第1讲　平行截割定理与相似三角形

第1讲平行截割定理与相似三角形【2013年高考会这样考】考查相似三角形的判定和性质定理的应用及直角三角形的射影定理的应用．【复习指导】复习本讲时，只要掌握好教材上的内容，熟练教材上的习题即可达到高考的要求，该部分的复习以基础知识、基本方法为主，掌握好解决问题的基本技能即可.基础梳理1．平行截割定理(1)平行线等分线段定理及其推论①定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等．②推论：经过梯形一腰的中点而且平行于底边的直线平分另一腰．(2)平行截割定理及其推论①定理：两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成比例．②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，截得的三角形与原三角形的对应边成比例．(3)三角形角平分线的性质三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比．(4)梯形的中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．2．相似三角形(1)相似三角形的判定①判定定理a．两角对应相等的两个三角形相似．b．两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．c．三边对应成比例的两个三角形相似．②推论：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．③直角三角形相似的特殊判定斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．(2)相似三角形的性质相似三角形的对应线段的比等于相似比，面积比等于相似比的平方．(3)直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上射影与斜边的乘积，斜边上的高的平方等于两条直角边在斜边上射影的乘积．双基自测1．如图所示，已知a∥b∥c，直线m、n分别与a、b、c交于点A，B，C和A′，B′，C′，如果AB＝BC＝1，A′B′＝eq\f(3,2)，则B′C′＝________.解析由平行线等分线段定理可直接得到答案．答案eq\f(3,2)2．如图所示，BD、CE是△ABC的高，BD、CE交于F，写出图中所有与△ACE相似的三角形________．解析由Rt△ACE与Rt△FCD和Rt△ABD各共一个锐角，因而它们均相似，又易知∠BFE＝∠A，故Rt△ACE∽Rt△FBE.答案△FCD、△FBE、△ABD3．(2011·西安模拟)如图，在△ABC中，M、N分别是AB、BC的中点，AN、CM交于点O，那么△MON与△AOC面积的比是________．解析∵M、N分别是AB、BC中点，故MN綉eq\f(1,2)AC，∴△MON∽△COA，∴eq\f(S△MON,S△AOC)＝eq\f(MN2,AC2)＝eq\f(1,4).答案1∶44．如图所示，已知DE∥BC，BF∶EF＝3∶2，则AC∶AE＝______，AD∶DB＝________.解析∵DE∥BC，∴eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)＝eq\f(EF,BF).∵BF∶EF＝3∶2，∴eq\f(AE,AC)＝eq\f(EF,BF)＝eq\f(2,3).∴AC∶AE＝3∶2.同理DE∥BC，得AB∶AD＝3∶2，即eq\f(AB,AD)＝eq\f(3,2).∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(2,3)，即eq\f(AD,AB－AD)＝eq\f(2,3－2)＝2.即eq\f(AD,BD)＝2.∴AD∶BD＝2∶1.答案3∶22∶15．(2010·广东)如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝eq\f(a,2)，点E、F分别为线段AB、AD的中点，则EF＝________.解析连接DE和BD，依题知，EB∥DC，EB＝DC＝eq\f(a,2)，∴EBCD为平行四边形，∵CB⊥AB，∴DE⊥AB，又E是AB的中点，故AD＝DB＝a，∵E，F分别是AD、AB的中点，∴EF＝eq\f(1,2)DB＝eq\f(1,2)a.答案eq\f(a,2)考向一平行截割定理的应用【例1】►(2011·广州测试(二))在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝5，点E、F分别在AB、CD上，且EF∥AD，若eq\f(AE,EB)＝eq\f(3,4)，则EF的长为________．[审题视点]把梯形的两腰BA、CD分别延长交于一点，利用平行截割定理可求解．解析如图所示，延长BA、CD交于点P，∵AD∥BC，∴eq\f(PA,PB)＝eq\f(AD,BC)＝eq\f(2,5)，∴eq\f(PA,AB)＝eq\f(2,3)，又∵eq\f(AE,EB)＝eq\f(3,4)，∴eq\f(AE,AB)＝eq\f(3,7)，∴eq\f(PA,AE)＝eq\f(14,9)，∴eq\f(PA,PE)＝eq\f(14,23).∵AD∥EF，∴eq\f(AD,EF)＝eq\f(PA,PE)＝eq\f(14,23)，又AD＝2，∴EF＝eq\f(23,7).答案eq\f(23,7)在解题时要注意添加辅助线．【训练1】如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，若BC＝3，DE＝2，DF＝1，则AB的长为________．解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(DE∥BC，,EF∥CD，,BC＝3，DE＝2))⇒eq\f(AE,AC)＝eq\f(AF,AD)＝eq\f(DE,BC)＝eq\f(2,3)，又DF＝1，故可解得AF＝2，∴AD＝3，又eq\f(AD,AB)＝eq\f(2,3)，∴AB＝eq\f(9,2).答案eq\f(9,2)考向二相似三角形的判定和性质的应用【例2】►已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，点D是垂足．求证：BC2＝2CD·AC.[审题视点]作AE⊥BC，证明△AEC和△BDC相似即可．证明过点A作AE⊥BC，垂足为E，∴CE＝BE＝eq\f(1,2)BC，由BD⊥AC，AE⊥BC.又∴∠C＝∠C，∴△AEC∽△BDC.∴eq\f(EC,DC)＝eq\f(AC,BC)，∴eq\f(\f(1,2)BC,CD)＝eq\f(AC,BC)，即BC2＝2CD·AC.判定两个三角形相似要注意结合图形的性质特点灵活选择判定定理．在一个题目中，相似三角形的判定定理和性质定理可能多次用到．【训练2】(2011·惠州调研)如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AE∶AC＝3∶5，DE＝6，则BF＝________.解析因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)，即eq\f(3,5)＝eq\f(6,BC)，所以BC＝10.又DF∥AC，所以四边形DECF是平行四边形，故BF＝BC－FC＝BC－DE＝10－6＝4.答案4考向三直角三角形射影定理的应用【例3】►已知圆的直径AB＝13，C为圆上一点，过C作CD⊥AB于D(AD＞BD)，若CD＝6，则AD＝________.[审题视点]△ACB为直角三角形，可直接利用射影定理求解．解析如图，连接AC，CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°设AD＝x，∵CD⊥AB于D，∴由射影定理得CD2＝AD·DB，即62＝x(13－x)，∴x2－13x＋36＝0，解得x1＝4，x2＝9.∵AD＞BD，∴AD＝9.答案9注意射影定理的应用条件．【训练3】在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3.则△ACD与△CBD的相似比为________．解析如图所示，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理得：CD2＝AD·BD，又∵AD∶BD＝2∶3，令AD＝2x，BD＝3x(x＞0)，∴CD2＝6x2，∴CD＝eq\r(6)x.又∵∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ACD∽△CBD.易知△ACD与△CBD的相似比为eq\f(AD,CD)＝eq\f(2x,\r(6)x)＝eq\f(\r(6),3).即相似比为eq\r(6)∶3.答案eq\r(6)∶3高考中几何证明选讲问题(一)从近两年新课标高考试题可以看出，高考主要以填空题的形式考查平行截割定理和相似三角形判定定理的应用，难度不大．【示例1】►(2011·陕西)如图，∠B＝∠D，AE⊥BC