专题1 1 期末考试重难点题型汇编【举一反三】人教版

专题11期末考试重难点题型汇编【举一反三】

期末考试重难点题型

《典冽分所11

【考点1三角形内角和定理的应用】

【方法点拨】三角形内角和等于180°.

【例1】(2019春•石景山区期末)如图，BD平分NABC.ZABD=ZADB.

(1)求证：AD//BC-,

(2)若BO_LCO,ZBAD=a,求/OCB的度数(用含a的代数式表示).

【思路点拨】(1)想办法证明即可.

(2)利用平行线的性质，三角形的内角和定理即可解决问题.

【答案】(1)证明：•••80平分N48C,

:.NABD=NCBD

,：ZABD=ZADB,

：.ZADB^NDBC,

：.AD//BC.

(2)解：且

...NA8C=180°-a,

AZDBC=1-ZABC=9O°-L,

22

BDA.CD,

AZBDC=90°

/.ZC=90°-(90°-L)

【方法总结】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，

属于中考常考题型.

【变式1-1］（2018秋•包河区期末）如图，△ABC中，ZACB>90Q,AE平分/54C,A£>J_BC交BC的

延长线于点D.

（1）若NB=30°,/ACB=100°,求NEAD的度数；

（2）若NB=a,NACB=0,试用含a、0的式子表示NEAD,则NE4£）=.（直接写出结论即

可）

【思路点拨】（1）根据垂直的定义得到/。=90",根据邻补角的定义得到N48=180°-100°=80°,

根据三角形的内角和得到NBAC=50°,根据角平分线的定义得到NCAE=LNB4C=25°,于是得到结

论;

(2)根据垂直的定义得到NO=90°,得到NAC7)=180°-p,求得N84C=90°-a-(0-90°)=

180°-a-p,根据角平分线的定义得到/。4七=工/%。=90°-1(a+p),根据角的和差即可得到

22

结论.

【答案】解：(1)VAD1BC,

AZD=90a,

VZACB=100°,

AZACD=180°-100°=80°,

：.ZCAD=90°-80°=10°,

•・・N8=30°,

：.ZBAD=90°-30°=60°,

：.ZBAC=50°,

:AE平分N8AC,

.•./C4E=L/BAC=25°,

2

AZEAD=ZCAE+ZCAD=35O；

(2)'：ADLBC,

/.ZD=90°,

,//AC8=0,

AZACD=180°-p,

，NCAD=90°-ZACD=p-90°,

*.*NB=a,

・・・NBAD=90°-a,

：.ZBAC=900-a-(p-90°)=180°-a-p,

•・・AE平分/明C,

AZCAE=LZBAC=90Q-J-(a邛)，

22

.../E4O=/C4E+/CAO=90°-L(a邛)+0-90°=耳-岂.

222

故答案为:

2

【方法总结】本题考查了三角形的内角和，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键.

【变式1-2](2019春•福州期末)如图，在△ABC中，/ABC的平分线交AC于点。.作

交AB于点E.

(1)求证：ED//BC；

(2)点M为射线AC上一点(不与点A重合)连接BM,NA8M的平分线交射线于点N.若NMBC

=L/NBC,NBED=105°,求NEN8的度数.

2

【思路点拨】(1)利用角平分线的定义，进行等量代换，得出内错角相等，从而两直线平行；

(2)分两种情况分别进行解答，根据每一种情况画出相应的图形，依据图形中，角之间的相互关系，转

化到一个三角形中，利用三角形的内角和定理，设未知数，列方程求解即可.

【答案】解：(1)：20平分/ABC,

NABD=NDBC,

又；NBDE=NABD,

:.NBDE=NDBC,

:.ED〃BC；

(2)平分/ABM,

NABN=NNBM,

①当点M在线段AC上时，如图1所示：

'：DE//BC,

:.NENB=NNBC,

,：NMBC=LNNBC,

2

NNBM=/MBC=L/NBC,

2

设NM8C=x°,则NE8N=NNBM=x°,4ENB=NNBC=2x°,

在△EMS中，由内角和定理得：x+2r+105°=180°,

解得：x=25,

:.NENB=2x=50°,

②当点例在4c的延长线上时，如图2所示：

'：DE//BC,

：.NENB=NNBC,

"：NMBC=LNNBC,

2

:.NNBM=3NMBC,

设/MBC=x°,则NEBN=NN8M=3x°,NENB=NNBC=2x°,

在中，由内角和定理得：3A+2X+105°=180°,

解得：x=15,

NEN8=2x=30°,

答：NENB的度数为50°或30°♦

A

E\n丁

B

图2M

【方法总结】综合考查角平分线的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理等知识，分类讨论，分别

画出相应的图形，利用等量代换和图形中角之间的关系布列方程是解决问题常用的方法.

