04 三角函数 讲义（解析版）-2023届高三数学三轮复习

☆注：请用MicrosoftWord2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象.高中数学三轮复习讲义——两年高考一年模拟第4讲三角函数三角函数的考查重点是三角函数的定义、图象与性质，考查中以图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值作为热点，并常与三角恒等变换交汇命题，难度为中档偏下．1．（2022•甲卷）已知a=3132，b＝cos14，cA．c＞b＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b【解答】解：设f（x）＝cosx+12x2−1，（0＜x＜1），则f′（x设g（x）＝x﹣sinx（0＜x＜1），g′（x）＝1﹣cosx＞0，故g（x）在（0，1）单调递增，即g（x）＞g（0）＝0，即f′（x）＞0，故f（x）在（0，1）上单调递增，所以f（14）＞f（0）＝0，可得cos14＞3132利用三角函数线可得x∈(0，π2）时，tanx＞∴tan14＞14，即sin14cos综上：c＞b＞a，故选：A．2．（2021•乙卷）cos2π12−cos2A．12 B．33 C．22【解答】解：法一、cos2π12−cos25π12=1+cos法二、cos2π12−cos25π12＝cos2π12−sin故选：D．3．（2021•新高考Ⅰ）若tanθ＝﹣2，则sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθA．−65 B．−25 C．【解答】解：由题意可得：sinθ(1+sin2θ)sinθ+cosθ=tanθtanθ+1⋅tanθ故选：C．4．（2022•新高考Ⅱ）若sin（α+β）+cos（α+β）＝22cos（α+π4）sinA．tan（α﹣β）＝1 B．tan（α+β）＝1 C．tan（α﹣β）＝﹣1 D．tan（α+β）＝﹣1【解答】解：解法一：因为sin（α+β）+cos（α+β）＝22cos（α+π4）sin所以2sin（α+β+π4）＝22cos（α+π即sin（α+β+π4）＝2cos（α+π所以sin（α+π4）cosβ+sinβcos（α+π4）＝2cos（α所以sin（α+π4）cosβ﹣sinβcos（所以sin（α+π所以α+π4−β=kπ，k所以α﹣β＝kπ−π所以tan（α﹣β）＝﹣1．解法二：由题意可得，sinαcosβ+cosαsinβ+cosαcosβ﹣sinαsinβ＝2（cosα﹣sinα）sinβ，即sinαcosβ﹣cosαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ＝0，所以sin（α﹣β）+cos（α﹣β）＝0，故tan（α﹣β）＝﹣1．故选：C．5．（2021•甲卷）若α∈（0，π2），tan2α=cosα2−sinαA．1515 B．55 C．53【解答】解：由tan2α=cosα2−sinα，得即2sinαcosα1−2si∵α∈（0，π2），∴cosα则2sinα（2﹣sinα）＝1﹣2sin2α，解得sinα=1则cosα=1−si∴tanα=sinα故选：A．6．（2021•甲卷）已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）的部分图像如图所示，则f（π2）＝−3【解答】解：由图可知，f（x）的最小正周期T=43（13π12所以ω=2πT=2，因为f所以由五点作图法可得2×π3+φ=π所以f（x）＝2cos（2x−π所以f（π2）＝2cos（2×π2故答案为：−37．（2021•乙卷）把函数y＝f（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y＝sin（x−π4）的图像，则A．sin（x2−7π12） C．sin（2x−7π12） D．sin（2x【解答】解：∵把函数y＝f（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的12再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y＝sin（x−∴把函数y＝sin（x−π4）的图像，向左平移得到y＝sin（x+π3−π再把图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得f（x）＝sin（12x+故选：B．