第6章与概率分布

1北京师范大学心理学院

第六章概率与概率分布2Outline一、概率介绍二、概率与正态分布三、概率与二项分布四、关于推论统计3一、概率介绍1.1随机现象与随机事件1.2概率定义1.3概率运算的基本法则41.1随机现象与随机事件确定现象在一定条件下完全可以预言其一定出现或一定不出现的现象叫确定现象。其中：必然出现的现象叫必然现象。肯定不会出现的现象叫不可能现象。

随机现象在一定条件下，可能出现这样的结果、也可能出现那样的结果，而且事先并不能断定会出现哪样结果的现象叫随机现象。5随机现象中出现的各种可能的结果称为随机事件，简称事件。例如：向空中掷出一枚质地均匀的硬币，硬币落地时“正面向上”是一个随机事件，“正面向下”也是一个随机事件。从全体考生中任意取一名学生，其成绩“高于录取线”“等于录取线”“低于录取线”这三种结果分别为三个随机事件。通常用大写字母A、B、C等表示事件。1.1随机现象与随机事件61.2概率的定义观察一定条件下发生的随机事件称作随机试验，简称试验。一次试验中不同事件发生的可能性有时相等也有时不相等。向空中掷一个质地均匀的硬币，落地时正面向上为事件A，正面向下为事件B，事件A与事件B发生的可能性相等从某班（由30名男生18名女生组成）随机抽取一人，设抽中男生为事件A，抽中女生为事件B，则事件A发生的可能性大于事件B发生的可能性71.2概率的定义定义：反映事件在试验中发生的可能性大小的数量化指标叫做概率。介绍两种基本的、较易理解的概率定义。先验概率经验概率8先验概率当一次试验所有可能出现的结果是有限个（设为n个），且每个结果出现的可能性相等，若事件A包含m个可能结果时，则：1.2概率的定义符合事件A的结果的数目所有可能结果的总数事件A的概率=可能结果??9例1:掷一枚均勻的骰子，求掷出偶数的概率。可能的结果：{1，2，3，4，5，6}符合事件A(偶数)的結果：{2，4，6}可能结果的总数

n=6符合事件A的结果的数目m=310例2:一袋中有红球2个，兰球3个，白球5个，现从袋中随意抽出一球，求下列事件发生的概率。(a)抽得红球或白球(c)抽得的球並非白球(b)抽得黑球球的总数

=2+3+5

=10个

P(黑球)=0

P(並非白球)=P(红球或兰球)结论:P(不可能事件)P(必然事件)11例3:从一副52张扑克牌中随意抽出一张，求下列事件的概率是多少?一副扑克牌中有4种花色:黑色的黑桃

和梅花

紅色的紅心

和方块每种花色有13张牌。(a)抽得A (c)抽得红心A(b)抽得梅花牌 (d)抽得红心牌或A12例3:从一副52张扑克牌中随意抽出一张，求下列事件的概率是多少?(a)抽得A (c)抽得红心A(b)抽得梅花牌 (d)抽得红心牌或A(a)P(A)=(b)P(梅花)=(c)P(红心A)=(b)P(红心牌或A)=13例4:一个家庭有3个孩子。求下列事件的概率: (a)这个家庭有3个男孩。

(b)这个家庭有2个男孩和1个女孩。

(c)这个家庭至少有1个男孩。设B代表男孩，G代表女孩。可能的结果是可能的结果的数目=8(a)P(BBB)81(c)P(至少有1个男孩)(b)P(2B1G)83=1-P(沒有男孩)BBBBBGBGBBGGGBBGBGGGBGGG14随机取样随机取样：在总体中的每个个体都有相等的机会被选择，或者选择一个个体的概率与选择任意另外一个个体的概率必须相同。要求一保证了在选择程序中不存在偏差；要求二其实是返还取样。151.2概率的定义经验概率有些情况很难按照概率的古典定义去计算某一事件的概率。例如：研究青少年的犯罪率；某种新药在治疗中的有效率，等等这类现象不确定因素较多，不满足“基本事件个数有限”；“每个基本事件发生的可能性相等”的先验概率条件161.2概率的定义经验概率计算某事件在一系列试验中发生的次数，然后计算发生次数与试验总次数的比值得到的频率在不变的条件下重复进行n次试验，事件A发生的频率随着n的增大，逐渐逼近某一数值，这个数值即事件A的概率当试验次数n很大时，一般以事件A发生的频率去估计其概率P(A)17掷一枚均勻的骰子，掷出'1'的概率0.167现在做一实验，掷一枚不均勻的骰子多次，其结果如下:此为先验概率此为经验概率掷出'1'的概率点数123456次数188131074=0.3掷骰总次数