【变式1-3](2018秋•丰城市期末)已知将一块直角三角板OEF放置在△ABC上，使得该三角板的两条直

角边DE,力尸恰好分别经过点8、C.

(1)ZDBC+ZDCB=度；

(2)过点A作直线直线MN〃OE,若/AC£>=20°,试求/CAM的大小.

【思路点拨】(1)在△£>8c中，根据三角形内角和定理得/08。+/。。8+/。=180°,然后把/£>=

90°代入计算即可；

(2)在Rt△A8C中，根据三角形内角和定理得NABC+NACB+/A=180°,B|J,：.ZABD+ZBAC=90Q

-/4CO=70°,整体代入即可得出结论.

【答案】解：(1)在△O8C中，VZDBC+ZDCB+ZD=180°,

而/。=90°,

:.NDBC+NDCB=90"；

故答案为90；

(2)在△ABC中，

VZABC+ZACB+ZA^\80Q,

BPZABD+/DBC+NDCB+/ACD+/BAC=180°,

而NOBC+/OCB=90°,

Z.ZABD+ZACD=90c:-NBAC,

...NABO+NBAC=90°-ZACD^70°.

又,：MN〃DE,

，NABD=NBAN.

而/8AN+NBAC+NC4A/=180°,

/48O+/B4C+/C4M=180°,

NCAM=180°-（NABD+NBAC）=110°.

【方法总结】此题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解本题的关键是求出NABQ+N8AC=

70°.

【考点2三角形外角性质的应用】

【方法点拨】三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.

【例2】（2019春•宝应县期中）如图，在RtzXABC中，/ACB=90°,乙4=34°,ZUBC的外角NCB。

的平分线BE交AC的延长线于点E.

（1）求NCBE的度数；

（2）过点。作£>F〃8E,交AC的延长线于点F,求NF的度数.

【思路点拨】（1）根据三角形的外角的性质求出/C8D,根据角平分线的定义计算，得到答案;

（2）根据平行线的性质解答即可.

【答案】解：（1）：NAC5=90°,NA=34°,

/.ZCBD=124°,

是NC8。的平分线，

ZCBE=izCBD=62°；

2

（2）VZECB=90°,NCBE=62°,

:CEB=28°,

\'DF//BE,

:.NF=NCEB=28".

【方法总结】本题考查的是三角形的外角的性质、平行线的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相

邻的两个内角的和是解题的关键.

【变式2-1]（2018春•岱岳区期中）如图，△ABC中，NA=30°,ZB=62°,CE平分NACB,CDLAB

于Q,Z）F_LCE于F,求/ACE和NCDF的度数.

【思路点拨】根据三角形内角和定理求出NAC8,根据角平分线的定义求出N4CE；根据垂直的定义、

三角形内角和定理求出NCDF.

【答案】解：；N4=30°,NB=6案，

.•.N4C8=180°-30°-62°=88°；

平分NAC8,

NACE=ZBCE^i-ZACB=44°,

2

'：CD±AB,

...NCDB=90°,

ZBCD=90°-/B=28°,

AZECD=ZECB-ZBCD=16°,

VDF1CE,

ZCDF=900-ZDCF=74°.

【方法总结】本题考查的是三角形内角和定理、三角形的外角的性质以及角平分线的定义，掌握三角形

内角和等于180°是解题的关键.

【变式2-2]（2018春•商水县期末）如图，NBAD=NCBE=NACF,NFDE=64°,Z£>£F=43°,求

△ABC各内角的度数.

E

D

BC

【思路点拨】根据三角形外角性质得到而NBAD=NCBE,贝N8AD+

ZCBE=ZABC^64°；同理可得NQEF=NAC8=43°,然后根据三角形内角定理计算/B4C=180°

-/ABC-NACB即可；NBAD=NCBE=NACF,NFZ）E=48°,NDEF=64°,

【答案】解：VZFDE=ZBAD+ZABD,NBAD=NCBE

：.ZFDE=ZBAD+ZCBE=ZABC,

：.ZABC-=64''；

同理NDEF=ZFCB+ZCBE=ZFCB+ZACF=ZACB,

：.ZACB=43°；

.•.N8AC=180°-ZABC-ZACB=180°-64°-43°=73°,

...△ABC各内角的度数分别为64°、43°、73°♦

【方法总结】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180。.也考查了三角形外角的性质,

熟记：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键.