8．（2021•新高考Ⅰ）下列区间中，函数f（x）＝7sin（x−πA．（0，π2） B．（π2，π） C．（π，3π2） D．（3π【解答】解：令−π2+2kπ≤x−π6则−π3+2kπ≤x≤2π3当k＝0时，x∈[−π3，（0，π2）⊆[−π3故选：A．9．（2021•北京）函数f（x）＝cosx﹣cos2x是（）A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2 C．奇函数，且最大值为98 D．偶函数，且最大值为【解答】解：因为f（x）＝cosx﹣cos2x＝cosx﹣（2cos2x﹣1）＝﹣2cos2x+cosx+1，因为f（﹣x）＝﹣2cos2（﹣x）+cos（﹣x）+1＝﹣2cos2x+cosx+1＝f（x），故函数f（x）为偶函数，令t＝cosx，则t∈[﹣1，1]，故f（t）＝﹣2t2+t+1是开口向下的二次函数，所以当t=−12×(−2)=14时，f（t）取得最大值f（14）＝﹣2×（1故函数的最大值为98综上所述，函数f（x）是偶函数，有最大值98故选：D．10．（2022•新高考Ⅰ）记函数f（x）＝sin（ωx+π4）+b（ω＞0）的最小正周期为T．若2π3＜T＜π，且y＝f（x）的图像关于点（3π2A．1 B．32 C．52【解答】解：函数f（x）＝sin（ωx+π4）+b（ω＞0）的最小正周期为则T=2πω，由2π3＜T＜π，得2π∵y＝f（x）的图像关于点（3π2，2）中心对称，∴b且sin（3π2ω+π4）＝0，则3π2ω+π∴ω=23(k−14)，k∈∴f（x）＝sin（52x+π4）+2，则f（π故选：A．11．（2022•甲卷）将函数f（x）＝sin（ωx+π3）（ω＞0）的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C，若C关于yA．16 B．14 C．13【解答】解：将函数f（x）＝sin（ωx+π3）（ω＞0）的图像向左平移π2则C对应函数为y＝sin（ωx+ωπ∵C的图象关于y轴对称，∴ωπ2+π3=kπ+即ω＝2k+13，k∈则令k＝0，可得ω的最小值是13故选：C．12．（2022•甲卷）设函数f（x）＝sin（ωx+π3）在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，则A．[53，136） B．[53，196） C．（136，83]【解答】解：当ω＜0时，不能满足在区间（0，π）极值点比零点多，所以ω＞0；函数f（x）＝sin（ωx+π3）在区间（0，ωx+π3∈（π3，∴5π2＜ωπ+π求得136＜ω故选：C．13．（2022•乙卷）记函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为T．若f（T）=32，x=π9为f（x）的零点，则【解答】解：函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为T=2π若f（T）＝cos（ω×2πω+φ）＝cosφ=32，0＜φ＜所以f（x）＝cos（ωx+π因为x=π9为f（x）的零点，所以cos（故ωπ9+π6=kπ+π2，k∈Z，所以ω因为ω＞0，则ω的最小值为3．故答案为：3．（多选）14．（2022•新高考Ⅱ）已知函数f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图像关于点（2π3A．f（x）在区间（0，5π12）单调递减B．f（x）在区间（−π12，11πC．直线x=7π6是曲线y＝f（xD．直线y=32−x是曲线y＝f【解答】解：因为f（x）＝sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于点（2π3所以2×2π3+φ＝kπ，k所以φ＝kπ−4π因为0＜φ＜π，所以φ=2π故f（x）＝sin（2x+2π令π2＜2x+2π3＜故f（x）在（0，5π12）单调递减，Ax∈（−π12，11π12），2x+2π3∈根据函数的单调性，故函数f（x）在区间（−π12，11π12令2x+2π3=kπ+π2，k∈Z，得x=kπ2f（x）＝sin（2x+2π求导可得，f'（x）=2cos(2x+2π令f'（x）＝﹣1，即cos(2x+2π3)=−12，解得x＝kπ或x=故函数y＝f（x）在点（0，32）处的切线斜率为k=y'故切线方程为y−32=−(x−0)，即y=−x+故选：AD．