中国人民大学出版社第四版高等数学一第8章课后习题详解

第8章课后习题详解多元函数微分学

习题8-1

★1.设=求/(1,马。

x+yX

2y

解：/(1,马=-

Xp+(Z)2x—y

X

★2.已知函数/(〃,匕卬)=〃"'+w"+"试求/(x+y,x-y,孙)。

解：/(x+y,x-y,^)=(x+y)xy+(xy)2x

★★3.设z=1+y+/(冗一y),且当y=0时，z=x2,求/(x)。

解：将y=0代入原式得：x2=x+O-i-f(x-O),故f(x)=x2-x

4.求下列函数的定义域：

★(1)z=ln(y2-2x+l)

解：要使表达式有意义，必须/-2x+l>0

・•・所求定义域为。={(羽y)ly2—2x+l>0}

★(2)z=yjx-y[y

解：要使表达式有意义，必须了一梃20,D={(x,y)\x>y[y}

z

★★⑶u=arccos.

7^7

7

解：要使表达式有意义，必须一14/41

7^7

。={(x,y,z)I-y/x~+y2<z<yjx2+y2}

J4x-y2

★★★(4)Z=

ln(l-x2-y2)

4x->-2>0

解:要使表达式有意义，必须1-x2-y2>0

ln(l-x2-y2)^0=lnl

D={(x,y)IO<x2+y2<1,/<4x}

y/x

★★(5)z=ln(y-x)+—1=

x—y-

y-x>0

解:要使表达式有意义,必须Vx>0/.£>={(x,y)Ix2+y2<1,0<x<y}

1-x2—y2>0

5.求下列极限:

ln(x+e‘)

★(1)1101-7==-

Xf1f+y2

yf0

知识点：二重极限。

思路：(1,0)为函数定义域内的点，故极限值等于函数值。

惚i；mln(x+ev)In2

解：lim-/=----=.

XT1丫22|

y->0VX十)

2—Jxy+4

★★(2)hm———----

“书孙

知识点：二重极限。

思路：应用有理化方法去根号。

解.=hm_______h=lim____=__

二孙(2+Jxy+4)/2+Jxy+44

***(3)lim(x2+y2)e~(I+y)

Xf+oo

y->+co

(x+»-2xy(x+y)2

解:原式=limlim(

X->4-COXf+8eey

JT+COyT+co

八］.y„

,/hrm--=0,lim—=0

XT+sO£X.V—>-H»/

y—>+<x)y->+oo

(x+y)2〃=x+".u2

-------=lim—lim—=lim—=0.

_r->+<jo/+yw->+ooa->+oo*w—>+ooe”

y->+<»

lim(Y+y2=0

XT8

y—>oc

孙

★★(4)lim,--------

D/„2,..2

y->0\X+y

解：方法一：（应用二重极限定义，£-5语言）

JT2+y2

<17^+7

27777

22孙

・•.V£>0取3=2£当0<yjx+y<b时恒有

G+yT-°

「肛八

.lim-7=^=r=0

x->02

y->0X+/

方法二：（夹逼定理）

孙X

0<-Iyl<lyI，又limIy1=0

Jx、y2XTO

M+9y->0

孙

.lim0

A->0

y->0

方法三：（极坐标代换）

令x=rcos。，y=rsin。，则当(x,y)f(0,0)时，r70(0<。《2万)

「xyrcosOrsin0

lim..=lim------------------limrcosOsin。=0

.rf022rl0

y->0x+yf

yjx2+y2-sinyjx2+y2

★★(5)lim

A->0

vfO

知识点：二重极限。

思路：先作变量替换，然后对未定型9应用洛必达法则及等价无穷小量替换。

0

解：令J.2+y2=〃,则（冗,。0）时，（）+,

12

——U1

u-sinM洛必达1一COSU

原式二limlimlim^"v=一

«-»o+w3"fO.3/"fo’3u~6

,、..l-cos(x2+y2)

★★★(6)hm-----------------―

，(x2+y2)exy

l-cos(x2+V)..1-cosCr+y-)I-cos，+y2)