【变式2-3］（2019春•南开区校级月考）如图，在△ABC中，AD是高，ZDAC=10°,AE是NBAC外角

的平分线，BF平分NA8C交AE于点F,若NABC=46°,求NAFB的度数.

【思路点拨】根据直角三角形的性质求出NBA。的度数，得到NB4C的度数，根据邻补角的性质求出/

CAM的度数，根据角平分线的定义求出/AME的度数，根据三角形的外角的性质计算即可.

【答案】解：是高，

.../AOB=90°,

：.ZBAD=900-Z4BC=44°,又N£MC=10°,

：.ZBAC=54°,

.•.NMAC=126°,

是NBAC外角的平分线，

/.ZMAE=i-ZMAC=63°,

2

尸平分NA8C,

AZABF=kZABC=23°,

2

:.NAFB=ZMAE-NA8F=40°.

【方法总结】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的

和是解题的关键.

【考点3全等三角形的判定与性质综合】

【例3】(2019•南岸区)如图，在△A2C和△48。中，N84C=乙43。=90°,点E为A。边上的一点，

BLAC=AE,连接CE交AB于点G,过点A作。交CE于点尸.

(1)求证：ZXAGE之△AFC；

(2)若4B=AC,求证：AD=AF+BD.

【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到NC=NAEG,利用ASA定理证明AGE丝△AFC；

(2)延长A尸至点H,使4”=A£>,证明AC4Hg△84。，根据全等三角形的性质得到CH=8O,ZACH

=ZABD=90°,得到C”〃A8,证明“C="F,结合图形证明结论.

【答案】证明：(1)VZC/lB=ZME=90o,

:.NCAB-NFAG=NFAE-ZFAG,即NC4F=ZEAG,

'：AC=AE,

：.ZC=ZAEG,

在△AGE和△AFC中，

'/AEG=NC

<AE=AC，

NEAG=/CAF

/.AAGE^AAFC(ASA)；

(2)延长4尸至点“，®AH=AD,

在△C4”和△8AO中，

"AC=AB

-NCAH=NBAD，

LAH=AD

：./\CAH^/\BAD(SAS)

：.CH=BD,NAC，=/4B£)=9(r,

：.CH//AB,

：.ZCHA=ZHAG,

「△AGE也△AFC,

NAGE=ZAFC,

：.ZAGF=ZAFG,

:"CHA=NCFH,

：.HC=HF,

：.AH=AF+HF=AF+CH,

：.AD=AF+BD.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

【变式3-1］（2019•福州模拟）（1）已知，如图①，在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,直线机经过

点A,8。，直线机，CEL直线〃?，垂足分别为点。、E,求证：DE=BD+CE.

（2）如图②，将（1）中的条件改为：在aABC中，AB=AC,£>、A、K三点都在直线小上，并且有N

BDA=ZAEC=ABAC—a,其中a为任意钝角，请问结论£>E=B/）+CE是否成立？若成立，请你给出证

明：若不成立，请说明理由.

【分析】(1)根据8。，直线机，CE，直线，”得/8D4=NCE4=90°,而/8AC=90°,根据等角的

余角相等得NC4E=/48O,然后根据“A4S”可判断△AOB丝ZXCE4,

则AE=8D,AD=CE,于是DE=AE+AD=BD+CE：

(2)利用NBQA=NBAC=a,则NQBA+N8AQ=N8AQ+NCAE=180°-a,得出NC4E=NABD,

进而得出△AO2丝△CEA即可得出答案.

【答案】证明：(1):^力，直线〃?，CEJ•直线机，

.•.N8D4=NCEA=90°,

；NB4C=90°,

.•./8AO+/C4E=90°,

VZBAD+ZABD=90°,

：.ZCAE^ZABD,

•.•在△AOB和△CE4中

，ZABD=ZCAE

-ZBDA=ZCEA-

,AB=AC

：./\ADB^/\CEA(A4S),

：.AE=BD,AD=CE,

：.DE=AE+AD=BD+CE；

(2)'：ZBDA^ZBAC^a,

：.ZDBA+ZBAD=ZBAD+ZCAE=180°-a,

：.ZCAE=ZABD,

•在△AO8和△CEA中

2ABD=NCAE

,NBDA=/CEA，

AB=AC

/./\ADB^/\CEA(4AS),

：.AE=BD,AD=CE,

图①图②

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、

“AAS”；得出NCAE=/A8。是解题关键.