=18+8+13+10+7+4=601.2概率的定义18经验概率

—由试验的结果计算出的概率事件A的经验概率=事件A发生的次数试验的总次数n→∞随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈现出一定的规律性．

19历史上曾有人做过抛掷硬币的大量重复试验，结果如下表：72088抛掷次数正面向上次数频率（）204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120500530000149840.4996361240.5011当抛掷硬币的次数很多时，出现正面的频率值是稳定的，接近于常数0.5，在它左右摆动．

200.9510.9540.940.970.920.9优等品频率19029544701949245优等品数2000100050020010050抽取球数某批乒乓球产品质量检查结果表：当抽查的球数很多时，抽到优等品的频率接近于常数0.95，在它附近摆动。1.2概率的定义21概率的加法如果A、B不可能同时发生，那么它们至少有一个发生的概率是：例:从去掉大小王的一副扑克牌中随机抽到黑桃Q的概率是1/52，而抽到一张红心的概率是1/4；因此“抽到黑桃Q或者红心”的概率是1/52+1/4=7/26。1.3概率运算的基本法则22概率的乘法（独立事件）如果A、B相互不产生影响，那么它们同时发生的概率是：例:一个毕业生给三家单位各发一份求职信，被拒绝的概率分别是1/2，2/3，3/4；那么他一份工作都找不到的概率是

1/2×2/3×3/4=¼＝0.25或者说他至少能找到一份工作的概率是

1-0.25=0.75。1.3概率运算的基本法则23概率的乘法（非独立事件）而当A与B不相互独立时，往往在已知事件B发生的条件下去计算事件A的概率，这时称为在B发生的情况下A的条件概率，记做；同样在A发生的情况下B的条件概率为，这时：两个事件之积的概率等于其中一个事件的概率乘以在它发生的条件下另一事件的条件概率。即1.3概率运算的基本法则24例:某中学初二年级学生参加课外小组的情况如下：外语数学天文未参加任何小组合计男727184092女12155558719422395179若从该年级任取一名学生，则该生是男生的概率;是外语小组成员的概率;是男生且为外语小组成员的概率;是女生且为外语小组成员的概率分别为多少？1.3概率运算的基本法则25解：令“该生是男生”为事件A；“该生是女生”为事件B“该生是外语小组成员”为事件C则“该生是男生且为外语小组成员”为事件A∩C“该生是女生且为外语小组成员”为事件B∩C从题目所给数据可知：1.3概率运算的基本法则26根据乘法定理：1.3概率运算的基本法则27练习例1：某一学生从５个试题中任意抽取一题，进行口试。如果抽到每一题的概率为1／5，则抽到试题１或试题２的概率是多少？如果前一个学生把抽过的试题还回后，后一个学生再抽，则４个学生都抽到试题1的概率是多少？28抽到第一题或第二题的概率应为抽到第一题的概率和抽到第二题的概率之和，即四个学生都抽到第一题即四个学生同时抽到第一题，其概率应为抽到第一题的概率的乘积，即29例2：从30个白球和20个黑球共50个球中随机抽取两次（放回抽样），问抽出一个黑球和一个白球的概率是多少？30抽出一个白球的概率为3／5,抽出一个黑球的概率为2／5。抽出一个黑球和一个白球的情况应包括先抽出一个黑球、后抽出一个白球和先抽出一个白球、后抽出一个黑球两种情况。因此：31二、概率与正态分布2.1随机变量2.2概率分布2.3正态分布2.4标准正态分布2.5正态分布应用实例2.6正态分布在测验计分方面的应用322.1随机变量什么是随机变量随机试验的结果可以用变量来表示，此时的变量是对随机现象的描述，因此称作随机变量.一般也用大写字母X、Y、Z…来标记。33例如，在主楼前面随机抽取3名学生是一次随机试验，抽到“射手座”学生的个数有几种情况？0个人，1个人，2个人，3个人。共四种用随机变量X表示其4种可能结果时记为X＝0、X＝1、X＝2、X＝3。也常记做{X＝i}其中i＝0、1、2、3。2.1随机变量34随机变量按其取值是否连续，可分为离散型和连续型两种类型。1、离散型随机变量如果随机变量X只能取可数的或有限个值，则称X为离散型随机变量。例如，从班上随机抽取10名学生的试验，所得的男生人数是离散可数的，即随机变量X只能取0、1、2、…彼此之间不可能再取值。离散型随机变量的取值都可以一一列出来2.1随机变量352、连续型随机变量如果随机变量X所可能取的值不能一一列举，只能以一个区间表示，则称X为连续型随机变量。例如，试验中的事件所代表的是长度、重量、智力等连续数据，那么表示事件的随机变量是连续型随机变量。它的形式不能是{X=x1}、{X=a}等等，而是{X>1}、{a<X<b}等等。2.1随机变量36连续型随机变量举例试验

