第十讲空间群

第十讲空间群第一页，共五十九页，编辑于2023年，星期一非点式对称操作۞

螺旋轴：11种，21；31、32；41、42、43；61、62、63、64、65۞

滑移面：a、b、c；n；d点对称操作：r’=Rr

r’=x’a+y’b+z’c

r=xa+yb+zc空间群操作：r’={R|t}r

=Rr

+

t(赛兹算符)

对非点式操作t=，是单胞的分数平移，而对于点式操作t=

=0第二页，共五十九页，编辑于2023年，星期一对称轴符号符号对称轴图示符号沿轴向的右手螺旋平移特征一次旋转轴1一个反演轴二次旋转轴二次螺旋轴三次旋转轴三次螺旋轴三次反演轴2213313231无无无平行于纸面无平行于纸面无无c/2a/2或b/2c/32c/3符号对称轴图示符号沿轴向的右手螺旋平移特征四次旋转轴4四次反演轴四次螺旋轴六次旋转轴六次螺旋轴六次反演轴43661654无无6无c/4c/65c/641422c/43c/4626364无2c/63c/64c/6第三页，共五十九页，编辑于2023年，星期一对称面符号符号对称面反映面(镜面)轴滑移面ma,bcnd对角滑移面(网)“金刚石”滑移面图示符号滑移特征垂直于投影面平行于投影面没有(如果平面在z=1/4的高度，就在符号边标注1/4)无沿[100]滑移a/2，或沿[010]滑移b/2，或沿<100>滑移沿z轴滑移c/2，或在菱形轴中沿[111]滑移(a+b+c)/2(a+b)/2,(b+c)/2,(a+c)/2,或(a+b+c)/2(四方和立方)(a±b)/4,(b±c)/4,(a±c)/4,或(a±b±c)/4(四方和立方)第四页，共五十九页，编辑于2023年，星期一复习：点对称操作、7种晶系、32种点群、14种布拉菲格子、点式空间群第五页，共五十九页，编辑于2023年，星期一1(E)2(C2)3(C3)4(C4)6(C6)1(i)2(σ),m3(S65)4(S43)6(S35)(C41,C42,C43,C44

)(C61,C62,C63,C64

,C65,C66)(C31,C32,C33)n=1n(iCn),

Sn=σCn(σh,σv,σd)

S4(43),S42(42),S43(4),S44(E)点对称操作!!!(C21,C22)S6,S62(C3),S63(i),S64(C32),S65,S66(E)35,34,33,32,31,36S3,S32(C32),S33(σh),S34(C3),S35,S36(E)65,64,63,62,6,66第六页，共五十九页，编辑于2023年，星期一镜面{m[001]}，反映恒等1x’y’z’xyz-1-0

-0-0-1

-0-0-0

-1=x’y’z’xyz=-1-0

-0-0-1

-0-0-0

-1参考轴：对称算符r’=Rra,b,c

(无需正交)x’y’z’xyza11a21a31a11a21a31a11a21a31=r=xa+yb+zcr’=x’a+y’b+z’c(x,y,z)(x’,y’,z’)rr’abc=90o直角坐标=120o六角坐标附录1第七页，共五十九页，编辑于2023年，星期一对称条件晶系特点四个三次轴三斜单斜正交四方三方六方立方1(E)或1(i)2(C2)或2(m)两个2(C2)或2(m)4(C4)或4(S43)3(C3)或3(S65)6(C6)或6(S35)a≠b≠

c,≠≠a≠b≠c,==90o≠

a≠b≠c,===90oa=b≠c,===90oa=b≠c,==90o,

=120oa=b=c,===90oa=b=

c,==菱形a=b≠c,==90o,

=120o全对称点群12/mmmm4/mmm6/mmmm3m3m第八页，共五十九页，编辑于2023年，星期一1(L1)m(P)1(C)42m

(Li42L22P)2(L2)2/m(L2PC)222(3L2)mm2(L22P)mmm(3L23PC)4

(Li4)422(L44L2)4/mmm(L44L25PC)4mm

(L44P)4/m(L4PC)4(L4)62m

(Li63L23P)6

(Li6)622(L66L2)6/mmm

(L66L27PC)6mm

(L66P)6/m(L6PC)6(L6)23(3L24L3)m3(3L24L33PC)432

(3L44L36L2)m3m

(3L44L36L29PC)3m(Li33L23P)3(L3)3m(L33P)32(L33L2)43m(3Li44L36P)3(Li3)32种点群及其点对称操作第九页，共五十九页，编辑于2023年，星期一4/mmm(L44L25PC)6/mmm