【变式3-2](2018秋•天台县期末)如图，/ACB=90°,AC=BC,ADICE,BELCE,垂足分别为£),

E,若AD=a,DE=b,

〃的式子表示)

(2)如图2,点。在△ABC内部时，直接写出8E的长..(用含。，人的式子表示)

【分析】(1)根据同角的余角相等可得NACD=/C8E,根据“AAS”可证△ACZJgaCBE,可得CE

=AD=a,即可求的长;

(2)根据同角的余角相等可得NACO=/CB£,根据“A4S”可证△ACO丝△CBE,可得CE=AO=a,

即可求OE的长.

【答案】解：(1)VZACB=90°,

，ZACD+ZBCD=90°

,：AD±CE,BELCE,

：.ZD=ZBEC=90°,

：.ZCBE+ZBCD=90°,

：.NACD=NCBE,且AC=8C,ZADC=ZBEC^90Q

：./\ACD^^CBE(A4S),

：.CE=AD=a,

'：DC=CE+DE

***BE=CD=a+b

(2)VZACB=9O0,

JZACD+ZBCD=90°

VAD1CE,BE工CE,

：.ZADC=ZBEC=90°,

:・NCBE+NBCD=90°,

:・NACD=NCBE,且AC=8C,ZADC=ZBEC=90°

J△ACDQACBE

：.CE=AD=a,

'：CD=CE-DE

:・BE=CD=a-b,

故答案为：a-b

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题

的关键.

【变式3-3](2019春•道外区期末)如图，四边形ABCC中，NABC=NBCD=90°,点、E在BC边上,

ZAED=90°

(1)求证：ZBAE=ZCED；

(2)若AB+CD=DE,求证：AE+BE=CE；

(3)在(2)的条件下，若△(?£>£：与△ABE的面积的差为18,CD=6,求BE的长.

(2)在ED上截取EF=AB,过点F作FGLDE交BC于G,连接DG,证出NFEG,由ASA

证得△ABE丝ZXEFG得出A£=EG,BE=FG,由AB+CD=DE,EF+DF=DE,得出。尸=CO,由4L证

得Rt△。/G丝RtZXOCG得出FG=CG,则8E=CG,即可得出结论；

(3)由△ABE丝△EFG,RtADFG=RtADCG)得出।SAA8E=SAEFG，S&DFG=SADCG，则SACDE-SAAB。

=25ASG=18,得出&C£>G=9，则LCG・CD=9,即可得出结果.

2

【答案】(1)证明：VZAEB+ZCED=]SOa-90°=90°,/BAE+NAEB=9Q°,

：.ZBAE=ZCED；

(2)证明：在EO上截取EF=AB,过点F作FGLOE交BC于G,连接。G,如图所示:

VZAEB+ZGEF=90°,ZBAE+ZAEB=90<,,

:.NBAE=NFEG,

'/BAE=/FEG

在△ABE和△EFG中，<AB=EF，

NABE=/EFG=90°

:.△ABE'^AEFG(ASA),

：.AE=EG,BE=FG,

■:AB+CD=DE,EF+DF=DE,

：.DF=CD,

在RtADFG和RtADCG中，jDF=CD,

lDG=DG

ARtADFG^RtADCG(HL),

：.FG=CG,

:.BE=CG,

AE+BE=EG+CG=CE-,

(3)解：,:△ABE0AEFG,RtADFG^RtADCG,

:•S£、ABE=SAEFG，SADFG=S&DCG，

S^CDE-SAA8E=2SAC0G=18，

S&CDG=9,

；.&G・CD=9,即工XCGX6=9,

22

：.CG=BE=3.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角形面积的计算等知识，熟练学

握等三角形的判定与性质是解题的关键.

【考点4动点问题中的全等三角形应用】

【例4】(2019春•平川区期末)如图，已知△ABC中，A8=AC=10cm,8c=8的，点。为A3的中点.如

果点尸在线段BC上以3aMs的速度由点8向C点运动，同时，点Q在线段C4上由点C向A点运动.

(1)若点。的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BP。与△C。尸是否全等，请说明理由.

(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时、能够使△BPO与aCJP

全等？

【分析】(1)经过1秒后，PB=3an,PC=5cm,CQ=3cm,由己知可得8D=PC,BP=CQ,NABC

=ZACB,即据SAS可证得△8PD丝△CQP.