解：limlim--------弓-----弓------lime''-lim

*巧(X+y2)x->0x->0U2+y2)

y->0)->o、J'「0yfO

一12

22]—COS〃

x+=y=ulimCOSM=lim-2—=0

“->0+U"TO'U

6.证明下列极限不存在

知识点：二重极限。

思路：若（x,y）沿不同曲线趋于（％,%）时，极限值不同，则二重极限不存在。

★★（1）hm-----

（o,o）x-y

证：取y=kx则

x+y（]+攵）x]+女

lim--=lim-———=——易见极限会随上值的变化而变化，故原式极限不存在。

（“）f（o,o）x-y;比（1_k）x\-k

★★★★(2)hm(l+xy)y

x->0

y->0

证：方法一：

]1xyIxy

lim(l+孙)再=lim(l+孙产而=lim[(l+盯产]再

xfOA->0x->0

y->0y—0>'->0

现考虑lim———

二（x+丁）

o—

若(x,y)沿/轴趋于(0,0),则上式=lim—=0,从而lim(l+xy)t+>，=e]=1

x->o9xA->O

y=0yfO

X

x----

若(x,y)沿曲线y=一一趋于(0,0),则lim———=lim—x~^=1,

i上

Fx-1

i

从而lim(l+xy)x+y=e

A->0

y->0

故原式极限不存在。

方法二：

11

若取=一,〉“=一,则

nn

1«「160

lim(l+xy)x+y=lim(l+—)2=lim(1+=e°=l

x->0〃T8几2n->oo/

y—>0L-

若取=一一,yn=」■；■，则

n〃+1

lim(l+xy)x+>=lim

X->0”TOO

y->0

故原式极限不存在。

Jxy+1-1

★★★(3)hm---------

-1°Y+V

MJxy+1-1xy

解：hm------=hm---------.---

x+yj4(x+y)(J盯+1+1)

若(x,y)沿x轴趋于(0,0),则上式=hm—=0

•so2r

v=0

X

若(x,y)沿曲线y=」一趋于(0,0),则上式=lim---立」一

x-l10IX\2

JL2(X+―-)

x-lX-1

故原式极限不存在。

注：若（x,y）沿曲线y=-x趋于（0,0）,则lim0+），）（"0

lim—r-=0n

Xf0-x~

Po盯y=-x

-Jxy+1—1

从而--------lim--------1----------------=ooo

Tx+yg(x+y)("y+i+i)

yf0J

7.研究下列函数的连续性

y2+2x

★(1)/(x,y)=

y2-2x

解：当/-2%=0时函数无定义，故函数的间断点集为{（x,y）l）a=2x}

★★★(2)/(x,y)=xyln(x2+y2)