15．（2023•青羊区模拟）已知sin(π4−α)=A．13 B．23 C．33【解答】解：sin(π则sin2α=cos(π故选：B．16．（2023•温江区模拟）函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，若函数g（x）的图象由f（x）图象向左平移π6A．g(x)=2sin(2x+π6)C．g(x)=2sin(2x−π6) D．g（【解答】解：由f（x）的图象可知，A＝2，且过点（0，﹣1），∴2sinφ＝﹣1，∴sinφ=−12，又∵∴φ=−π又f（x）的图象过点（7π12∴2sin（7π12∴7π12ω−π6=kπ∴ω=27+127又∵T2＜7π∴127∴当k＝1时，ω＝2，∴f（x）＝2sin（2x−π又∵函数g（x）的图象由f（x）图象向左平移π6∴g（x）＝2sin[2（x+π6）−π6故选：A．17．（2023•新城区一模）将函数y=2sin(6x+π3)的图像向左平移φ(0＜φ＜π2)个单位长度后得到f（x）的图像．若A．5π36 B．π3 C．π4【解答】解：由题知，f(x)=2sin(6x+因为x∈(π，19π18因为0＜φ＜π2，所以又f（x）在(π，所以π2≤π3+6φ＜所以φ的取值范围是[π所以φ的值不可能为π3故选：B．18．（2023•安徽模拟）已知函数f(x)=cos(x+A．点(−π8，0)是曲线y＝fB．点(π8，24)是曲线yC．直线x=5π8是曲线y＝f（xD．直线x=3π8是曲线y＝f（【解答】解：f（x）＝﹣sin（22cosx−22sinx）=−22sinxcosx+22sin2x=−24sin2x+22×1−cos2x2=−24sin2x−2当x=−π8，则2x+π4=0，此时sin（2x+π4当x=π8，则2x+π4=π2，此时sin（2x当x=5π8，则2x+π4=3π2，此时sin（2x当x=3π8，则2x+π4=π，此时sin（2x+π4故选：C．19．（2023•上饶一模）已知函数f(x)=cos(23x+φ)满足f(−π6)=f(2π3A．3π2 B．2π C．5π2 【解答】解：∵f(−∴函数关于x=−即23×π4+φ=kπ得φ＝kπ−π则当k＝0时，φ=−π6，即f（x）＝cos（23当0≤x≤a时，0≤23x≤23a，−π若此时f（x）至少有两个零点，则23a−π6≥即实数a的最小值为5π2故选：C．20．（2023•麒麟区校级模拟）已知函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω＞0)．若对于任意实数x，都有A．2 B．52 C．5 【解答】解：函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω＞0)，由所以有ωπ6+π6=kπ(k∈Z)，解得ω＝6k由ω＞0，当k＝1时，ω有最小值5．故选：C．21．（2023•南昌一模）已知函数f(x)=sin(ωx+π3)+sinωx(ω＞0)，f（x1）＝0，f(x2)=3，且|x1A．12 B．23 C．1【解答】解：因为f(x)=sin(=3又因为f（x1）＝0，f(x2)=3，且|x1﹣x所以函数f（x）的最小正周期T满足2k+14T=π，则所以，ω=2π故当k＝0时，ω取最小值12故选：A．22．（2023•桃城区校级一模）已知f（x）＝2tan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2），f（0）=233，周期T∈（π4，3π4），（π6，0）是A．−3 B．3 C．233【解答】解：∵f（x）＝2tan（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2），f（0）＝2tanφ∴tanφ=33，∴φ=π6，f（x）＝2tan（∵周期T=πω∈（π4，3π4再根据（π6，0）是f（x）的对称中心，可得ωπ6+π6=kπ2，∴ω＝2，f（x）＝2tan（2•x+π则f（π3）＝2tan5π6=−故选：D．23．