《几何概型》说课稿(附教学设计)

《几何概型》说课稿一、本课数学内容的本质、地位、作用分析：前面已经学习过了第二章统计和第三章概率的前两节内容，概率是研究随机现象规律的学科，它为应用数学解决实际问题提供了新的思想和方法，同时为统计学的发展提供了理论基础。由于概率统计的应用性强，有利于培养学生的应用意识和动手能力，在数学课程中，加强概率统计的份量成为必然。“几何概型”这一节就是新增加的内容，是安排在“古典概型”之后的第二类概率模型，是对古典概型内容的进一步拓展，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸，同时也更广泛地满足了随机模拟的需要。几何概型的关键是建立合理的几何模型解决相关概率问题，通过建立基本事件与相应元素的对应，达到求解相关概率问题的目的，体现了数形结合的数学思想，是概率问题与几何问题的一种完美结合。本节内容极能体现新课程理念，可以成为“知识与技能、过程与方法及情感态度价值观”三个纬度目标有机融合的重要载体，从而实现三位一体的课程功能。二、教学目标分析：根据上述教材分析，结合学生已有的认知结构，我确定本节课的三维教学目标如下：（1）知识与技能：了解几何概型的两个特点；能识别实际问题中的概率模型是否为几何概型；会利用几何概型公式对简单的几何概型问题进行计算。（2）过程与方法：学生通过自主探究，经历概念产生与发展的过程，体验数学发现与创造的历程，进一步培养学生观察、分析、联想、类比等逻辑推理能力，渗透化归、数形结合等思想方法，提高学生的数学素养。（3）情感、态度与价值观：本节课选材取例均来源于生活，学生积极参与探究，进一步树立数学是来源于生活而又服务于生活的意识，把丰富的生活感知与数学理性有机融合起来，让学生感受生活中处处有数学，体会数学对自然与社会所产生的作用，使学生充分认识数学的价值，习惯用数学的眼光解决生活中的问题。三、教学重难点分析：几何概型概念中的核心是它的两个特征：（1）试验中所有可能出现的基本事件有无限多个。（2）每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）。尤其是特征（2），学生如果理解不到位，很容易在做题中出现错误，所以我确立教学的重点为：理解几何概型的定义，会用公式计算概率；难点为：1、等可能性的判断，对几何概型中基本事件的构成分析2、将实际问题转化为几何概型四、学情教法分析：按照教材设计，本节计划分两课时完成。第一课时为几何概型，第二课时为均匀随机数的产生。第一课时中如果简单介绍概念，而后大量利用练习巩固概念，缺乏几何概型形成过程的教学势必对而后随机模拟的学习带来不小的麻烦。因而我利用[创设情境]、[实验探究]、[随机模拟]等教学手段，让学生自主参与探究学习活动，充分向学生展示几何概型概念形成的过程，而避免简单直接呈现概念。对于高二的学生，知识经验已较为丰富，具备了较强的自主探究能力和概括归纳能力，所以本节课在教学方法上通过让学生亲历实验、观察蕴含在生活当中的问题，从中体会几何概型特点及其概率计算公式的几何意义，让学生在动手操作中，经历概念数学化的过程，让学生在感性活动基础上，浓墨重彩的勾画概念的建构过程，激发思维从困惑、迷茫直至清晰、透彻，从而让学生的思维从感性上升到理性。五、本节课的教法特点以及预期效果分析：本节课由（一）创设情境—导入新课（二）实验探究—形成概念（三）讨论研究—深化概念（四）应用举例—巩固新知（五）总结反思—提高认识（六）任务后延—自主探究六个教学环节构成。（一）创设情境—引入新课：正如本册教材主编寄语中所说：“数学是自然的，数学概念不是强加于人的。”创设情境时，学生举一个例子，老师举一个例子，老师自然启发，学生思考作答，一问一答间既复习了古典概型的知识，又引出了几何概型的知识。这样就避免了简单直接呈现概念，突出了本节课的重点，过程中师生平等交流，学生的课堂主体地位得到体现，和谐的师生交流必将打造和谐的课堂。（二）实验探究—形成概念：几何概型概率公式学生借已有知识经验归纳得出，我设计了一个实验环节对其准确性进行验证。这样，通过实例猜想公式，再设计试验模拟验证公式的准确性，最后应用公式解题，这就形成了我们数学上的由特殊到一般再到特殊的完备的知识体系。经过这样的过程，就突出了本节的教学重点，避免了课堂教学简单化、机械化，体现了新课程理念，真正实现了三个维度目标的有机融合。（三）讨论研究—深化概念：为了进一步深化几何概型概念，我设计了两个环节：①对古典概型和几何概型的异同点进行对比，强化学生对几何概型概念的理解。②对几何概型求概率的问题程序化。本环节的设计具有很强的针对性，对两种概率模型的异同点进行类比分析，可以使学生准确的区分两种概型；学生已学习了第一章算法初步，对求几何概型概率的问题程序化，可以使学生的解题思路更加清晰准确。