(2)可设点。的运动速度为x(xW3)cro/s,经过BPD与4022全等，则可知P8=3fc，〃，PC—S

-3tcm,CQ=xtcm,据(1)同理可得当8D=PC,8P=C0或8O=CQ,8P=PC时两三角形全等，求

x的解即可.

【答案】解：(I)经过I秒后，PB=3cvn,尸C=5cvn,CQ=3cm,

「△ABC中，AB=AC,

...在△BP。和△CQP中，

BD=PC

<ZABC=ZACB>

BP=CQ

：./\BPD^ACQP(SAS).

(2)设点Q的运动速度为x(xW3)cm/s,经过ts/\BPD与△CQP全等：则可知PB=3tcm,PC=8-

item,CQ~xtcm,

'：AB=AC,

:.NB=NC,

根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况：①当8O=PC,BP=C。时，②当BO=C。，BP=

PC时，两三角形全等；

①当B£)=PC且8P=CQ时，8-3f=5且3/=xf,解得X=3,，舍去此情况；

@BD=CQ,8P=PC时，5=xf且3r=8-3f,解得：x=W；

4

故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点。的运动速度为耳m/s时，能够使△8P£＞与ACQP

4

全等.

【点睛】本题主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判

定方法是解题的关键.判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三

角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件.

【变式4-1］（2019春•永新县期末）ZVIBC中，AB=AC,乙4=40°,D、E分别是AB,AC上的不动点.且

（1）当PC=CE时（如图1）,求/OPE的度数;

（2）若PC=B。时（如图2）,求NCPE的度数还会与（1）的结果相同吗？若相同，请写出求解过程;

若不相同，请说明理由.

【分析】（I）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论：

（2）根据全等三角形的判定和性质和三角形的内角和即可得到结论.

【答案】解：（1）'：AB=AC,NA=40。，

.*.Zfi=ZC=70°,

"：CE=PC,ZEPC=(180°-70°)xL=55°,

2

又：BD+CE=BP+PC,PC=CE,

：.BD=PB,ZBPD=55°,

：.ZDPE^\S0Q-NBPD-NEPC=180°-55°-55°=70°:

(2)相同，

理由：'：PC=BC-BP,BD=BC-CE,PC=BD,

:.BP=CE,

:.△BDP乡ACPE(SAS),

二ZCPE=/BDP,

又•：NBPD+NCPE+NDPE=180°,ZBPD+ZBDP+ZB=180°,

:.NDPE=NB=70°.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练正确全等三角形的判定和性质

是解题的关键.

【变式4-2](2019春•宝安区期中)如图，在四边形ABCD中，AD=BC=10,AB=CD,BD=14,点E

从。点出发，以每秒2个单位的速度沿D4向点A匀速移动，点尸从点C出发，以每秒5个单位的速度

沿C-B-C,作匀速移动，点G从点8出发沿8。向点。匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达

终点时，其余两点也随之停止运动，假设移动时间为，秒.

(1)试证明：AD//BC-.

(2)在移动过程中，小明发现有AOEG与△BRJ全等的情况出现，请你探究这样的情况会出现几次？

并分别求出此时的移动时间/和G点的移动距离.

【分析】(1)由SSS证得△48。丝/XCDB,得出/AOB=NC8。，即可得出结论；

(2)设G点的移动距离为x,当△OEG与△8FG全等时，由NEDG=NFBG,得出OE=8尸、DG=BG

或QE=8G、DG=BF,

①当点尸由点C到点B,即0VW2时，则：[10-5t=2t,或(x=2t,解方程组即可得出结果；

Ix=14-x[10-5t=14-x

②当点尸由点B到点C,即24W4时，则(5tT0=2t,或(510=14-X,解方程组即可得出结果.

Ix=14-x[x=2t

'AD=BC

【答案】(1)证明：在和△CO8中，，AB=CD，

BD=DB

.•.△A3。丝△CDS(SSS),

NADB=NCBD,

：.AD//BC；

(2)解：设G点的移动距离为x,

当△OEG与△BFG全等时，

,:NEDG=NFBG,

:.DE=BF、DG=BG或DE=BG、DG=BF,

①；BC=10,芈=2,

当点尸由点C到点8,即0<fW2时,

则：fl0-5t=2t；

lx=14-x

,_1P_

解得：.1〒，

,x=7

或[x=2t,

ll0-5t=14-x

(4

解得：，；(不合题意舍去)；

②当点尸由点8到点C,即2<rW4时,

则（5t-l0=2t>

lx=14-x

,_1P_

解得：try,

.x=7

或［5t-10=14-x,

lx=2t

f24

...综上所述：AOEG与△8PG全等的情况会出现3次，此时的移动时间分别是犯秒、乃秒、21秒，

737

G点的移动距离分别是7、7、堂■.