随机变量

可能取值

测量人的体重

重量

45.1,78,...检测零件寿命

小时

900,875.9,...食品花费

费用

54.12,42,...2.1随机变量37概率分布是指随机变量取值的概率分布，也称随机变量的分布。在实际应用中常常根据频率分布的形态对概率分布的形态做近似的估计。例如：根据500次掷硬币的实际结果做的频率分布，“正面向上”及“正面向下”的频率接近0.5，因此可以估计掷硬币的随机试验中正面向上和正面向下的概率均为0.5。随机抽取200名儿童进行智力测验，结果智商的频率分布很接近正态分布，因此估计儿童智力的概率分布为正态分布。2.2概率分布38离散型数据的分布连续型数据的分布数据分布的类型2.2概率分布39（一）离散型随机变量的分布1、离散型随机变量的概率分布由于离散型随机变量所取的值是可数的、可以将一个一个孤立的数值与取该值的概率一一对应地列出，使随机变量的取值规律得以直观反映，所列出的取值与其所对应的概率称作离散型随机变量概率的分布列。2.2概率分布40例：某学生对三道是非判断题完全不会，只凭猜测来回答，则其“猜对题数”的概率分布如何？解：猜的结果有以下8种：A＝{对对对、对对错、对错对、错对对、错对错、错错对、对错错、错错错}猜对3道题包含1个基本事件：对对对猜对2道题包含3个基本事件：对对错、对错对、错对对；猜对1道题包含3个基本事件：错对错、错错对、对错错猜对0道题包含1个基本事件：错错错。2.2概率分布41因此，“猜对题数”的概率分布列为：x0123P(X=x)1/83/83/81/8从其概率分布还可以进一步计算：猜对两道及两道以上题目的概率

P（X≥2）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＝3/8+1/8=0.5

猜对不超过一道题的概率P（X≤1）

P（X≤1）＝P（X＝1）＋P（X＝0）＝3/8+1/8=0.52.2概率分布422、绘出概率分布图横轴为随机变量X的取值x1、x2…等，纵轴为与x1、x2…对应的P(x1)、P(x2)…图5-4离散型随机变量概率分布图例如，上面的分布列做出图来即：2.2概率分布43（二）连续型随机变量的分布连续型随机变量的取值无法一一列举，因此无法用分布列的形式描述其概率分布，常用数学模型来表示随机变量X在不同情况下的概率分布。2.2概率分布44当X为连续型随机变量，且存在一个非负可积函数使得∫表示积分，dx表示x的微分则称为X的概率密度函数或简称密度函数，由于的概率为1，所以2.2概率分布45连续型随机变量的概率分布也可以用图来表示：如图，函数f(x)可以直观地表现随机变量X在某点附近取值的概率分布特征。概率密度(曲线底下面积)随机变量值注意：f(x)不是x＝a的概率，它反映概率集中在a点的程度，“概率密度”即由此而来。性质：a点的概率密度f(x)abx2.2概率分布46概率就是密度曲线下的面积!P(c≤x≤d)f(x)dxcdcdf(x)xTips2.2概率分布47离散型数据的分布二项分布泊松分布连续型数据的分布均匀分布正态分布对数正态分布指数分布2.2概率分布48正态分布也称常态分布，是连续型随机变量中最重要的概率分布。又称作高斯分布。在实践中应用十分广泛，许多随机变量都服从正态分布。正态分布是很多统计理论的基础。根据正态分布可以推导出其它有用的分布。2.3正态分布49

