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§3.1数学期引1010999888810·2+9·3+8·x10=10·2+9·3+8·10 10 10

=8.72若用X表示他射击时命中的环数，则X是一个随P{X=8}=1

P{ =9}=3 P{X=10}= 10 上面的可理解为以概率为权数的“”平均3定义1离散型随量的数学期设离散型随量X的分布律P{X=xk}=pk k=1,2,L 若级数xkpk绝对收敛xk k k¥的和为随量X的数学期望,记为E(X).¥E(X)=xkpkk4平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随量X取可能值的真正平均值,也称,之所以这样要求是因为数学期望是反映随量X取可能值5 环数0123概率环数0123概率0.70.10.10.1环环数0123概率0.50.30.206解设甲,乙射手的环数分别

为X1,X E(X1)=0·0.7+1·0.1+2·0.1+3·0.1=0.6,E(X2)=0·0.5+1·0.3+2·0.2+3·0=7例2

设 ~P(l),且分布律为P{X=k}

le-lkkk

k=0,1,2,L

l>0.¥ E(X)=k=¥=e-l

le-kkklk-lk=1(k-=le-lel=l8例3袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废 量X,求E(X).解X的可能取值为0，1，2，3.为求X9P{X=0} =0.750,12 P{X=2}

=0.041,12 11 10 P{ =1} =0.204,12 11 P{X=3} ·=0.005.12 11 10 XX0123PE(X)=0·0.750+1·0.204+2·0.041+3·0.005=0.301. 定义2连续型随量数学期望的定 量X为f(x)分- xf(x)dx义XE(X)=-

xf(x例4均匀分布设 ~U(a,b),其概率密度为 a<x<bf(x)=b- 其它¥则EX)-¥xfxd¥=1=1(a+b21= xdab-均匀分布的数学期望位于区间的中点例5某电子元件的X服从参数为l=0.001 由已知,Xle-lx x‡f(x)=

x<0.

其中l0.¥则EX)

xf(x

le-lx0¥=-xe-l0

=1l e-=1l0由l0.0011E(X)= 0.001 .随量函数的数学期望，比如说g(X)的期望.那么应该如何计算的分布求出来一旦我们知道了g(X)的分布，¥g(xk)pkk=1X离散E(Y)=E[g(X)]=¥-¥g(x)f(x)dxX连续当X为离散型时,P(X=xkpk当X为连续型时,Xg(xk)pkk¥X离散型E(Y)=E[g(X)]=¥-¥g(x)f(x)dxX连续型 例8设随量X的分布律X012P且 =X+1Y

2.试求E(Y)E ==E(Y1)=E(X+=[(-1)+1]·0.1+[0+1]·0.3+[1+1]·0.4，+[2+1]·0.2=1，2同理E(Y)1.32例9设随量X的分布密度e-x,x>f(x)=0 ,x£ =2X =e－2x的数学期望 +¥ +¥ -解:(1E(Y1-

2xf(x)dx=

2xe dx=-2xe-

-2e-x+¥=+¥0+¥(2)E(Y2)

+¥-

e-2xf(x)dx

e-2xe-xdx0=-1e-3

+ = 设C为常数,E(C)C设X是一个随量，k,b是常数,则E(kX+b)=kE(X)+设X、Y是任意两个随量，E(X+Y)=E(X)+E(Y 推广EaiXi)aiEXii i例12设随量X1,X2的分布密度分别2e-2x

x>

4e-4x

x>f1(x)= f2(x)= x£ x£ E( + ),E(2 -3X2); E(X1+X2)=E(X1)+E(X2 +¥ -2 +¥ -4 2 dx 4e dx -2 -2x+¥

-4 -4x=-xe -2=1+1=

+-xe -4

数学期望是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随量X取可能值的真正的平均值.23 3

E(C)=CE(CX)=CE(XE(X+Y)=E(X)+E(Y常见离散型 量的数学期(0-1)X~B(1,P{X=k}=pk(1-p)1-p二项分布X~B(n,P{X=k}=Ckpk(1-p)n- kX~P(lk e-lklP{X=k}=(1-p)k-1k1p常见连续型随量的数学期E(Xf(x)= ,x˛[a, 其a+b2X~N(m,s2-(x-f 2sm E(lle-l,x>f(x)= 0 其(l>1l§3.2设X是一个随 ,若E{[X-E(X)]2}存在则称E{[XEX)]2}为X的方差,记为DX)s2X),D(X)=s2(X)=E{[X-E(X)]2D(X 为标准差或均方 ,记为σD(XX取值越分散E(X)的代表性差;而如果D(X)值小,则表示X的取值比较集中,以E(X)作为随量的代表性好.随量的函数Y=(X-E(X))2的数学期望，于离散型随量X的方DD(X)=[k¥k-E(X)]2 k其中PXxk}pk,k1,2L是X的分布律D(X)=¥D(X)=¥[x-E(X)]2f(x)dx-¥其中f(x)为X的分布密 D(X)=E(X2)-[E(X)]2证 D(X)=E{[=E{X

-E(X)]2-2XE(X)+[E(X)]2=E(X2)-2E(X)E(X)+[E(X)]=E(X2)-[E(X)]=E(X2)-E2(X例1甲、乙两人射击结果分别用X、Y表示（单位：分）。经统计得X和Y的分布律如下：X0123PX0123P 0 0 0 0

解EX)1.1,EX2)2.1D(X)=E(X2)-[E(X)]2=2.1-1.12=89由E(Y)1.1,E(Y2)2.3D(Y)=E(Y2)-[E(Y)]2=2.3-1.12=1.09E(X)=a+2例2设X服从区间上[a,b]的均匀分布，求D(X)E(X)=a+2

x a +ab+bE(X2) xa

b-

dx

b-

|ba3a D(X)= +ab+ -(a+ (b-a))12例3设随量X服从参数为l的指数分布,求D(X).解X的分布密度为le-lx x>fx 其中l¥

x£进而EX)-¥xfx)dx1/lD(X)=E(X2)-[E(X)]=¥x2

le-lxdx-1/l1==2/l2-11=

为1/l和1/ 1C是常数,DC)0.证明D(C)=E(C2)-[E(C)]2=C -C2=0.2设X是一个随量,C是常数,则D(CX)=C2D(X证明D(CX)=E{[