7

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定、分类讨论、解方程组等知识，熟练掌握

全等三角形的判定和性质是解题的关键.

【变式4-3](2018秋•十堰期末)在△4BC中，AB=AC,。是直线BC上一点，以4。为一条边在AO的

右侧作△AOE,使AE=A£>,ZDAE^ABAC,连接CE.

(1)如图，当点。在BC延长线上移动时，若/B4C=25°,则/Z)CE=.

(2)设NBAC=a,ZDC£=p.

①当点。在BC延长线上移动时，a与0之间有什么数量关系？请说明理由；

②当点O在直线BC上（不与8,C两点重合）移动时，a与B之间有什么数量关系？请直接写出你的

结论.

【分析】（1）证△AADgaCAE,推出N8=NACE,根据三角形外角性质求出即可；

（2）①证△8AOg推出NB=NACE,根据三角形外角性质求出即可

②a+0=18O°或a=0,根据三角形外角性质求出即可.

【答案】（1）解：•.•/%£=/8AC,

ZDAE+ZCAD=ZBAC+ZCAD,

：.ZBAD=ZCAE,

在△840和△CAE中

'AB=AC

ZBAD=ZCAE-

AD=AE

:.△BAD/XCAE（SAS）,

:.NB=NACE,

:ZACD=ZB+ZBAC=ZACE+ZDCE,

：.ZBAC=ZDCE,

"：ZBAC=25°,

：.ZDCE=25°,

故答案为：25°：

（2）解：当点。在线段8c的延长线上移动时，a与0之间的数量关系是a=|3,理由是:

ZDAE=ZBAC,

：.ZDAE+ZCAD=NBAC+NCAD,

:.NBAD=NCAE,

在△BAD和△。£中

'AB=AC

NBAD=NCAE，

,AD=AE

：./\BAD^/\CAE(SAS),

，ZB=ZACE,

,：ZACD=NB+NBAC=ZACE+ZDCE,

：.ZBAC^ZDCE,

VZBAC=a,N£>CE=B，

*'.a=P；

（3）解：当。在线段BC上时，a+B=180°,当点。在线段BC延长线或反向延长线上时，a=0.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识，解题的关键是正确寻找全等

三角形解决问题，属于中考常考题型.

【考点5“三线合一”性质的应用】

【方法点拨】等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”）。

【例5】（2019秋•武昌区期中）如图，在△ABC中，NBAC=90°,ADVBC,BE平分NA8C,G为EF

的中点，求证：AGLEF.

【分析】只要证明AF=AE,利用等腰三角形的三线合一的性质即可解决问题;

【答案】证明：：BE平分NABC

尸=90°-ZABE

又：NAFE=ZDFB=90°-ACBE

：.NAFE=ZAEF,

...△AFE为等腰三角形

又为EF的中点

：.AG±EF.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属丁中考常考题型.

【变式5-1](2019秋•青山区期中)在△4BC中，8c边上的高AG平分/BAC.

(1)如图1,求证：AB=AC；

(2)如图2,点。、E在△ABC的边BC上，AD=AE,BC=\0cm,DE=6cm,求BO的长.

【分析】(1)想办法证明NB=NC即可解决问题.

(2)如图2中，作AGLBC于G.利用等腰三角形的三线合一的性质证明BO=CE即可解决问题.

【答案】(1)证明：如图1中，

为NBAC的平分线，

：.ZBAG^ZCAG,

为8c边上高

/.ZAGB=ZAGC=W,

：.4B=NC,

：.AB=AC.

(2)如图2中，作AG_LBC于G.

9

：AB=ACrAG±BCf

:.BG=CG,

;AD=AE,AG1BC,

：.DG=EG,

：.BG-DG=CG-EG,

：.BD=CE,

*：BC=\Ocm,DE=6cm,

BD=2cm.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

【变式5-2］（2019•衡阳校级期中）已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点O,BC的延长线上

【分析】欲证只需证根据等边三角形的性质及角的等量关系可证明乙DBE=/

E=30°.

【答案】证明：:△ABC为等边三角形，8。是AC边的中线，

J.BDLAC,8。平分/ABC,NDBE=L/ABC=3Q。.

2

,:CD=CE,

：.ZCDE=ZE.

VZ4Cfi=60°,且NAC8为的外角，

：.ZCDE+ZE^60a.

