2023年高考复习排列组合专题训练教师版

高考复习排列组合与二项式定理专题训练基础知识梳理排列与排列数(1)排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作Amn.组合与组合数(1)组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作Cmn.3．排列数、组合数的公式及性质公式排列数公式Amn＝n(n－1)---(n－m＋1)＝n!/(n－m)!组合数公式

Cmn＝Amn/Amm＝n(n－1)---(n－m＋1)/m!＝n!/[m!(n－m)!]性质(1)Ann＝n！(2)0！＝1(1)C0n＝1；(2)Cmn＝Cn-mn；(3)Cmn＋Cm-1n＝Cmn+1备注n，m∈N＋且m≤n【知识拓展】与组合数相关的几个公式(1)C0n＋C1n＋…＋Cnn＝2n(全组合公式)．(2)Cmn＋Cmn-1＋…＋Cmm+1＋Cmm＝Cm+1n+1.

(3)kCkn＝nCk-1n-1.二项式定理(1)定理：公式(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N＋)叫作二项式定理．(2)通项：Tk＋1＝Cknan－kbk为展开式的第k＋1项．二项式系数与项的系数(1)二项式系数：二项展开式中各项的系数Ckn(k∈{0，1，2，---，n})叫作二项式系数．(2)项的系数：项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念．二项式系数的性质性质内容对称性与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即Cmn＝Cn-mn性质内容增减性当k＜(n＋1)/2时，二项式系数逐渐增大；当k＞(n＋1)/2时，二项式系数逐渐减小．最大值当n是偶数时，中间一项(第n/2＋1项)的二项式系数最大，最大值为Cn/2n；当n是奇数时，中间两项(第(n－1)/2＋1项和第(n＋1)/2＋1项)的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为C(n-1)/2n或C(n+1)/2n各二项式系数的和(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C0n＋C1n＋C2n＋…＋Ckn＋…＋Cnn＝2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1.链接高考专题训练1.考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有()A．10种B．60种C．125种D．243种答案：B2.A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的坐法有()A．60种B．48种C．30种D．24种答案：B3.要从a，b，c，d，e5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是()A．20B．16C．10D．6解析：选B.不考虑限制条件有Aeq\o\al(2,5)种选法，若a当副组长，有Aeq\o\al(1,4)种选法，故a不当副组长，有Aeq\o\al(2,5)－Aeq\o\al(1,4)＝16种选法．4.12名选手参加校园歌手大奖赛，大赛设一等奖、二等奖、三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，则不同的获奖种数为()A．123B．312C．Aeq\o\al(3,12)D．12＋11＋10解析：选C.从12名选手中选出3名并安排奖次，共有Aeq\o\al(3,12)种不同的获奖情况．5.某班从8名运动员中选取4人参加4×100米接力赛，则不同参赛方案的种数是()A．1680B．24C．1681D．25解析：选A.不同的参赛方案共有Aeq\o\al(4,8)＝1680种．6.某停车站画出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有()A．Aeq\o\al(8,12)种B．2Aeq\o\al(8,8)Aeq\o\al(4,4)种C．8Aeq\o\al(8,8)种D．9Aeq\o\al(8,8)种解析：选D.将4个空车位视为一个元素，与8辆车共9个元素进行全排列，共有Aeq\o\al(9,9)＝9Aeq\o\al(8,8)种．7.从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两同学中至多有一个人参加，则不同选法的种数为()A．9B．14C．12D．15解析：选A.法一：(直接法)分两类：第1类，张、王两同学都不参加，有Ceq\o\al(4,4)＝1种选法；第2类，张、王两同学中只有1人参加，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,4)＝8种选法．故共有1＋8＝9种选法．法二：(间接法)共有Ceq\o\al(4,6)－Ceq\o\al(2,4)＝9种不同选法．8.六个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放的方法数为________．解析：把3个空位看作一个元素，与3辆汽车共有4个元素全排列，故停放的方法有Aeq\o\al(4,4)＝4×3×2×1＝24种．答案：249.5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有______________种(以数字作答)．解析：(1)有1名老队员入选，则有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝36种排法．(2)有2名老队员入选，则入选人数有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)种选法．按排出场序号有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)种方法．所以老队员选2人，有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)种排法．根据分类加法计数原理，符合要求的排法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)＝36＋12＝48种排法．答案：4810.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x2)))(1＋x)6展开式中x2的系数为()A．15B．20C．30D．35解析：选C.(1＋x)6展开式的通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)xr，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,x2)))(1＋x)6的展开式中x2的系数为1×Ceq\o\al(2,6)＋1×Ceq\o\al(4,6)＝30，故选C.11.(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于()A．80B．40C．20D．10解析：选B.(1＋2x)5的展开式的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(2x)r＝2rCeq\o\al(r,5)·xr，令r＝2，得22×Ceq\o\al(2,5)＝4×10＝40，故选B.12.(1＋x)7的展开式中x2的系数是()A．42B．35C．28D．21解析：选D.二项式(1＋x)7展开式的通项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,7)xr，令r＝2，则T3＝Ceq\o\al(2,7)x2，所以x2的系数为Ceq\o\al(2,7)＝21.13.在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为()A．30B．20C．15D．10解析：选C.因为(1＋x)6的展开式的第(r＋1)项为Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)xr，x(1＋x)6的展开式中含x3的项为Ceq\o\al(2,6)x3＝15x3，所以系数为15.14.若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3，则a2的值为()A．3B．6C．9D．12解析：选B.x3＝[2＋(x－2)]3，a2＝Ceq\o\al(2,3)×2＝6.15.设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为()A．－2B．－1C．1D．2解析：选A.令x＝－1，即得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2.16.若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为()A．1或－3B．－1或3C．1D．－3解析：选A.令x＝0，得到a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)9，令x＝－2，得到a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝m9，所以有(2＋m)9m9＝39，即m2＋2m＝3，解得m＝1或－3.17.设二项式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,\r(x))))eq\s\up12(6)(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B＝4A，则a的值是________．解析：Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)x6－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,\r(x))))eq\s\up12(r)＝(－a)rCeq\o\al(r,6)x6－eq\f(3,2)r，所以6－eq\f(3,2)r＝3时，r＝2，所以A＝15a2，6－eq\f(3,2)r＝0时，r＝4，所以B＝15a4，所以15a4＝4×15a2，所以a2＝4，又a＞0，得a＝2.答案：218.若(ax2＋eq\f(1,\r(x)))5的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝________．解析：(ax2＋eq\f(1,\r(x)))5的展开式的通项Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(ax2)5－r·(eq\f(1,\r(x)))r＝Ceq\o\al(r,5)a5－rx10－eq\s\up6(\f(5r,2))，令10－eq\f(5,2)r＝5，得r＝2，所以Ceq\o\al(2,5)a3＝－80，解得a＝－2.答案：－219.6个人坐在一排10个座位上，则(用数字表示)：(1)空位不相邻的坐法有多少种？(2)4个空位只有3个相邻的坐法有多少种？解：(1)第一步：6人先坐在6个座位上并排好顺序有Aeq\o\al(6,6)＝720种，第二步：