= 正态分布的标准差x = 随机变量X的取值(-<x<) = 正态分布的平均数

= 3.14159;e=2.71828若连续型随机变量X的概率密度函数为则称X服从正态分布，记做式中：2.3正态分布50正态分布密度曲线平均数xf(x)μ根据正态分布密度函数可以画出以下正态分布曲线，简称正态曲线。2.3正态分布51正态分布的特点正态分布曲线是一个中间最高，两边逐渐下降，两端永远不与横轴相交，两侧完全对称的钟形曲线。正态曲线关于X＝

对称；正态曲线是单峰，在X＝

时f(x)有最大值；X＝

＋

两点是正态曲线的拐点，即曲线由中央向两侧逐渐弯曲时，在拐点改变弯曲方向；正态曲线两端无限延伸，逐渐接近X轴但不与X轴相交。越来越近，但永不相交2.3正态分布52正态分布中的两个参数

与，即均值与标准差决定了正态曲线的形状。123Xf(X)

图

标准差相同，均值不同（）的正态分布2.3正态分布53Xf(X)图

均值相同，标准差不同（>>）的正态分布2.3正态分布54改变参数(&)对正态分布曲线的影响CABxf(x)曲线A和B均值相同，标准差不同；曲线A和C均值不同，标准差相同2.3正态分布55决定曲线位置和形态的关键数值是分布的平均数和标准差。当标准差大时，曲线形态低宽，当标准差小时曲线形态高窄。平均数决定曲线在横轴上的位置。有多少对平均数值和标准差值的组合就有多少条正态分布曲线。平均数为0，标准差为1的正态曲线，统计中规定它为标准正态曲线。2.3正态分布56正态分布的特殊概率值如前所述，对于连续型随机变量，其任意区间的概率计算为在正态分布中，变量X的取值在任意a、b之间的概率可以用图中阴影部分的面积表示。f(x)abx2.3正态分布57正态分布的特殊概率值（续）对于正态分布，有：2.3正态分布58X68.3%95.4%99.7%图5-6、、之间的概率mμ-σμ-2σμ+σμ+2σμ+3σμ-3σ2.3正态分布5990%样本95%样本99%样本正态分布的特殊概率值（续）更常用的区间：2.3正态分布60平均数为0，标准差为1的正态曲线，被规定为标准正态曲线任何一条正态分布曲线都可以转化为标准正态曲线，方法就是将原来的数据变为标准分数Z分数。由的转换称作X的标准化。2.4标准正态分布61若X为正态随机变量，即，则经过标准化后的Z服从，的正态分布，即，对于这个标准正态分布，其密度函数为：2.4标准正态分布62与各不相同的正态分布，正态曲线的形态也不尽相同，经过标准化后都可转换成标准正态分布，因而计算概率比较方便。例如：所以，根据标准正态分布表可以很方便的解决任何正态分布的概率计算问题!重要！2.4标准正态分布63标准正态分布是我们应用最多的分布形态。与其它正态分布曲线一样，它的曲线下的面积为1，以平均数处的纵轴成轴对称。该轴将曲线下面积分为相等的两部分，各为0.5。平均数点的Z值为0，整个曲线下的横轴近似为六个标准差，三个正，三个负。正态分布表就是根据标准正态分布的这些特点建立起来的。2.4标准正态分布64认识标准正态分布表一般标准正态分布表中与对应的数值有两个1.正态分布的纵坐标（常以y表示），即点的概率密度；2.曲线下的面积（常以P表示），即正态分布的积分值，表示某区间的概率。标准正态分布关于Z＝0对称，因此，绝大多数的标准正态分布表只列出与Z>0对应的面积，若Z<0时，只需查，然后根据情况利用其关于Z＝0对称再确定所求的面积。2.4标准正态分布65任意正态分布，例如Zx-