（四）应用举例—巩固新知：本节一个难点就是例3中将实际问题转化为几何概型求解，为了有效地突破该难点，我大胆创新地进行了教材重组，在课本例题的基础上增加一问。增加了一问就给学生创设了一个循序渐进的过程，搭建了一个类比分析的平台，从而有效地实现该难点的突破。（五）总结反思—提高认识：引导学生主动建构，形成知识体系，归纳解题方法，体会数学思想。（六）任务后延—自主探究：分层次布置作业，指导学生利用实物模拟实验，激发学习兴趣。总之，该节课为了达到预期目的围绕一条主线：几何概型的概念及其特征体现两个观点：新课改下，正确的学生观和教师观，实现了三个目标：知识与技能、过程与方法、情感、态度价值观而上述任务的完成，是通过六步教学法：导入新课导入新课创设情境形成概念实验探究深化概念讨论研究巩固新知应用举例提高认识总结反思自主探究任务后延环环相扣，前后呼应而实现。《几何概型》教学设计教材分析教材的地位和作用“几何概型”是继“古典概型”之后的第二类等可能概率模型，在概率论中占有相当重要的地位，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸，是为更广泛的满足随机模拟的需要而新增加的内容，这充分体现了数学与实际生活的紧密关系。《几何概型》共安排2课时,本节课是第1课时，注重概念的建构和公式的应用，为第二课时的几何概型的应用以及体会随机模拟中的统计思想打下基础。教学重点与难点重点：掌握几何概型的判断及几何概型中概率的计算公式。难点：在几何概型中把实验的基本事件和随机事件与某一特定的几何区域及其子区域对应，确定适当的几何测度。通过数学建模解决实际问题。[理论依据]本课是一节概念新授课，因此把掌握几何概型的判断及几何概型中概率的计算公式作为教学重点。教学难点是在几何概型中把实验的基本事件和随机事件与某一特定的几何区域及其子区域对应，确定适当的几何测度。此外，学生通过数学建模解决实际问题也较为困难，因此也是本节课的难点。二、教学目标[知识与技能目标]（1）体会几何概型的意义。（2）了解几何概型的概率计算公式[过程与方法目标]通过古典概型的例子，稍加变化后成为几何概型，从有限个等可能结果推广到无限个等可能结果，让学生经历概念的建构这一过程，感受数学的拓广过程。通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力，感知用图形解决概率问题的方法。[情感与态度目标]体会概率在生活中的重要作用，感知生活中的数学，激发提出问题和解决问题的勇气，培养其积极探索的精神。三、教学方法，教学模式，教学手段本节课采用以引导发现为主的教学方法，以归纳启发式作为教学模式，结合多媒体辅助教学。四、学法指导通过合作交流，类比联想，归纳化归，总结提升，让学生在学习中学会怎样发现问题、分析问题、解决问题。五、教学过程教学环节教学内容设计意图以境激情，形成概念建构概念[情境一]情境一：飞镖游戏：如图所示，规定射中红色区域表示中奖问题：各个圆盘的中奖概率各是多少？（1）（2）（3）[情境二]问题1：在区间[0，9]上任取一个整数，恰好取在区间[0，3]上的概率为多少？问题2：在区间[0，9]上任取一个实数，恰好取在区间[0，3]上的概率为多少？对课本通过等分猜想引入几何概型的改造，通过学生猜想依次得到概率。首先是将圆盘五等分，概率的求解十分容易，预计学生可能将飞镖分别射在五个相同的扇形区域作为五个等可能基本事件，从而概率的求解仍然停留在古典概型上。第二种圆盘的三块区域圆心角之比为1:2:3。圆盘(2)的求解虽然可以由等分的观点得到答案，但图形淡化了等分。第三种圆盘两圆的半径之比为1:2，实现了完全的面积化，古典概型已经完全淡出了学生的思考范围。在这一情境中，以学生为主体的直观知识进行猜想，设置三个环节创造性的使用教材，通过三个圆盘的变化，逐步实现从有限到无限，从古典概型到几何概型的过渡，让学生感受数学的拓广过程。同时在这一情境中，首先在学生的思维里呈现面积这一几何测度。[情境二]的设置是从学生熟悉并且容易解决的一个古典概型问题，稍加修改，转变成为一个几何概型的问题，进一步从等可能性、无限性两方面来区别古典概型与几何概型，深化学生对几何概型意义的体会，同时在学生的思维里呈现长度这一几何测度。几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.几何概型中事件A的概率计算公式基于[情境一]和[情境二]的分析，不难引导学生得到几何概型的概念，并从两个几何概型概率问题的解决过程中归纳概括得到几何概型中的概率计算公式。这一概念的形成过程符合学生“研究新问题——产生内在需求——解决新问题”的认知规律。而归纳是一种重要的推理方法，由具体结论归纳概括出定义能使学生的感性认识升华到理性认识，培养学生从特殊到一般的认知方法，实现体会几何概型的意义和了解几何概型概率公式的知识与技能目标。