解：函数间断点为（0,0）,由OWlAylnx2+y,）K|g（x2+），2）］n犬+火）|

22

u=x+yln〃洛必达一

又lim(x2+y2)ln(x2+y2)=limwlnw=lim——=lim=0

XTO”TO“TO1“TO1

y—>0-----------

uu2

故由夹逼定理limx^ln(x2+y2)=0,故(0,0)为可去间断点。

x->0

)TO

一r——，xA0,y任悬

★★★8.设/（x,y）=《,4，讨论/（x,y）在（0,0）处是否连续？

yex+1

0,x=0,y任意

知识点：二元函数连续

思路：若limf（x,y）=f（xQ,yQ）,则函数z=/3），）在（入0，打）连续。讨论（x（）,y0）处二重极限

y^y（）

的存在性，若（x,y）沿不同曲线趋于（小,%）时，极限值不同，则二重极限不存在。

0

解：若（x,y）沿x轴趋于（0,0）,则lim―与----hrm—=0n

x->0—XTO1

>.->0y^gX2+]y=0

I

ye*11

若（x,y）沿y=e'轴趋于（0,0），则lim―1―；-----=Inn----=_

A->0,42。，1+12

y->0y~ex+1-7

Jy-e*

故lim于（x,y）不存在，从而函数/（x,y）在（0,0）处是不连续。

x->0

）TO

§8.2偏导数

内容概要

定义性质

dz_/（入。+八%）'。）一/（工。，）'。）几何意义：z=/（x,y）的偏导数

dxX=Xo&T°Ax

。（X。，）'。）表示空间曲线

也记为

/\\df（10，Vo）rfZ、

j（x（），%）/（工0,%），c/（%（），为）z=/（x，y）

OX*在点（Xo，yo，Zo）

偏同理可定义

导dz

=lim/（玉），孔+△）•）-/（x。，％）处的切线T、关于x轴的斜率

偏数

Ay->0Av

办x-Vo

导.v=yo偏导函数的求法：（1）多元函数对某自

数变量求偏导时，只需将其余自变量看为

/，70）/（/，为）,">fy（/，%）

Zy（常数，按一元函数求导法则计算导数。

（2）多元分段函数在分段点处偏导数

要用偏导数定义来求。

高

若函数z=/（x,y）的偏导数f（x,y）,f（x,y）如果z=f（X,y）的二阶混合偏导数

阶xy

偏在区域D内偏导数也存在，称它们为二阶偏导数。二算-父2-

导阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数。-一J在区域D内连续，则在

dxdydydx

数

1）内这两个偏导数相等。

课后习题全解

习题8-2

I.求下列函数的偏导数:

★(1)z=x3y+3x2y2-xy\

知识点：二元函数偏导数

思路：函数对自变量X(y)求导时将另一自变量y(x)看为常量，按一元函数求导法则求导。

解：—=3x2y+6xy2-y3—=x3+6x2y-3xy2

dx5y

22

x+K

**(2)z

孙

x2+y2xy&1ydz1x

努：z=-------=一+—,故——二------:——二-------

xyyxdxyx2dxxy2

x

★★(3)

y]x2+y2

)2dz_2&2+J

解:一孙

3dyx1+y23

(x2+y2y(x2+y2y

注：该题中应用一元函数商式求导法则及复合函数求导法则。

**(4)z=Jln(盯)：

dz1,、、-；1]女1,,、旧11

解:—=-(nln(xy))-——y—=-(ln(iy))2——x=

dx2xy2xjln(xy)oy2xy2yjln(孙)

★⑸z-sin(xy)+cos2(xy)；

dz

cos(xy)y+2cos(xy)(_sin(xy))y—=cos(xy)x+2cos(xy)(-sin(xy))x

解：dxdy

y[cos(x>-)-sin(2xy)]=x[cos(xy)-sin(2孙)]

★★★⑹z=(1+xy)v；

知识点：二元函数偏导数

思路：函数对自变量x(y)求导时将另自变量y(x)看为常量，按-元函数求导法则求导。在本题

中对口变量x求偏导时，函数为x的爆函数：对自变量y求偏导时，函数为y的繁指函数。

解：方法一

"=y(l+xyY"'(1+xy)；=y(l+xy),，_|y=y2(l+“产

ox

—=(*".)'=(">«("))；="…)(ln(1+刈)+y—

dy\+xy

=(l+?)yln(l+x>')+—^—

1+盯

07

方法二：(求」时也可利用下边第5节的隐函数求导法则)

在方程两边同时取自然对数得lnz=yln(l+xy)

方程两边同时对自变量y求偏导数，注意z为x,y的函数

1&,八、*

--=ln(l+xy)+y-----

zdy1+孙

告=(l+xy)vln(l+xy)+—

dy|_1+孙

,x

★★(7)z=Intan一；

y

初&1x\\xx22x

解：一=------sec2------esc—sec-=—esc—；

dxtan±yyyyyyy

y

dz12%/X、％xxx2x

—=-----sec—•(——7)=——7csc—sec—=——7cse一

办tan'yyyyyyy

y

★★(8)U=(一);

y

知识点：多元函数偏导数

思路：函数对自变量x(y或z)求导时将另两自变量y,z(x,z或x,y)看为常量,•元函数求导

法则求导。

解：”=2二尸.(-);=z(-r[-=-c-r1；

oxyyyyyy

;

^=z(V-A=z(V-(-4)=--(-)：

oyyyyyyy

**2.设/(x,y)=x+(y-l)arcsinJ'，求/v(x,l)<.

解：法一：/(x,l)=x+(l-l)arcsinVx=x,£(x,l)=l；

法二：£(x,y)=i+(y—D--<(x,D=1

y

(x2+y)sin./+y2w0

★★★3.设f(x,y)-<,求f；(x,y),f；(x,y).