m=s标准正态分布正态分布的标准化有无穷种平均分和标准差的组合，就有无穷个正态分布，就有无穷个正态分布表！xm=3.5s=1.50m=0s=1

z就一个概率分布表！2.4标准正态分布66标准化举例已知正态分布：xm=5s=106.2求P(5<X<6.2)解题思路：a）任意正态分布标准化b）求区间相应上下限的Z值c）查表求概率2.4标准正态分布67标准化举例Z2

=X-

m=s6.2-510=.120.12xm=5s=106.2m=0s=1

zZ1

=0P=0.04782.4标准正态分布68通过标准化，所有不同的正态分布的概率问题，都将转化成标准正态分布的概率问题，只需要查一个表——标准正态概率分布表2.4标准正态分布69例：

一般认为各种考试成绩服从正态分布。假定在一次公务员资格考试中，平均成绩是

60分，标准差是10分；甲同学考了75分，问他应该如何看待他的这个成绩？解：

首先把这个数据转化成z

变量。

z1=(75-60)/10=1.5；

p值为

0.43319，则0.5-0.43319=0.06681即大约只有不到百分之七的考生的成绩能比他的更好。

70如果某个人只考了40分，那么转化成z变量的值是：Z2=(40-60)/10=-2，相应的p值是0.47725,0.5-0.47725=0.02275，即只有大约百分之二人的成绩比他的更糟糕。71你是某电器生产厂家的质量监控员。已有资料表明，电灯泡的寿命是正态分布的，平均数=2000

小时，标准差=200

小时。请问，一个灯泡能够照明以下小时的概率是多大A.2000

到

2400

小时之间?B.

不到1470小时?2.5正态分布应用实例72解题：P(2000

X

2400)xm

=2000s

=2002400正态分布zm

=0s

=12.0

.4772标准正态分布Z2

=X-

m=s2400-2000200=2.02.5正态分布应用实例73解题：P(X1470)xm

=2000s

=2001470正态分布zm

=0s

=1-2.65.4960

.0040.5000标准正态分布Z=X-

m=s1470-2000200=-2.652.5正态分布应用实例74zm

=0s

=1?（1）已知概率求标准分.1217如果

P(Z)=P(0≤z≤Z2)=.1217，那么Z2

＝?2.5正态分布应用实例75标准正态分布表(部分)已知P(Z)=.1217，求z=?zm

=0s

=1?.12172.5正态分布应用实例76已知P(Z)=.1217，求z=?zm

=0s

=1.31.1217标准正态分布表(部分)2.5正态分布应用实例77正态分布（2）已知概率求随机变量值xm

=5s

=10?.12172.5正态分布应用实例78正态分布xm

=5s

=10?.1217标准正态分布

.1217zm

=0s

=1.312.5正态分布应用实例79正态分布标准正态分布

.1217

.1217xm

=5s

=10?zm

=0s

=1.312.5正态分布应用实例80练习订阅者阅读《北京日报》的平均时间是49分钟，假定标准差是16分钟并且读报时间呈正态分布一名订阅者至少花1小时读报的概率？一名订阅者读报时间不超过30分钟的概率？10%读报时间最长的人至少读报多少分钟？81解答求P(X>60)

当X=60，Z=(60-49)/16=11/16=.69

P(X>60)=P(Z>.69)=0.5-P(0<Z<0.69)=.2451求P(X<30)

当X=30，Z=(30-49)/16=-19/16=-1.19

P(X<30)=P(Z<-1.19)=0.5-P(0<Z<1.19)=0.5-.3830=.1170求标准分Z使得P(z>Z)=.10亦即P(0.5<z<Z)=.40，查表得Z=1.28，X=49+(16)(1.28)=69.48

