稀奇古怪的数学题目

稀奇古怪的数学题目第一页，共五十七页，编辑于2023年，星期一学会学解题第二页，共五十七页，编辑于2023年，星期一1．1数学解题

解题是找出数学问题答案的活动．例题讲解、习题求解、定理证明以及实际问题的建模解决等都是解题．解题是数学学习的一个核心内容和一种最基本的活动形式．数学解题又是掌握数学、学会“数学地思维”的基本途径，概念的掌握、技能的熟练、定理的理解、能力的培养、数学思想的领悟、数学态度的养成等都离不开解题实践(没有勤奋而得法的解题训练，谈不上掌握数学)；数学解题还是评价学习的重要手段第三页，共五十七页，编辑于2023年，星期一

2．3．1学解题的三步骤程式及其反思三步骤程式

第1步：简单模仿第2步：变式练习第3步：自发领悟第4步：自觉分析第四页，共五十七页，编辑于2023年，星期一前3步体现了“接受记忆知识——练习巩固知识——顿悟形成理解”这样一个逐步深化的认识过程，是传统教学所熟悉的．

解题思维需要有“第二过程”的暴露第五页，共五十七页，编辑于2023年，星期一数学解题思维过程的暴露是一个不断分析解题过程、循环提升理解能力的探究活动．在过程上，既有“第一过程”的暴露又有“第二过程”的暴露，是解题思维的全过程暴露；在内容上，既包括数学家的思维、又包括教师的思维、学生的思维（教室里应是这三种思维的同时暴露）．第六页，共五十七页，编辑于2023年，星期一（1）弗里德曼在《怎样学会解数学题》（文[5]）“致读者”中，分析学生解了大量的题但还“不开窍”时指出：“这些学生没有在应有的程度上分析所解的习题，不能从中分析出解题的一般方式和方法，解题常常只是为了得个答案．”第七页，共五十七页，编辑于2023年，星期一波利亚的《怎样解题》一书正是通过剖析典型例题的解题过程来展开“解题表”和“教会年轻人去思考”的，并且在解题表中专设了一个步骤“回顾”，为每一道题的自觉分析都留下了时间和空间．他在书中指出：“一个好的教师应该懂得并且传授给学生下述看法：没有任何问题是可以解决得十全十美的，总剩下些工作要做．经过充分的探讨与钻研，我们能够改进这个解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平．”这就又进一步说明，分析解题过程不仅能“改进”解答，而且总能提高“理解”水平．波利亚在《数学的发现》序言中还具体指出解题分析的最佳时机：“可能是读者解出一道题的时候，或是阅读它的解法的时候”．第八页，共五十七页，编辑于2023年，星期一主要的解题理论①波利亚的《怎样解题》②弗里德曼在《怎样学会解数学题》③元认知理论认④数学学习论⑤分析典型的例题或自己的解题，也是一种“案例分析”，它是“案例数学”在解题教学中的移植解题差异论认为，解题的过程就是消除已知（条件）与未知（结论）之间差异的过程．第九页，共五十七页，编辑于2023年，星期一什么是数学问题解决呢？

1．问题解决是心理活动．

2．问题解决是一个过程．

3．问题解决是一个目的．

4．问题解决是一种能力．

第十页，共五十七页，编辑于2023年，星期一数学解题在数学教育中的重要性波利亚在《数学的发现》中认为：“中学数学教学的首要任务就在于加强解题能力的训练”（参见文[5]序言），解题在数学学习中有不容置疑的重要性:1．数学解题是数学学习中不可或缺的核心内容，数学解题的思维实质是发生数学．2．数学解题是数学学习中不可替代的实质活动，解题活动的核心价值是掌握数学．3．数学解题是评价数学能力时不可削弱的主体构成，解题测试的基本理念是呈现数学．第十一页，共五十七页，编辑于2023年，星期一数学解题就是解题者在数学思想方法指导下，运用数学基础知识和数学基本技能分析、解决问题的过程．

第十二页，共五十七页，编辑于2023年，星期一波利亚的怎样解题表：弄清问题拟定计划实现计划回顾第十三页，共五十七页，编辑于2023年，星期一第十四页，共五十七页，编辑于2023年，星期一第十五页，共五十七页，编辑于2023年，星期一第十六页，共五十七页，编辑于2023年，星期一第十七页，共五十七页，编辑于2023年，星期一第十八页，共五十七页，编辑于2023年，星期一第十九页，共五十七页，编辑于2023年，星期一第二十页，共五十七页，编辑于2023年，星期一第二十一页，共五十七页，编辑于2023年，星期一第二十二页，共五十七页，编辑于2023年，星期一第二十三页，共五十七页，编辑于2023年，星期一第二十四页，共五十七页，编辑于2023年，星期一第二十五页，共五十七页，编辑于2023年，星期一第二十六页，共五十七页，编辑于2023年，星期一第二十七页，共五十七页，编辑于2023年，星期一第二十八页，共五十七页，编辑于2023年，星期一解题化归论解题化归论认为，解数学题的过程，就是将未知的数学问题转化为已经解决问题的过程．这是一种关于解题的很流行的观点，笛卡儿（公元1596～1650）在《指导思维的法则》一书提出的“通用方法”有化归思想的明确表达：●将所论的问题化归为数学问题（数学化），●将数学问题化归为代数问题（代数化），●将代数问题化归为方程的求解（计算化）．虽然这种方法不是万能的，但所体现的化归思想确实是非常有价值的．第二十九页，共五十七页，编辑于2023年，星期一1波利亚的《怎样解题表》乔治·波利亚（GeorgePolya1887～1985）是美籍匈牙利数学家、数学教育家．在解题方面，是数学启发法(指关于发现和发明的方法和规律，亦译为探索法)现代研究的先躯．