：.ZCDE^ZE=30°,

:.NDBE=NDEB=30°，

：.BD=DE.

【点睛】本题考查等腰三角形与等边三角形的性质及三角形内角和为180°等知识.此类已知三角形边

之间的关系求角的度数的题，一般是利用等腰(等边)三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求

角的度数.

【变式5-3】如图所示，ZVIBC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,AB=AC.

(1)若。为BC的中点，过力作分别交AB、AC于M、N,求证：DM=DN；

(2)若。分别和84、AC延长线交于M、N,问。M和。N有何数量关系，并证明.

【分析】(1)连接A。，可得可证△AMDg△CNZ),可得OM=ON；

(2)连接40,可得/AOM=/CZW,可证AAMDgACND,可得DM=DN.

【答案】解：(1)连接AO,

•••£)为8c中点，

：.AD=BD,NBAD=NC,

图1

ZADM+ZADN=90°,ZADN+ZCDN=90°,

:"ADM=NCDN,

在△AMO和△CNO中，

'/ADM=/CDN

•AD=CD，

,ZBAD=ZC

：.AAMD^/\CNDCASA),

：.DM=DN.

(2)连接AO,；D为BC中点,：.AD=BD,NBAZ)=NC,

VZADM+ZM£>C=90°,ZMDC+ZCDN^90a,

NADM=NCDN,

VZMAD=MAC+DAC=135a,NNCO=180°-ZACD=135°

在△/1”£）和中，

，ZADM=ZCDN

•AD=CD，

ZMAD=ZNCD

:.XAMD沿丛CND（ASA）,

：.DM=DN.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证

CNO是解题的关键.

【考点6等边三角形的判定与性质】

【方法点拨】等边三角形的性质：

（1）等边三角形是轴对称图形，并且具有3条对称轴；

（2）等边三角形的每个角都等于60°。

等边三角形的判定：

（1）三边相等的三角形是等边三角形。

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（3）有两个角是60°的三角形是等边三角形。

（4）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

【例6】（2018秋•松桃县期末）如图，点P,M,N分别在等边△ABC的各边上，且于点P,MN

_LBC于点M,PN1.AC于点、N.

(1)求证：△*1/可是等边三角形;

(2)若AB=12cw,求CM的长.

【分析】(1)根据等边三角形的性质得出/A=/8=/C,进而得出/〃/>8=/9。=/「乂4=90°,

再根据平角的意义即可得出NNPM=NPMN=NMNP,即可证得△PMN是等边三角形；

(2)易证得△PBM-△MCN0△M4P,得出PA=BM=CN,PB=MC=AN,从而求得BM+PB=AB=12cm,

根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出2PB=BM,即可求得尸8的长，进而得出MC

的长.

【答案】解：(1);△ABC是正三角形，

NA=NB=NC,

MNJLBC,PN1AC,

：.NMPB=ZNMC=NPNA=9Q°,

NPMB=NMNC=NAPN,

：.4NPM=NPMN=NMNP,

.♦.△PMN是等边三角形；

(2)根据题意丝△NAP,

：.PA=BM=CN,PB=MC=AN,

：.BM+PB=AB=\2cm,

「△ABC是正三角形，

・'・NA=N8=NC=60°，

：,2PB=BM,

；・2PB+PB=12cm,

PB=4cm,

MC=4cm.

【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，平角的意义，三角形全等的性质等，得出NNPM=NPMN

=是本题的关键.

【变式6-1](2018秋•邵阳县期末)如图，在等边△A8C中，NA8C与NACB的平分线相交于点。，且

OD//AB,OE//AC

(1)试判定△OOE的形状，并说明你的理由；

(2)若5c=10,求△OQE的周长.

【分析】(1)证明/A8C=/AC8=60°；证明NOOE=/A8C=60°,/OE£>=NACB=60°,即可

解决问题.

(2)证明BO=。。；同理可证CE=OE；即可解决问题.

【答案】解：(1)△OOE是等边三角形；理由如下：

「△A8C是等边三角形，

AZABC=ZACB=60Q；

VOD//AB,OE//AC,

.../ODE=/ABC=60°,NOE£>-8=60°,

.♦.△OQE为等边三角形.

(2)：03平分/ABC,OD//AB,

：.ZABO=ZDOB,ZABO=ZDBO,

：.ZDOB=ZDBO,

：.BD=OD-,同理可证CE=OE；

/.△ODE的周长=BC=10.

【点睛】该题主要考查了等边三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用平行线的性质、

等边三角形的性质来分析、判断、解答.

