简单超静定问题

简单超静定问题第一页，共三十八页，编辑于2023年，星期一§8-1概述§8-2拉压超静定问题目录§8-3装配应力和温度应力§8-4扭转超静定问题§8-5简单超静定梁第二页，共三十八页，编辑于2023年，星期一§8-1概述未知力数：2个独立方程数：2个仅靠静力平衡方程就能把结构的约束反力和内力解出的问题称为静定问题，相应的结构称为静定结构。未知力数：3个独立方程数：2个求不出仅靠静力平衡方程不能求出全部约束反力和内力的问题称为超静定问题，相应的结构称为超静定结构。第三页，共三十八页，编辑于2023年，星期一多余约束多余未知力（冗力）超静定次数：未知力数与方程数之差（多余约束或多余未知力的数目）第四页，共三十八页，编辑于2023年，星期一超静定解法平衡方程+补充方程建立补充方程的关键：根据变形协调条件建立变形几何方程（变形协调方程），再由物理方程（胡克定律），最后得到补充方程。为了求出超静定结构的全部未知力，除了利用平衡方程以外，还必须寻找补充方程，且使补充方程的数目等于多余未知力的数目。超静定解法：第五页，共三十八页，编辑于2023年，星期一例8-1

设杆系结构如图，已知：各杆长为：l1=l2=l

、l3；各杆面积为A1=A2=A、A3；各杆弹性模量为：E1=E2=E、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的轴力。CFABD123FAFN1FN3FN2解：平衡方程（1）（2）§8-2拉压超静定问题第六页，共三十八页，编辑于2023年，星期一几何方程（绘变形图）物理方程——胡克定律补充方程：由几何方程和物理方程得。（1）（2）（3）联立求解得:CABD123A1（3）第七页，共三十八页，编辑于2023年，星期一CFABD123讨论：（1）在超静定杆系中，各杆的轴力和该杆的拉压刚度与其他杆的拉压刚度的比值有关。（2）若E1A1↑，则FN1↑；若E3

A3↑，则FN3↑。即杆系中任一杆的拉压刚度的改变都将引起杆系各轴力的重新分配。（3）以上两个特点在超静定杆系存在，静定杆系中是不存在的。第八页，共三十八页，编辑于2023年，星期一解超静定杆系的步骤（1）根据分离体的平衡条件，建立独立的平衡方程。（2）根据变形协调条件，建立变形几何方程。（3）利用胡克定律，将变形几何方程改写成补充方程。（4）将补充方程与平衡方程联立求解。第九页，共三十八页，编辑于2023年，星期一例8-2已知：F，A，E。求：A、B两端的支座反力。解：（1）列平衡方程（2）变形几何方程只有一个平衡方程，一次超静定（3）物理方程（胡克定律）（4）建立补充方程，解出约束反力由(1)和（2）联立可得：第十页，共三十八页，编辑于2023年，星期一另解：设想将B端的约束解除，代之以反力FB，原结构就变成A端固定、B端自由、受F和FB共同作用的静定结构（原结构的相当结构）。位移限制条件：即：解得：第十一页，共三十八页，编辑于2023年，星期一如图所示杆系结构中AB杆为刚性杆，1、2杆刚度为EA，载荷为F，求1、2杆的轴力。例8-3解：（1）静力平衡方程（2）变形几何方程及物理方程FBACDFAxFAy（3）补充方程FBAl12CDaaa得（1）（2）（4）联立（1）（2）求解第十二页，共三十八页，编辑于2023年，星期一如图所示杆系结构中AC杆为刚性杆，1、2、3杆刚度为EA，载荷为F，求1、2、3杆的轴力。例8-4解：（1）静力平衡方程（2）变形几何方程及物理方程（4）联立求解FBAl12Caaa/23DFBACD（3）补充方程第十三页，共三十八页，编辑于2023年，星期一另解：把力F移动到B得到一个力和力偶FBAl12Caaa/23DFBACFBAl12Caaa/23D在力F作用下，结构对称，荷载也对称，即内力和位移都是对称的。由此可以直接得出三杆轴力在力m作用下，结构对称，荷载反对称，即内力和位移都是反对称的。mBAC由叠加法得第十四页，共三十八页，编辑于2023年，星期一例8-5木制短柱的四角用四个40404的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为[]1=160MPa和[]2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa和E2=10GPa；求许用载荷F。FF4FN1FN2变形几何方程及物理方程补充方程：解：平衡方程:角钢面积由型钢表查得:A1=3.086cm2(1)(2)第十五页，共三十八页，编辑于2023年，星期一联立求解得:求结构的许用载荷FF4FN1FN2第十六页，共三十八页，编辑于2023年，星期一FBACDFAxFAyFBAl12CDaaa如图所示杆系结构中AB杆为刚性杆，1、2杆刚度为EA，载荷为F，求1、2杆的轴力。练习解：（1）静力平衡方程（2）变形协调方程（3）物理方程联立上面的方程可以求得第十七页，共三十八页，编辑于2023年，星期一如图所示杆系结构中AB杆为刚性杆，写出结构的变形协调方程。练习FBAl112CDaaal2分析第十八页，共三十八页，编辑于2023年，星期一§8.3装配应力和温度应力CAB12装配后仅是几何形状略有变化，两杆内均不会因装配而产生内力和应力。杆的实际长度尺寸和设计尺寸间可能存在误差。如图所示的静定杆系中，AC杆的长度比设计尺寸短了δ。但在超静定杆系中，由于多余约束的存在，长度尺寸上的误差使得装配发生困难，装配后将使杆内产生内力和应力。设压力为FN，则则压应力为这种由于装配而引起的应力，称为装配应力。（初应力）*第十九页，共三十八页，编辑于2023年，星期一AAFN1FN3FN2解（1）平衡方程（1）（2）例8-6图示杆系中，各杆的材料均为Q235钢，弹性模量E=200GPa，各杆横截面面积均为A，角。若3杆的长度比设计长度l短了，试计算各杆的装配应力。123第二十页，共三十八页，编辑于2023年，星期一A123（2）变形几何方程（3）物理方程（4）补充方程（3）（5）联立(1)、(2)、(3)求解(压力)(拉力)(压应力)(拉应力)第二十一页，共三十八页，编辑于2023年，星期一第二十二页，共三十八页，编辑于2023年，星期一例8-7火车车轮通常由铸铁轮心和套在轮心上的钢制轮箍两部分组成。轮箍：；轮心：，。装配时将轮箍加热膨胀后套于轮心上，冷却后二者相互紧压。轮心的刚度远大于轮箍，在假设轮心为一刚体的情况下，求装配后轮箍和轮心间的装配压力p和轮箍径截面上的正应力σ。轮心轮箍热套冷却后第二十三页，共三十八页，编辑于2023年，星期一轮箍热套冷却后解（1）平衡方程（2）变形几何方程圆周伸长：（1）（2）（3）物理方程微段伸长圆周总伸长（3）（4）补充方程令（2）=（3）第二十四页，共三十八页，编辑于2023年，星期一在超静定杆系中，由于多余约束的存在，各杆因温度改变而引起的纵向变形要受到相互制约，在杆内就要产生应力，这种应力称为温度应力或热应力。平衡方程：变形几何方程：物理方程（线膨胀定律和胡克定律）：求得：温度应力：（压应力）第二十五页，共三十八页，编辑于2023年，星期一例8-8图示超静定杆系中，三杆的弹性模量均为E，线膨胀系数均为，横截面面积均为A。试求温度升高度时，三杆的温度应力。AFN1FN3FN2解（1）平衡方程（1）（2）（2）变形几何方程及物理方程123（3）补充方程（3）第二十六页，共三十八页，编辑于2023年，星期一（4）联立求解AFN1FN3FN2123(压力)(压应力)(拉力)(拉应力)第二十七页，共三十八页，编辑于2023年，星期一例8-9如图所示的阶梯形钢圆杆，上段杆的直径d1=50mm，长度l1=700mm；下段杆的直径d2=35mm，长度l2=300mm。杆的上端固定，下端距刚性支座的间隙Δ=0.15mm，材料的线膨胀系数