第三十页，共五十七页，编辑于2023年，星期一波利亚（公元1889-1985）的《怎样解题》一书体现了解题化归论，波利亚的著作运用化归思想十分熟练、实施化归途径非常丰富（当然波利亚的解题思想不仅仅是化归）．第三十一页，共五十七页，编辑于2023年，星期一第三十二页，共五十七页，编辑于2023年，星期一第三十三页，共五十七页，编辑于2023年，星期一第三十四页，共五十七页，编辑于2023年，星期一第三十五页，共五十七页，编辑于2023年，星期一第三十六页，共五十七页，编辑于2023年，星期一第三十七页，共五十七页，编辑于2023年，星期一第三十八页，共五十七页，编辑于2023年，星期一第三十九页，共五十七页，编辑于2023年，星期一第四十页，共五十七页，编辑于2023年，星期一第四十一页，共五十七页，编辑于2023年，星期一第四十二页，共五十七页，编辑于2023年，星期一第四十三页，共五十七页，编辑于2023年，星期一第四十四页，共五十七页，编辑于2023年，星期一数学解题美国数学家哈尔莫斯（P·R·Halmos）认为，问题是数学的心脏．他说：“数学究竟是由什么组成的？定理吗？证明吗？概念？定义？理论？公式？诚然，没有这些组成部分，数学就不在,这些都是数学的必要组成部分，但是，它们中的任何一个都不是数学的心脏,这个观点是站得住脚的，数学家存在的主要理由就是解问题．因此，数学的真正的组成部分是问题和解．”

第四十五页，共五十七页，编辑于2023年，星期一引例——经验和知识的积累．例2-1已知求证．经测试，学生普遍都能找到多种解法，但对哪种解法更反映问题的本质或深层结构，认识是不一致的．证明１（从结论出发，用配方法）证明２（从结论出发，用基本不等式）

第四十六页，共五十七页，编辑于2023年，星期一证明３（用柯西不等式）

证明4（两次用基本不等式）

相乘第四十七页，共五十七页，编辑于2023年，星期一在同学们各抒己见的基础上，我们不表态，请大家继续思考下题：例2-2已知求证．这时，不同解法的难度、长度和技巧表现出差异．证明１（配方法）第四十八页，共五十七页，编辑于2023年，星期一证明2（柯西不等式法）

第四十九页，共五十七页，编辑于2023年，星期一证明3（三次用基本不等式法）

相乘

．同学们体会到，当字母增加时，三次用基本不等式法更反映题目的结构，并立即推广得例2-3已知是个正数，满足求证

第五十页，共五十七页，编辑于2023年，星期一原题目：在椭圆上求一点，使它与俩焦点的连线互相垂直。随着新课程改革的深入，处理好教材上的习题，挖掘它的潜在教育价值功能。注意题目的引伸、变式、推广等，落实学生的“三维”目标和创新意识的培养。例如高中《数学第二册（上）》第132页第6题来进行剖析说明。原题目：在椭圆上求一点，使它与俩焦点的连线互相垂直。第五十一页，共五十七页，编辑于2023年，星期一（04湖南）已知是椭圆C：的两个焦点，在C上满足的点P的个数为_________.（2000年天津、江西）、椭圆的焦点为点P为其上的动点，当为钝角时，点P的横坐标的取值范围是____________.（2004年福州）已知P点是椭圆上的一点，是两个焦点，且=，则的面积_______________.第五十二页，共五十七页，编辑于2023年，星期一已知椭圆：的两个焦点分别为点P是椭圆上的任意点，它的横坐标为x，一般地有：

第五十三页，共五十七页，编辑于2023年，星期一

双关图第五十四页，共五十七页，编辑于2023年，星期一这种画有不止一种效果，如果你按通常的方式去看它，它是一个图像，可是如果你转到另一个位置再换一种特殊方式去看它，那么另一个图像就会突然闪现在你面前，并对第一个图像发表某些诙谐的评论．

第五十五页，共五十七页，编辑于2023年，星期一我们也许会一下子看出隐藏在塞满了的画面里的真正图形，也可能是逐渐地把它认了出来．我们可能是在努力解题的过程中，也可能是在一些次要的、非实质