（2023•武威模拟）将函数f(x)=sin(2x+π6)的图象向右平移π6个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的1ω(ω＞0)，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，若gA．(73，133] B．[【解答】解：函数f(x)=sin(2x+π6)的图象向右平移π6个单位长度，得到y＝sin（2x−π6）的图象，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的1ω(ω＞0)由于0≤x≤π4，所以−π6≤由于g（x）在[0，π4解得73故选：B．24．（2023•新城区一模）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，将f（x）的图象向左平移a（a＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象，若g（x）为奇函数，则A．2π3 B．5π6 C．π6【解答】解：由题意得：A=2∵T4=7π12−π3=解得ω＝2，f（x）=2sin（2x+φ∵f（7π12）=−2，∴2×7π12+φ=3π2+2kπ（k∈Z），|φ|＜π2，∴φ=f（x）的图象向左平移a（a＞0）个单位长度，得到函数g（x）=2sin[2（x+a）+π3]=2sin（2x∵g（x）为奇函数，∴2a+π3=kπ，k解得a=kπ2−π6又a＞0，则k＝2时，a=5π故选：B．25．（2023•湖南模拟）已知函数f(x)=cos(ωx+π3)(ω＜0)在A．[−43，−23] B．【解答】解：函数f(x)=cos(ωx+π3所以π−π2≤当x∈(π2，π)依题意知−π+2kπ≤ωπ+π3＜π2解得−43+2k≤ω≤−∴当k＝0时成立，ω∈[−故选：A．26．（2023•安阳模拟）已知函数f(x)=cos2ωx−sin(2ωx+π6)(ω＞0)在[0，A．[712，1312) B．[【解答】解：f(x)=cos2ωx−sin(=1当x∈[0，π]时，2ωx+π∵f（x）在[0，π]内有且仅有2个零点，∴3π2≤2πω+π∴ω的取值范围是[7故选：A．27．（2023•江西模拟）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）(ω＞0，0＜φ＜π2)，满足∀x∈R，有f(x)≤f(π12)，f(A．ω＝1 B．f（x）图像向右平移π6个单位后关于y轴对称C．f(πD．f（x）在[−【解答】解：∵∀x∈R，有f(x)≤f(π12)又f(π3)=0又∵f（x）在[π∴函数的周期为4×(π3−∴2πω=π⇒ω=2，即f（x）＝sin（2x+φ），故由f(π3)=0∵0＜φ＜π2，∴令m＝1，则φ=π∴f（x）图像向右平移π6个单位后得到的函数为g(x)=f(∵g（﹣x）＝sin（﹣2x）＝﹣sin2x≠g（x），∴g（x）不是偶函数，故B错误；f(π6)=sin(2×x∈[−∴由正弦函数性质得f（x）在[−5π12故选：D．28．（2023•贵阳模拟）函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则下列关于函数y＝①f（x）的图象关于直线x=−3π②f（x）的图象关于点(−③将函数y=2sin(2x−π6)的图象向左平移π2④若方程f（x）＝m在[−π2，0]A．①④ B．②④ C．③④ D．②③【解答】解：由图象可知，A＝2，14T=π3−又函数过点(π所以2×π12+φ=2kπ+π2又|φ|＜π2，得所以函数f(x)=2sin(2x+当x=−3π4时，f(−当x=−π6时，f（x）＝0，即f（x）的图象关于点(−将函数y=2sin(2x−π6)的图象向左平移π2当x∈[−π2令2x+π3∈[−2π3，−π令2x+π3∈[−π2，π所以f（x）在[−π2因为方程f（x）＝m在[−π2，0]上有两个不相等的实数根，即y＝f（x）与y＝所以m∈(−2，−3]故选：B．29．（2023•河南模拟）已知函数f（x）＝sinx+acosx满足：f(x)≤f(π6)．若函数f（x）在区间[x1，x2]上单调，且f（x1）+f（x2）＝0，则当|x1+x2|取得最小值时，cos（x1+A．−12 B．12 C．−【解答】解：因为f（x）＝sinx+acosx=1+a2(sinx⋅1因为f(x)≤f(π6)，所