【变式6-2](2019秋•寿光市期末)如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以AB、BC为边,在直线AC

的同侧作等边△ABD和等边△BCE,连接AE交BD于点M,连接CD交BE于点N,连接MN得ABMN.

(1)求证：△ABEgADBC.

(2)试判断的形状，并说明理由.

【分析】(1)由三角形A3。与三角形8CE都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两条边对应相

等，两个角相等都为60°,利用SAS即可得到三角形ABE与三角形08c全等；

(2)三角形BMN为等边三角形，理由为：由第一问三角形ABE与三角形。BC全等，利用全等三角形

的对应角相等得到一对角相等，再由NA8O=NEBC=60°,利用平角的定义得到/N8C=

60°,再由EB=C8,利用ASA可得出三角形与三角形CM3全等，利用全等三角形的对应边相等

得到再由NM2E=60°,利用有个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出三角形BMN

为等边三角形.

【答案】解：(1)证明：•.•等边△A8D和等边△BCE,

：.AB=DB,BE=BC,ZABD=ZEBC=60Q,

：.ZABE=ZDBC=\20Q,

在△ABE和中，

'AB=DB

,•,<NABE=NDBC，

,BE=BC

:4BE必DBC(SW；

(2)为等边三角形，理由为:

证明：•「△ABE也△O8C,

NAEB=ZDCB,

又,NABZ)=/EBC=60°,

/.ZMBE=180°-60"-60°=60",

即NM8E=NNBC=60°,

在△MBE和△N8C中，

rZAEB=ZDCB

工EB=CB，

ZMBE=ZNBC

:.丛MBE沿丛NBC(ASA),

:.BM=BN,ZMB£=60°,

则△8MN为等边三角形.

【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是

解本题的关键.同时做第二问时注意利用第一问已证的结论.

【变式6-3](2019秋•中江县期末)如图，△ABC中，AB=BC=4C=12的，现有两点M、N分别从点A、

点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为\cmls,点N的速度为Icm/s.当点N第一次到

达B点时，M、N同时停止运动.

(1)点、M、N运动几秒后，M、N两点重合？

(2)点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN?

(3)当点M、N在8c边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMV?如存在，请求出此时M、

N运动的时间.

【分析】(1)首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M,N的运动路程，N的运动路程

比M的运动路程多12cm,列出方程求解即可：

(2)根据题意设点历、N运动f秒后，可得到等边三角形△斗〃义,然后表示出AM,AN的长，由于/A

等于60°,所以只要三角形4VM就是等边三角形；

(3)首先假设△4MN是等腰三角形，可证出△ACM丝△ABM可得CM=BN,设出运动时间，表示出

CM,NB,NM的长，列出方程，可解出未知数的值.

【答案】解：(1)设点用、N运动x秒后，M、N两点重合，

xX1+12=2%,

解得：x=12；

(2)设点M、N运动f秒后，可得到等边三角形△4MN,如图①，

AM=tXl=t,AN=AB-BN=12-2t,

•.•三角形△4“可是等边三角形，

：.t=l2-2t,

解得f=4,

点仞、N运动4秒后，可得到等边三角形△4MN.

(3)当点M、N在8c边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，

由(1)知12秒时M、N两点重合，恰好在C处，

如图②，假设△AMN是等腰三角形，

C.AN^AM,

：.NAMN=NANM,

：.NAMC=NANB,

'：AB=BC=AC,

/\ACB是等边三角形，

：.ZC=ZB,

在△ACM和△ABN中，

'AC二AB

,•,<ZC=ZB，

,ZAMC=ZANB

.♦.△ACM丝"BN,

:.CM=BN,

设当点M、N在8c边上运动时，M、N运动的时间y秒时，是等腰三角形，

J.CM^y-12,NB=36-2y,CM=NB,

y-12=36-2y,

解得：y=\6.故假设成立.

当点M、N在8c边匕运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形4MM此时M、N运动的时间为16

秒.

M

【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质及判定，关键是根据题意设出未知数，理清线段之间的数量

关系.

【考点7利用因式分解与乘法公式求值】

【例7】已知4.』+『-4x+lQy+26=0,求6x-上y的值•

5

【分析】已知等式利用完全平方公式变形，利用非负数的性质求出x与y的值，代入原式计算即可求出

值.

【答案】解：V4x2+y2-4x+10y+26=4(x-工)2+(y+5)2=0,

2

Ax=—,y=-5>

2,

则原式=3+1=4.

【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.

【变式7-1]（2019秋•崇明县期中）已知x+y=4,