，弹性模量E=210GPa。试求温度时，两段杆的温度应力。解：若解除杆下端的刚性支座，则温度上升后杆的伸长变形为Δlt。当Δlt>Δ时，下端支座的约束反力FR将使杆产生缩短变形ΔlF。根据变形协调条件得到变形几何方程为其中：（补充方程）第二十八页，共三十八页，编辑于2023年，星期一例8-10图示结构中，1、2两杆的拉压刚度均为EA，长度均为l，加工时1杆的长度短了Δe（Δe

l），AB为刚性杆。装配后，再施加荷载F。求1、2杆的轴力。FBAl12CDaaa~~12CBDABDACF解：本题是求装配和荷载共同作用时1、2杆的轴力，这类问题宜采用综合法求解较简便。平衡方程：（1）第二十九页，共三十八页，编辑于2023年，星期一变形几何方程及物理方程：~~12CBDA补充方程：（2）联立求解：本题也可用叠加法求解，即分别单独考虑装配时的求解和单独考虑外荷载的求解，然后叠加。第三十页，共三十八页，编辑于2023年，星期一例8-11两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C受外力偶矩Me作用，试求:A、B两端的支座反力偶。静力平衡方程变形协调条件即：解：由(1)、(2)得：§8.4扭转超静定问题第三十一页，共三十八页，编辑于2023年，星期一例8-11两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C受外力偶矩Me作用，试求:A、B两端的支座反力偶。静力平衡方程即：另解：由(1)、(2)得：§8.4扭转超静定问题设想将B端的约束解除，代之以反力偶，原结构就变成A端固定、B端自由、受和共同作用的静定结构（原结构的相当结构）。位移限制条件：第三十二页，共三十八页，编辑于2023年，星期一例8-12如图所示组合圆杆，是由材料不同的实心圆杆①和空心圆杆②牢固地套在一起而组成，左端固定，右端固结于刚性板上，在右端受外力偶矩Me作用。实心圆杆的直径为d，切变模量为G1；空心圆杆的内外径分别为d及D，切变模量为G2。试求两杆横截面上的扭矩。①②②刚性板解：平衡方程由于两杆牢固地套在一起，所以其单位长度扭转角相同，即而补充方程①②求解：第三十三页，共三十八页，编辑于2023年，星期一§8.5简单超静定梁例8-13绘图示超静定梁的剪力和弯矩图。已知EI为常量。qlBA解：(1)解除B端约束，得到基本结构；再加上已知的荷载和相应的约束反力FB，得到相当结构。BA基本结构(2)位移协调方程：BA相当结构q(3)补充方程并求解(4)返回相当结构，绘剪力、弯矩图()第三十四页，共三十八页，编辑于2023年，星期一qlBA解法二：BA基本结构qBA相当结构解除A端限制转动的约束，使A端变为固定铰支座，取简支梁为基本结构。第三十五页，共三十八页，编辑于2023年，星期一例8-14求图示超静定梁的支反力，并绘其梁的剪力和弯矩图。已知EI为常量。BACD解：基本结构的选取ABDC取法1：解除C端支座，取外伸梁为基本结构；取法2：解除B端支座，取简支梁为基本结构；AB