(L66L27PC)m3m

(3L44L36L29PC)4/mmm(L44L25PC)E,2C4,C2,

2C2’,2C2”,

σh,2σv,2σd,

i,2S46/mmm

(L66L27PC)E,2C6,2C3,C2,

3C2’,3C2”,

σh,3σv,3σd,i,2S3,

2S6m3m

(3L44L36L29PC)E,8C3,3C2,

6C4,

6C2,

3σh,6σd

i,8S6,6S4,附录4第十页，共五十九页，编辑于2023年，星期一点群各符号的顺序晶系在国际符号中的位置123三斜单斜正交四方三方六方立方只用一个符号第一种定向：c是唯一轴；第二种定向：b是唯一轴2或2沿a2或2沿b2或2沿c4或4沿c2或2沿a和b2或2沿a±b3或3沿c2或2沿a、b和a+b6或6沿c2或2a、b和a+b3或3沿<111>2或2沿<110>2或2a、b和a+b2或2沿a、b和a+b4、4、2或2沿<100>第十一页，共五十九页，编辑于2023年，星期一

从旋转点群推导32种点群

点群的熊夫利斯符号11种纯旋转群：123462223242262223432C1C2C3C4C6D2D3D4D6TO循环点群二面体点群立方点群11种中心对称点群：m3m3mS2C2h

S6C4hC6hD2h

D3dD4hD6hThOh12/m34/m6/mmmm3m4/mmm6/mmm10种新子群：m3m3m12/m34/m6/mmmm3m4/mmm6/mmmC1h

S4C3hC2vC3vC4v

D2dC6vD3hTdmmm2463m4mm42m43m6mm6m2第十二页，共五十九页，编辑于2023年，星期一四方晶系4/mmm

(L44L25PC)xyE;2C4;C2;2C2’;2C2”;

i;2S4;h;2v;2d完全的国际符号：4/m2/m2/m去对称心4mm

(L44P)42m

(Li42L22P)第十三页，共五十九页，编辑于2023年，星期一

推导32种点群的熊夫利斯方案熊夫利斯符号五种循环群Cn(5

种)Cnh=Cn×{E,σh}(5

种)Cnv=Cn×{E,σv}(4

种,C1v=C1h)非真旋转Sn(3

种，n=2,4,6)Dn=Cn×{E,C2[100]

}(4

种)Dnh=Cnh×{E,d}(4

种)Dnd=S2n×{E,C2[100]

}(n=2,3共2种)立方点群(无主轴）5

种:T,Th,Td,O,Oh第十四页，共五十九页，编辑于2023年，星期一1(C1)m(C1h)1(Ci)42m

(D2d)2(C2)2/m(C2h)222(D2)mm2(C2v)mmm(D2h)4

(S4)422(D4)4/mmm(D4h)4mm

(C4v)4/m(C4h)4(C4)62

(D3h)6

(C3h)622(D6)6/mmm

(D6h)6mm

(C6v)6/m(C6h)6(C6)23(T)m3(Th)432

(O)m3m

(Oh)3m(D3d)3(C3)3m(C3v)32(D3)43m(Td)3(S6)32种点群符号第十五页，共五十九页，编辑于2023年，星期一六方晶系42m

(Li42L22P)62m

(Li63L23P)6m2

(Li63P3L2)4m2

(Li42L22P)30o45o第十六页，共五十九页，编辑于2023年，星期一三方晶系3(L3)3m(L33P)32(L33L2)3(L3C)3m(L33L23PC)3m131m3213123m131m第十七页，共五十九页，编辑于2023年，星期一第八讲

14种布拉菲格子旋转对称性晶系、参考轴初基P单胞(6)有心化新的点阵(有心8种)满足点阵条件+晶系不变P点阵中高对称位置加心(体心I,全面心F,单面心A,B或C双面心)14种布拉菲点阵旋转对称性六方格子特殊心菱形(三方)单胞第十八页，共五十九页，编辑于2023年，星期一立方P立方I,bcc立方F,fcc四方I四方P四方晶系立方晶系四方C=P≠A≠B四方F=I单面心破坏4个3次对称性！非点阵非点阵第十九页，共五十九页，编辑于2023年，星期一基元Basis点阵，Latticeab1234初基晶胞，primitiveunitcell晶胞，latticeunitcellOblique,a≠b

