《数学物理方法》第二章-解析函数课件

第二章解析函数

第一节

解析函数的概念及哥西—黎曼条件第二节解析函数与调和函数第三节初等函数第一节解析函数的概念及哥西—黎曼条件

§2.1.1复变函数的导数1.导数定义定义2.1设函数w=f(z),z∈D,且z0、z0+Δz∈D，如果极限存在，则称函数f(z)在点z0处可导(可微)。称此极限值为f(z)在z0的导数，记作等价形式有：如果w=f(z)在区域D内处处可导，则称f(z)在区域D内可导.注：任意点z的导数称为导函数，或简称导数

(1)Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零。

(2)z=x+iy,Δz=Δx+iΔy,Δf=f(z+Δz)-f(z)

例1ïþïýü®DDD®DDD;0,0;1,0zfzzfz时取纯虚数趋于当时取实数趋于当2.求导公式与法则①常数的导数c=(a+ib)=0.②(zn)=nzn-1(n是自然数).证明对于复平面上任意一点z0，有----实函数中求导法则的推广③设函数f(z),g(z)均可导，则

[f(z)±g(z)]=f(z)±g(z)，

[f(z)g(z)]=f(z)g(z)+f(z)g(z)④复合函数的导数(f[g(z)])

=f

(w)g(z)，

其中w=g(z)。⑤反函数的导数，其中:w=f(z)与z=(w)互为单值的反函数，且(w)0。思考题例3问：函数f(z)=x+2yi是否可导？例2解解例4证明f(z)=zRez只在z=0处才可导。证明

(1)复变函数在一点处可导，要比实函数在一点处可导要求高得多，也复杂得多，这是因为Δz→0是在平面区域上以任意方式趋于零的原故。(2)在高等数学中要举出一个处处连续，但处处不可导的例题是很困难的,

但在复变函数中，却轻而易举。3.可导与连续若w=f(z)在点z0处可导w=f(z)点z0处连续.?1.函数可微的一个必要条件（哥西—黎曼条件）§2.1.2哥西—黎曼条件本节从函数u(x,y)及v(x,y)的可导性，探求函数w=f(z)的可导性，从而给出判别函数解析的一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。问题如何判断函数的可微性呢？存在记忆方程称为Cauchy-Riemann方程(简称C-R方程).定理2.1

用定理2.1虽不能判定函数的可微性，但却可以判定函数的不可微性，即：不满足定理条件的函数是不可微的

下面的例子可以说明，该条件不是充分的，即该条件的满足并不足以保证函数的可微性。定理2.2设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在D内有定义，则

f(z)在点z=x+iy

∈D处可导的充要条件是

u(x,y)和v(x,y)在点(x,y)可微，且满足

Cauchy-Riemann方程上述条件满足时,有2.函数可微的充分必要条件证明：（1）必要性证明：（2）充分性

由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系.当一个函数可导时,仅由其实部或虚部就可以求出导数来.

利用上述三个定理可以判断大多数函数的可导性.

讨论函数的可微性往往比讨论函数的偏导数要麻烦许多，根据数学分析原理我们有如下定理使用时:i)判别u(x,y)，v(x,y)偏导数的连续性，

ii)验证C-R条件.iii)求导数：

前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的,但是求复变函数的导数时要注意,并不是两个实函数分别关于x,y求导简单拼凑成的.3.举例例1

判定下列函数在何处可导：解(1)设z=x+iy

w=x-iy

u=x,v=-y

则解(2)∵f(z)=ex(cosy+isiny)则u=excosy,v=exsiny仅在点z=0处满足C-R条件，故解(3)设z=x+iy

w=x2+y2

u=x2+y2,v=0则§2.1.3

解析函数的概念定义2.2

如果函数w=f(z)在z0及z0的某个邻域内处处可导，则称f(z)在z0解析；如果f(z)在区域D内每一点都解析，则称

f(z)在D内解析，或称f(z)是D内的解析函数(全纯函数或正则函数）。如果f(z)在点z0不解析，就称z0是f(z)的奇点。

(1)w=f(z)在D内解析在D内可导。

(2)函数f(z)在z0点可导，未必在z0解析(例1(3)函数只在,固也是奇点,即函数处处不解析).例如(1)w=z2在整个复平面处处可导，故是整个复平面上的解析函数；(2)w=1/z，除去z=0点外，是整个复平面上的解析函数；

(3)w=zRez

在整个复平面上处处不解析(见例4)。定理

设w=f

(z)及w=g(z)是区域D内的解析函数，则f

(z)±g(z)，f(z)g(z)及f

(z)g(z)(g

(z)≠0时)均是D内的解析函数。定理

设w=f(h)在h

平面上的区域G内解析,

h=g(z)在z平面上的区域D内解析,h=g(z)的函数值集合G，则复合函数w=f[g(z)]在D内处处解析。例2

求证函数证明由于在z≠0处，u(x,y)及v(x,y)都是可微函数，且满足C-R条件：故函数w=f(z)在z≠0处解析，其导数为例3证明例4

如果f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是一解析函数，且f(z)≠0，那么曲线族u(x,y)=C1，

v(x,y)=C2必互相正交，这里C1

、C2常数.那么在曲线的交点处，i)uy、

vy

均不为零时，由隐函数求导法则知曲线族u(x,y)=C1，v(x,y)=C2中任一条曲线的斜率分别为解利用C-R方程

ux=vy,uy=-vx

有k1k2=(-ux/uy)(-vx/vy)=-1，即：两族曲线互相正交.ii)uy，vy中有一为零时，不妨设uy=0，则k1=∞，

k2=0（由C-R方程）即：两族曲线在交点处的切线一条是水平的，另一条是铅直的,它们仍互相正交。练习:a=2,b=-1,c=-1,d=2

在下一章中我们将证明在D内的解析函数,其导数仍为解析函数,所以解析函数有任意阶导数，固u,v的偏导数的偏导数存在，或说二阶偏导数存在。本节利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间的关系。内容简介第二节解析函数与调和函数的关系定义2.3定理2.3证明：设f(z)=u(x,y)+i

v(x,y)在区域D内解析，则即u及v在D内满足拉普拉斯(Laplace)方程:定义上面定理说明：由解析的概念得：现在研究反过来的问题：如定理2.4以下是四种求共轭调和函数的方法（1）曲线积分法；（2）凑微分法；（3）偏积分法；（4）不定积分法例1解曲线积分法故

又解凑全微分法又解偏积分法又解不定积分法

1.指数函数

2.三角函数和双曲函数

3.对数函数

4.乘幂与幂函数

5.反三角函数与反双曲函数第三节初等函数

本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复变函数情形，研究这些初等函数的性质，并说明它的解析性。内容简介一.指数函数它与实变指数函数有类似的性质：定义这个性质是实变指数函数所没有的。

例1例2例3二.三角函数和双曲函数推广到复变数情形定义正弦与余弦函数的性质思考题由正弦和余弦函数的定义得其它三角函数的定义(详见P51)定义—称为双曲正弦和双曲余弦函数双曲正弦和双曲余弦函数的性质三.对数函数定义指数函数的反函数称为对数函数。即，(1)对数的定义故特别

(2)对数函数的性质见§1-6例1例4四.乘幂与幂函数乘幂ab定义

—多值—一般为多值—q支

(2)当b=1/n(n正整数)时，乘幂ab与a

的

n次