可.【详解】由题知.设P点的纵坐标为则.故选：B3.（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上的动点（异于椭圆的左、右顶点），，的面积为，则（

）A．的最大值为B．不可能为C．当时，椭圆的离心率为D．【答案】ACD【解析】【分析】利用椭圆的范围和三角形的面积公式判定选项A正确，利用为椭圆上顶点时的特殊情况判定选项B错误，利用通径长判定选项C正确，利用焦点三角形和余弦定理判定选项D正确.【详解】对于A：设，，则，，，即选项A正确；对于B：若存在，只需当为椭圆上顶点时，，只需，即选项B错误；对于C：由，可知，此时，则，即，解得，即选项C正确；对于D：设，，由余弦定理可得，则有，所以，则，即选项D正确．故选：ACD．题型一：中点弦问题【例1】已知椭圆的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为（1，），则G的方程为A．B．C．D．【答案】D【解析】设，则=2，=－2，，①，②①－②得，所以===，又==，所以=，又9==，解得=9，=18，所以椭圆方程为，故选D【例2】已知椭圆：的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，．点为上不在坐标轴上的任意一点，且，，，四条直线的斜率之积大于，则的离心率可以是A．B．C．D．【答案】AC【解析】【分析】根据椭圆的概念、标准方程及简单几何性质，结合题意即可求解.【详解】设，依题意可得，则，，又，所以，，从而.故选：AC.【例3】（2022·全国·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为___________．【答案】【分析】令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解；【详解】解：令的中点为，因为，所以，设，，则，，所以，即所以，即，设直线，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直线，即；故答案为：【例4】（2022·江苏·高二）若椭圆的弦AB被点平分，则AB所在的直线方程为______．【答案】【分析】设和点的坐标，代入椭圆方程，利用“点差法”即可求得直线的斜率，利用点斜式方程，即可求得直线方程.【详解】设直线与椭圆的交点为为的中点，；两点在椭圆上，则两式相减得；则；；故所求直线的方程为，即；故答案为：【例5】椭圆的左、右顶点分别为,点在上且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】由题意，椭圆：的左、右顶点分别为，设，则，又由，可得，因为，即，可得，所以直线斜率的取值范围.故选：B【例6】（2022·全国甲（理）T10）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.【详解】解：，设，则，则，故，又，则，所以，即，所以椭圆的离心率.故选：A.【题型专练】1.（2021·福建宁德市·高二期末）已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，直线与交于、两点，轴，垂足为，直线与椭圆的另一个交点为，则下列结论正确的是（）A．若，则的面积为B．四边形可能为矩形C．直线的斜率为D．若与、两点不重合，则直线和斜率之积为【答案】BC【分析】利用余弦定理、椭圆的定义以及三角形的面积公式可判断A选项的正误；根据四边形可能为矩形求出点的横坐标，可判断B选项的正误；利用斜率公式可判断C选项的正误；利用点差法可判断D选项的正误.【详解】在椭圆中，，，，设点、，则，如下图所示：对于A选项，由椭圆的定义可得，在中，由余弦定理可得，可得，因此，的面积为，A选项错误；对于B选项，由于直线与椭圆都关于原点对称，则点、也关于原点对称，又、关于原点对称，所以，四边形为平行四边形，若四边形为矩形，则，而，，，解得，B选项正确；对于C选项，，可知点，则，C选项正确；对于D选项，由于点、在椭圆上，则，上述两个等式相减得，可得，直线的斜率为，直线的斜率为，所以，，D选项错误.故选：BC.2.已知、是椭圆：()长轴的两个端点，、是椭圆上关于轴对称的两点，直线、的斜率分别为、，若的最小值为，则椭圆的离心率为A．B．C．D．【答案】D【解析】如图所示：设，则，，所以，所以，当且仅当时取等号，因为的最小值为，所以，设，则，所以，所以，故选D．3.椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的最大值为__________．【答案】【解析】因为关于原点对称，所以B也在椭圆上，设左焦点为，根据椭圆的定义：，因为，所以，O是直角三角形斜边的中点，所以，所以，所以，由于，所以当时，离心率的最大值为，故答案为．4.若、为椭圆：()长轴的两个端点，垂直于轴的直线与椭圆交于点、，且，则椭圆的离心率为__________．【答案】【解析】设、，因为，，所以，所以，所以．故答案为【名师点睛】求椭圆离心率的关键是得到关于的等量关系式，根据以及斜率公式可得到所要的等量关系式．5.（2022·四川南充·高二期末（文））过椭圆：右焦点的直线：交于，两点，为的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】由与x轴交点横坐标可得半焦距c，设出点A，B坐标，利用点差法求出的关系即可计算作答.【详解】依题意，焦点，即椭圆C的半焦距，设，，则有，两式相减得：，而，且，即有，又直线的斜率，因此有，而，解得，经验证符合题意，所以椭圆的方程为.故选：A6．（2022·新疆·三模（文））已知椭圆C：），O为坐标原点，若直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l与直线OM的斜率乘积为．(1)求椭圆C的离心率；(2)若椭圆C经过点，求椭圆C的标准方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用点差法、中点坐标公式、斜率公式可得到，再利用椭圆的离心率公式进行求解；（2）利用离心率和点在椭圆上进行求解.(1)解：设，，，则，所以，所以，即，即，即，则离心率；(2)解：若椭圆C过点，即，又因为，所以，即，，所以椭圆C的标准方程为.7．（2022·四川·南部县第二中学高二阶段练习（文））已知椭圆的短轴长为，焦点坐标分别为和.(1)求椭圆的标准方程.(2