因此，10%花费最多时间读报的人至少读报69.48分钟82练习美国人第一次结婚的平均年龄为26岁，假设第一次结婚的年龄为正态分布，标准差为4年一个美国人第一次结婚时年龄小于23岁的概率？一个美国人第一次结婚时年龄在20-30岁间的概率？90%的美国人在多大年龄以前第一次结婚？.2266;.7745;31.12岁832.6正态分布在测验计分方面的应用1．以标准分数表示考试成绩比较学生的考试成绩时，使用原始分数有其不合理之处：⑴原始分制度没有提示考生成绩在考生团体成绩中的位置。⑵由于各科命题难度不同，导致各科原始分之间不能直接比较，造成分数解释上的困难。⑶各科原始分相加不合理。

84采用标准分数，有如下特点：⑴标准分的大小，既表明考生水平的高低，也表明该生在考生团体中的位置的高低。⑵各科标准分都表示考生各科在同一团体中的位置，可根据标准分大小直接比较考生的各科成绩水平。⑶各科标准分的参照点（平均分为500分）和单位（1个标准差为100分）都一样，具有可加性,克服了原始分的缺陷。852．确定等级评定的人数如要将某种能力的分数分成等距的几个等级，在确定各等级人数时，可将正态分布基线上Z＝－3至Z＝＋3之间6个标准差的距离分成相等的几份，然后查表求出各段Z值之间的面积，再乘以总人数，即为各等级人数。862．确定等级评定的人数[例]要想把100人在某一能力上分成5个等级，各等级应该有多少人，才能使等级评定做到等距？按上述步骤，计算如下：6σ÷5=1.2σ，要使各等级等距，每一等级应占1.2个标准差的距离。确定各等级的Z分数界限，然后查表。分组各组界限比率P人数A1.8σ以上0.03594B0.6σ—1.8σ0.238424C-0.6σ—0.6σ0.451444D-1.8—-0.6σ0.238424E-1.8以下0.03594N=100873．品质评定数量化在心理与教育研究中,常常遇到等级评定的结果。但是不同评定者的评定结果往往不一致，无法综合他们的评定结果，而且等级分数不是等距数据，不同事物的评定结果不能直接比较。将品质评定的结果转化为数量结果，就可解决这些问题。88具体方法根据各等级被评者的数目求各等级的人数比率；求各等级比率值的中间值；求各等级中点以上（或以下）的累积比率；用累积比率查正态分布表；求被评者所得评定等级的数量化值的平均值。3．品质评定数量化下表是3位教师对100名学生的学习能力所作等级评定结果，由于各自的标准不同，最后评出各等级的人数不同。等级评定教师甲乙丙A51020B252025C404035D252015E5105总数100100100等级教师甲教师乙教师丙PZPZPZABCDE学生教师评定等级平均成绩1BAA(0.94+1.65+1.28)/3=1.292ABA(1.96+0.84+1.28)/3=1.363DCC(-0.94+0-0.32)/3=-0.4290三、二项分布二项分布（bionimaldistribution）是一种具有广泛用途的离散型随机变量的概率分布，它是由贝努里创始的，因此又称为贝努里分布。二分类数据，观察对象只有相互对立的两种结果例如：生存、死亡及格、不及格发病、不发病正面、反面91三、二项分布3.1二项分布的定义3.2二项分布图3.3二项分布的应用923.1二项分布的定义设有n次相互独立的试验，任何一次试验恰好有两个结果A与~A，若事件A出现的概率均为p，不出现的概率为q=1-p，那么在n次试验中，事件A出现x次的概率为：

x=0,1,2,…,n

则称X服从参数为n和p的二项分布93例子一个正常20岁的成年人活至65岁的概率为80%，请问三个成年人中有两人活到65岁的概率为？

生存率p=80%

死亡率q=1-p=20%94953.1二项分布每一个人存活至65的概率为80%，三人中有两人可以存活至65:(0.8)2一人死亡的概率：(0.2)1根据上图我们知道这种情形共有(ssf)(sfs)(fss)三种:

C32=3!/(2!(3-2)!)=396练习：从男生占２/５的学校中随机抽取６个学生，问正好抽到４个男生的概率是多少？最多抽到２个男生的概率是多少