o,,x2+y2=0

知识点：多元分段函数偏导数。

思路：分段函数分段点处偏导数用定义求：非分段点处应用法则求导。

解：当(x,y)=(0,0)时,

(Ax)2sin----

/；(o,o)=nrn1(廿5。七国@=____凶0

—Ax-limAr=

A.1

Aysin---

/(0,0+Ay)-/(0,0)lAyl...17右升

lim-------:—=limsin----不存在。

Av->0Aya-。IAyI

当(x,y)w(0,0)时,

X

1yjx2+y2

/；(x,y)=2xsin-?=->7

1x+/厂+y

2xsin下二-卢?cos予二

旧+VJ，+y2)3旧+\2

y

x1,2、1Jx-+y-

/v(x,y)=sin,+(x+y)cos,,—七一片

Jr+yyjx-+y~x+y

sin-r±=-产+：)cos

22

y]x+yJ(/+y2)3旧+/

(_x2+y?

★★4.曲线'=-4一在点(2,4,5)处的切线与x轴正向所成的倾角是多少？

y4

知识点：多元函数偏导数的几何意义。

z=/(x,y)

思路：z=/(x,y)的偏导数£0(),%)表示空间曲线《在点a。，%*。)处的切线，关

V=Vc

于轴的斜率，

xk=tana0

枷dz_2x_xdz

&42ax

71

cc=—

4

d2zd2z

5.求下列函数的一•，一不

dx2dy2

★(1)z=x2yey；

解：—=2xyey;—=x2ey+x1yey

dxdy

--=(2xyey)r=2yey；----=(2xyey)f=2xey+2xyey=2x(1+y)ey

dxxdxy

=(x2ey+x2yeyY=x2ey+x2ey+x2yey=x2(2+y)ey

y

★★(2)z=arctan—；

dxl+(t)2X2/+y2，Qyl+g)2x丁+丁

.52Z_a-y

.-----I-----2xy

dx2dxx2+y2(x2+y2)2

,d2za,-y、-(X?+y2)+y.2yy2-x2

dxdydyx2+y2(x2+y2)2(x2+y2)2

.S2zdx=-2xy

''dy2dyJC+y-(x2+y2)2

***(3)z-yx

(VIny)=/(Iny)2；=；(xy'_1)=x(x-l)/-2

Sydy

ff(y'lny)=jyilny+y"=尸(》1"+1)

oxoyoyy

★★6.设/(x,y,Z)=盯2+”2+^2,求心(0,0,1),4/1,0,2),4(0,-1,0)及乙(2,0,1).

2

解：，=寸+2②，.,.九=2。几=2x,又fy=2xy+z,:.fyz=2z.

2

fz=2yz+x,:.fa=2x-,=2

所以/„.(0,0,1)=2,4(1，0,2)=2,(0,-1,0)=0,(2,0,1)=0

V237©7

★★★7.设Z=—+(P(Xy),其中夕(〃)可导，证明J，+y2=%),二。

3xdxdy

证：旨=+(肛)y，M=尹+"3)x,

ox3roy3x

y22

左边=X2(-—+8'(盯)y)+y2=彳y2+%2),夕，(孙).