≠

90o第二十页，共五十九页，编辑于2023年，星期一何种格子、何种基元？晶体结构=点阵(布拉菲格子)+基元(点群)第二十一页，共五十九页，编辑于2023年，星期一点对称条件晶系点群四个三次轴三斜单斜正交四方三方六方立方1(E)或1(i)2(C2)或2(m)两个2(C2)或2(m)4(C4)或4(S43)3(C3)或3(S65)6(C6)或6(S35)布拉菲点阵PP,BP,C,I,FP,IPP,I,FP1(C1),1(Ci)m(C1h),2(C2),2/m(C2h)222(D2),mm2(C2v),mmm(D2h)42m

(D2d)4

(S4),422(D4),4/mmm(D4h),4mm(C4v),4/m(C4h),4(C4),3m(D3d)3(C3),3m(C3v),32(D3),3(S6),622(D6),6/mmm

(D6h),6mm(C6v),6/m(C6h),6(C6),62

(D3h)6

(C3h),23(T),m3(Th),432

(O),m3m

(Oh)43m(Td),第二十二页，共五十九页，编辑于2023年，星期一晶系点群布拉菲点阵73种点式空间群三斜单斜正交四方三方六方立方PPPPPPP1,1m,2,2/m222,mm2,mmm42m,4,422,4/mmm4mm,4/m,4,3m3,3m,32,3,622,6/mmm6mm,6/m,6,62m,6,23,m3,432,m3m43m,P1,P1Pm,P2,P2/mP222,Pmm2,PmmmP42m,P4,P422,P4/mmm,P4mm,P4/m,P4,P31m,P3,P3m1,P312,P3,P23,Pm3,P432,Pm3mP43m,Bm,B2,B2/mC222,Cmm2,Cmmm,I222,Imm2,ImmmF222,Fmm2,FmmmAmm2BCIFIP4m2I42m,I4,I422,I4/mmm,I4mm,I4/m,I4,I4m2RR3mR3,R3m,R32,R3,P321,P3m1P31m,P6m2,P6,P622,P6/mmm,P6mm,P6/m,P6,P62mIFI23,Im3,I432,Im3mI43m,F23,Fm3,F432,Fm3mF43m,第二十三页，共五十九页，编辑于2023年，星期一空间群：结晶学空间群就是能使三维周期物体(无限大晶体)自身重复的所有几何对称操作的集合，它构成数学意义上的群。

晶体的宏观外形可视作一个连续整体的有限图形，而晶体微观结构是不连续排列的原子在三维空间的无限展开。晶体宏观对称性是晶体结构(原子排列对称性)即微观对称的反映。点群中对称要素必须交于一点，只有方向的概念。微观对称性中对称要素无须交于一点，要引入平移和位置的概念。第九讲

空间群(I)：点式空间群第二十四页，共五十九页，编辑于2023年，星期一非点式对称操作۞

螺旋轴：11种，21；31、32；41、42、43；61、62、63、64、65۞

滑移面：a、b、c；n；d点对称操作：r’=Rr

r’=x’a+y’b+z’c

r=xa+yb+zc空间群操作：r’={R|t}r

=Rr

+

t(赛兹算符)

