定积分的概念

定积分的概念问题探究定积分的概念我们可以用大大小小的矩形将图形不断填充，

怎样求不规则图形的面积？

但闪烁部分永远不可能恰好为矩形，

这些“边角余料”无外乎是右图所示的“典型图形”（必要时可旋转）《高等数学》定积分的概念（阿基米德问题）：求由抛物线y=x2与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面积A．

Archimedes，约公元前287年—约公元前212年穷竭术

曲边三角形问题探究问题探究《高等数学》定积分的概念1分割（化整为零）2近似代替3求和（积零为整）矩形面积之和

误差问题探究《高等数学》1分割（化整为零）2近似代替3求和（积零为整）减少的误差问题探究《高等数学》定积分的概念问题探究《高等数学》定积分的概念问题探究《高等数学》定积分的概念问题探究《高等数学》定积分的概念

直观地看，小矩形越多，其面积和就越接近于所求曲线下方的面积。

如何求此面积的精确值？

取极限48个小矩形面积之和问题探究《高等数学》定积分的概念abxyo

怎样求曲边梯形的的面积？曲边梯形

问题探究《高等数学》定积分的概念微元法STEP1:分割（化整为零）yxoy=f(x)ab.在区间[a,b]中任意插入

n–1个分点用直线将曲边梯形分成n

个小曲边梯形;问题探究《高等数学》定积分的概念STEP2:取

近似值

(以常代变)yxoy=f(x)abf(i).在第i

个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,以小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形问题探究《高等数学》定积分的概念STEP3:求和

（积零为整）yxoy=f(x)ab分割越细，小矩形的面积之和越接近曲边梯形的面积f(i)问题探究《高等数学》定积分的概念yxoy=f(x)不断增加分割点数目.ab...f(i)问题探究《高等数学》定积分的概念yxoy=f(x)..f(i)A

=Aab.STEP4:取极限令抛光磨平问题探究《高等数学》定积分的概念曲边梯形的面积近似（以常带变）求和（积零为整）取极限分割（化整为零）新知识《高等数学》定积分的概念二、定积分的概念定义设函数在区间上有定义，任取分点将区间分为个小区间，记任取作乘积的和式新知识《高等数学》定积分的概念当时，上述和式的极限存在，则称此极限值为函数在区间上的定积分,记作即此时称在上可积.新知识《高等数学》定积分的概念积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量定积分仅与被积函数及积分区间有关,变量用什么字母表示无关,积分和而与积分新知识定积分的概念

根据定积分的定义，前面所讨论的两个引例就可以用定积分概念来描述：

曲线、x轴及两条直线x=a,x=b所围成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，即由抛物线与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面积A等于函数在区间上的定积分，即知识应用定积分的概念已知有一个抛物线形的拱形隧道(如下图所示)，隧道的最大高度为6m，跨度为8m，求隧道的横截面面积。知识应用《高等数学》定积分的概念建立直角坐标系，如右图所示。6-44根据题意，求得抛物线方程为：结合定积分的概念，隧道截面的面积可用定积分来表示，有：利用

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