3x3

2y.29>7rz

右边=孙(z-----F(p(xy)x)=—y~+xy(p(xy)»所以左边=右边，题目得证。

3x3

注：本题中对抽象函数夕(孙)应用了一元复合函数求导法则。

与3

★★8.设z=xIn(孙)，求—-—及------o

dxdydxdy

&i

解：—=ln(x)04-x---y=ln(xy)+l,

dxxy

d2z11d\„

—r——y=—,—z—=0；

dx2盯xdx~dy

d2z11兆i

___—__.x=_,___—__

dxdyxyy，dxdy2y2

§8.3全微分及其应用

内容概要

如果函数z=/(x,y)在点(x,y)的全增量Az=f(x+Ar,y+Ay)-/(x,y)可表示

为Az=AAx+BAy+。(夕)，其中A,8与Ax,Ay无关，p=^(Ax)24-(Ay)2»则称函

定

义

数在点(x,y)可微，全微分dz=AAr+BAy。

(1)若函数z=fCx,y)在(vy)可微,则z=/(x,y)在(x,y)连续

(2)若函数z=/(x,y)在(x,y)可微，则lim2—―=0；从而若lim2——0,则

全

p->0p0Top

微

分性

函数z=/(x,y)在(x,y)不可微。

及质

其

(3)若函数z=/(元丁)在(工,丁)可微,则％=/(x,y)在(x,y)偏导数存在，且

应

用

,&.&,

az=—+—ay

dxdy.

(4)若函数Z==(x,y)在(x,y)的某邻域存在偏导数且二,—在(x,y)连续，则函数在

dxdy

dzdz

(x,y)可微，且dz=--dx+—dy

dxdy

若函数z=/(x,y)在(x,y)的某邻域内偏导数小，在(x,y)连续，且lAdJAyl都比

较小时，有全增量近似公式^z~d2=fx(x,y)Ax+fy(x,y)Ay

函数值近似公式/(x+Ar,y+Ay)=f[x,y)+fx(x,y)Ar+/v(x,y)Ay

课后习题全解

习题8-3

1.求下列函数的全微分：

★(1)z3x^yH—；

y

知识点：全微分。

思路：求出函数的偏导数，代入全微分公式dz=—dx+—dy.

dxdy

解：*6犯+乙答3人3

dxydyy"

1x

所以dz=(6盯+—)dx+(3x02——7)")'

yy

★★(2)z=sin(xcosy)；

&&

解：—=cos(xcosy)cosy,—=cos(xcosy)(-xsiny)

dxdy

所以dz=cos(xcosy)cosydx-xsinycos(xcosy)dy

★★★(3)u=xyz；

解：一=yzxyz~},一=xyz\nx-z=zxyzInx,一=xyz\nx-y=yxyzInx

dxdydz

所以du=yzxyz~{dx+zxyzInxdy+yxyzInxdz

★★2.求函数z=ln(2+/+V)在1=2,y=1时的全微分。

解生=2茂=1dz2y_2

7；,：72+/+丁2；;一于22x=2-)

：dyyZ?2+x+yy=\/

42

所以dz=—dx+—dy

★★★3.设f(x,y,z)=求4(1』」)

zyyyzyzyyyzy

/-=(—);In%),(--y)=一-7(-):In4)

yyzzyy

故人(1,1,1)=1,(1,1,1)=1,工(1,1,1)=0从而dz=dx-dy

**4.求函数z=上在x=2,y=1,Ac=0.1,Ay=-0.2时的全增量M和全微分dz。

x

解：Az='+N-上,dz=一_—Ay

X4-AxXX"X

将x=2,y=1,Ax=0.1,Ay=—0.2代入得：

全增量A^=1+(~0-2)--=-0.119,全微分dz=—4-0]+L-(—0.2)=—0.125

2+0.12222

★★5.计算)(1.02)3+(1.97)3的近似值

知识点：全微分

+

思路：应用全微分近似计算公式/(x+Ax,>+△)；)hf(x,y)+Afyy^y

解：设/(x,y)=G+J,则要计算的近似值就是该函数在x=1.02,y=1.97时的函数值的近

似值。取x=1,y=2,AY=0.02,Ay=-0.03

3x23y2

又/(羽》)=i3rf(^y)=I

+yy243+y33

_________________________3^232

应用公式J(尤+Av.+(),+A),)3wJ十寸+—..XAr+—/'

2打十/2y]x3+y3

所以J(1.02)3+(1.97)3QJP+23+_^==002+-------,(-0.03)