在这一情境中，用生动的图形，动态演示，比较变化，向学生展现几何概型中随机事件的概率大小只与该区域的长度（面积或体积）成比例，易于学生理解和接受同时令学生印象深刻。[情境三]如图所示的边长为2的正方形区域内有一个面积为1的心形区域,现将一颗豆子随机地扔在正方形内计算它落在阴影部分的概率（不计豆子的面积且豆子都能落在正方形区域内）[情境四]请问飞镖射中靶心A的概率是多少AA为了揭示概率与事件发生可能性的内在联系，我在[情境四]设置了这样一个问题。这个问题的难点在于点的面积。为此我借助动画，让红色圆面的半径不断缩短至靶心A点，直观的用极限思想解释了事件发生区域为一个点时，半径为0，面积为0，从而突破了情境中的难点，而求解得出的结论恰恰与学生认知结构中概率为0是不可能事件发生了强烈冲突，极大的调动了学生的思考热情，通过这一矛盾冲突的解决，延伸发展，揭示出几何概型与古典概型的一大区别，升华了学生的认识，实现了发现问题、积极探索、解决问题的情感目标。情境一到情境四分步骤抓住教学重点，逐步深化几何概型的意义和内涵，从而达到建构和完善学生认知结构的目的。配合表格的完成和说明，帮助学生梳理概念，加深印象。剖析例题，深化巩固例题1：在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一点P，则点P到点A的距离小于等于1的概率为变式1：在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的面AA1B1B上任取一点P，则点P到点A的距离小于等于1的概率为变式2：在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中任取一点P，则点P到点A的距离小于等于1的概率为辨析：如图所示，正方体容器内倒置一个圆柱形容器，随机向正方体容器内投掷一颗豆子（假设豆子都能落在正方形A1B1C1D1区域内且豆子面积不计）.试问：豆子落入圆锥形容器内的概率是多少？辨析变式：如图所示，正方体容器内倒置一个圆锥形容器，随机向正方体容器内投掷一颗豆子（假设豆子都能落在正方形A1B1C1D1区域内且豆子面积不计）.试问：豆子落入圆锥形容器内的概率是多少？例题2：设点P是三角形ABC内部的一点，当P点运动时，试求S△PBC≤S△ABC的概率.AABCP12EF几何概型的概率公式中，几何测度的选择是本节课的难点之一，为了突破这一难点，我设计以下三个同例变式通过解决三个具体问题，让学生经历公式的应用过程，三个例子形成梯度分散难点，逐步拓展学生的想象空间，逐一呈现了公式中的三个几何测度。同时将多媒体技术与课堂教学有机整合，提高课堂效率，教学目的性明确，实现掌握几何概型概率公式的目标，突破测度选择的教学难点。本题有两个明显的几何测度：面积与体积，在测度的选取上产生了认知冲突，利用实物模型做实验，逐步引导学生做出正确的测度选择。本例题作为一道测度选择的辨析题，能够进一步提高学生选择测度的能力。本例题的设置目的在于让学生利用已有知识，转化问题，找到满足条件的P点所在的区域，经历基本事件发生区域的寻找过程，回归公式应用的前提，确定构成事件A发生的几何区域。实际应用，建立模型例题3：某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.全部结果构成的区域：[0,60]构成事件的区域：[50,60]从实际问题中建立数学模型，抽象数学语言和符号，是高中数学学习的一大难点。将得出的科学结论用于解决实际问题，有利于进一步巩固获得的知识，发展数学能力。例题3是关于数学建模的一道实际应用题。首先我分解本题的两个难点。难点是基本事件的确定，难点二是几何测度的优化选择。针对难点一，我利用实物，通过实验得出结论，突破难点。确定了构成事件的区域后，由于钟表外观具有明显的几何特征，我预计学生可能会选择弧长、圆心角、甚至扇形面积等作为测度，当然都可以得到问题的解决，而当以角度作为变量时，弧长和面积均与角度成正比关系，故这三种测度的选择在本质上是相同的。为了让学生对这一实际问题的本质有进一步的认识，优化测度选择，我圆盘形钟表换成了电子钟，突破课本的设计理念，引导学生认识到弧长、角度、面积这些测度本质上就是时间区域的长度，从形到数的转变，实现了测度的优化选择，揭示出数学的本质，突破了难点二。梳理知识，归纳总结概念、知识点表格在这一环节，通过学生回顾，教师加以适当总结和提炼，突出本节课的重点，加深学生对所学知识的印象。同时注重引导学生对解题思路和方法的总结，让学生知道理解概念是关键，掌握公式是前提，实际应用是深化。分层作业，启迪升华1、探究题：甲、乙、丙三人做游戏，游戏规则如下：要将一枚质地均匀的铜板扔到一个小方块上，已知铜板的直径是方块边长的1/2，谁能将铜板完整的扔到这块方块上就可以晋级下一轮。已知，甲一扔，铜板落在小方块上，且没有掉下来，问他能晋级下一轮的概