对非点式操作t=，是单胞的分数平移，而对于点式操作t=

=0第二十五页，共五十九页，编辑于2023年，星期一点式空间群：由全部作用于同一个公共点上的对称操作完全确定，或者说仅由点对称操作和平移对称操作组合而产生。۞

螺旋轴或滑移面不是其基本操作。۞

点式空间群在单胞中一定至少有一个位置具有与空间群点群相同的位置对称性空间群操作：r’={R|t}r

=Rr

+

t(赛兹算符)对非点式操作t=，是单胞的分数平移对于点式操作t=

=0{R|t}、{1|tn}、{R|0}、{R|}

第二十六页，共五十九页，编辑于2023年，星期一++++P1abc{1|tn}第二十七页，共五十九页，编辑于2023年，星期一++++P1,_,_,_,_+_,第二十八页，共五十九页，编辑于2023年，星期一++++++++P2abc第二十九页，共五十九页，编辑于2023年，星期一P2/m+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-反映面，镜面第三十页，共五十九页，编辑于2023年，星期一Pm+,-+,-+,-+,-第三十一页，共五十九页，编辑于2023年，星期一Bm+,-+,-+,-1/2+,1/2-+,-1/2+,1/2-1/4单斜B滑移面第三十二页，共五十九页，编辑于2023年，星期一+__+P222abc+__++__++__+纸面内二次轴第三十三页，共五十九页，编辑于2023年，星期一+__+C222abc+__++__++__++__+螺旋轴,21第三十四页，共五十九页，编辑于2023年，星期一++,,++++,,++++,,++++,,++Pmm2反映面第三十五页，共五十九页，编辑于2023年，星期一Pmmm+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-第三十六页，共五十九页，编辑于2023年，星期一abcP4++++++++++++++++第三十七页，共五十九页，编辑于2023年，星期一abcP4++_,_,++_,_,++_,_,++_,_,第三十八页，共五十九页，编辑于2023年，星期一abcP42m++,+,+__,,__++,+,+__,,__++,+,+__,,__++,+,+__,,__滑移面,n第三十九页，共五十九页，编辑于2023年，星期一abcP4m2++,+,+__,,__++,+,+__,,__++,+,+__,,__++,+,+__,,__xy第四十页，共五十九页，编辑于2023年，星期一abcP422++__+_+_++__+_+_++__+_+_++__+_+_螺旋轴,21第四十一页，共五十九页，编辑于2023年，星期一abcP4mm+++,+,++,++,+++,+,++,++,+++,+,++,++,+++,+,++,++,第四十二页，共五十九页，编辑于2023年，星期一P3++++++++++++第四十三页，共五十九页，编辑于2023年，星期一P6+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-+,-第四十四页，共五十九页，编辑于2023年，星期一第十讲

空间群(II)：非点式操作第四十五页，共五十九页，编辑于2023年，星期一360o/n(n=1,2,3,4,6)1(E,L1)2(C2,L2)3(C3,L3)4(C4,L4)6(C6,L6)1(i,C)2(σ,P),m3(S65,Li3)4(S43,Li4)6(S35,Li6)++,+_,旋转轴，n

旋转反演轴，n

点对称操作第四十六页，共五十九页，编辑于2023年，星期一2(C2,L2)+++_二次螺旋轴21++_++1/2++_a/2或b/2221二次旋转轴二次螺旋轴221平行于纸面无平行于纸面c/2a/2或b/2螺旋操作：螺旋操作是一种对称操作，它是由真旋转与平行于旋转轴的非初基平移结合而成的。{RI}r=Rr+第四十七页，共五十九页，编辑于2023年，星期一三次螺旋轴3132三次旋转轴三次螺旋轴三次反演轴331323无无c/32c/33(C3,L3)+++3+1/3+2/3+3132++2/3+1/3+第四十八页，共五十九页，编辑于2023年，星期一四次螺旋轴4142434(C4,L4)++++4+1/4+3/4+1/2+41+1/2+1/2++42+3/4+1/4+1/2+43四次旋转轴4四次反演轴四次螺旋轴434无无c/441422c/43c/4第四十九页，共五十九页，编辑于2023年，星期一六次螺旋轴6(C6,L6)++++++61656263646+1/6+1/3+1/2+2/3+5/6++1/3+2/3++1/3+2/3++1/2++1/2++1/2++5/6+2/3+1/2+1/3+1/6++2/3+1/3++2/3+1/3+六次旋转轴六次螺旋轴六次反演轴661656无c/65c/6626364无2c/63c/64c/6第五十页，共五十九页，编辑于2023年，星期一四次螺旋轴414243(41)1(41)2(41)3(41)n(41)2(42)1第五十一页，共五十九页，编辑于2023年，星期一滑移面：滑移面是由非真旋转2(m)与非初基平移结合而成的新对称操作，同样可由赛兹算符{RI}r=Rr+描述。晶体中有三种不同的滑移面：轴滑移、对角线滑移、金刚石滑移。轴向滑移：平移矢量平行于反映面(方向?)，大小是单胞轴长的一半。有a滑移、b滑移、c滑移。ab++，b/2b/2+ab++，a/2a/2+ab+_，b/2b/2+a/2a/2n滑移a滑移b滑移滑移面的方向由空间群符号确定！第五十二页，共五十九页，编辑于2023年，星期一对称轴符号符号对称轴图示符号沿轴向的右手螺旋平移特征一次旋转轴1一个反演轴二次旋转轴二次螺旋轴三次旋转轴三次螺旋轴三次反演轴2