2VP+232Vl3+23

=2.95

★★6.计算(1.007严8的近似值

知识点：全微分

思路：应用全微分近似计算公式/(x+Ax,y+Ay)«f(x,y)+fx(x,y)Ar+fy(x,y)Ay

解：设/(x,y)=x1则要计算的近似值就是该函数在x=1.007,y=2.98时的函数值的近似值。

取x=1,y=3,Ax=0.007,Ay=—0.02

yy

又fx(x,y)=yx~',fy(x,y)=x\nx所以f(1,3)=1,力(1,3)=3,fy(1,3)=0,

所以(1.007)2-98=(1+O.OO7)3-002«1+3-(0.007)+0-(-0.02)=1.021

★★7.已知边长为x=6加与y=8〃z的矩形，如果边x增加2c〃？，而边y减少5c〃z,问这个矩形的

对角线的近似变化怎样？

知识点：全微分

dzdz

思路：应用全微分近似计算公式Az«Jz=—Ax+—Ay

dxdy

解：由题意知矩形的对角线为z=y]x2+y2

dzdz

则有Az^dz=—Ard----Ay,

dxdy

其中—=["=,——=ij)=，x=6,y=8,Ax=0.02,Ay=—0.05

/7777②后77

AR

所以Azadz=—•(0.02)+一•(-0.05)=-0.028

1010

即矩形的对角线近似减少2.8cm。

★★8.用某种材料做一个开口长方体容器，其外形长5机，宽4加，高3加，厚20c加，求所需材料的近

似值与精确值。

解：设容器的长宽高分别为苍y,z，则长方体体积为丫=盯［,从而所需材料的精确值为AV

由题意可知，x=5,y=4,z=3,Ax=-0.4,Ay=-0.4,M--0.2

故精确值AV=5x4x3-4.6x3.6x2.8=13.632(m2)

近似值AV«-dV=-(yzAx+xzAy+xyAz)=14.8(他)

V

★★9.有欧姆定律，电流i,电压v及电阻R有关系/?=7。若测得v=iiov,测量的最大绝对误差为2V,

测得r20A,测量的最大绝对误差为0.5Ao问由此计算所得到的R的最大误差和最大相对误差是多少？

解：dR^-dV+—dI^-dV-^dI

dVdiII2

其中V=110,/=20,g=2,心=0$,百，&分别为测量电压和电流的绝对误差；

1V1IVI

故l△H饪ldR国一dVI+l---dl\<—一反

II21711I22

x2+可x0.5=0.2375»0.24

20202

V110dR0?4

n又R=—=--5.5,故——<^=0.044=4.4%

I20R5.5

从而R的最大误差为0.24Q,最大相对误差是4.4%。

§8.4复合函数微分法

内容概要

类型求导法则

复合函数的

如果函数〃=〃。)及^=uQ)在点/处可导，函数z=/(〃》)在对应点(〃,口)出具

中间变量均

为一元函数

有连续偏导数，则复合函数z=/(w(r),v(0)在对应点，处可导，且

的情形

dzSzdudzdv

一+

dtdudtdvdt

复合函数中

如果函数〃=〃(x,y)及丫=u(x,y)在点(x,y)处可导，函数z=/(〃#)在对应点

间变量为多

元函数情形

复(〃,y)出具有连续偏导数,则复合函数z=„(x,y),y(x,y)］在对应点(x,y)处可

合

dz8zdudzdvdz&dudzdv

函导，月.一+,—+

数dxdudxdvdxdydudydvdy

微

复合函数中

分如果函数〃=w(x,y)及在点(x,y)处可导函数v=»(y)在y点可导，

间变量既有

法一元函数又

函数Z=/(w,v)在对应点(〃,V)出具有连续偏导数，则复合函数

有多元函数

的情形

z=/["(x,y)»(y)]在对应点(x,y)处可导,

且_dz=_S_z_d_u,&__=d_z_d_u_।__dz_d_v

dxdudxdydudydvdy

注：若z=F(x,y,w)，u=u(x,y),则z=/(x,y,w(x,y))

dz_dfdfdudz_dfdfdu

dxdxdudxdydydudy

其中或为/对中间变量x的偏导数，此时应将z=f(x,y,u)中变量y,u看做常

dx

数：而三为2=/(%,乂〃(尤了))对自变量工的偏导数，此时将自变量y看为常数。

dx

dfdz

—与—区别同上。

dydy

课后习题全解

习题8-4

★★1.设z=»，而尤=，，y=1一/'，求它

xdt

虫二包包+包也

dtdxdtdydt

=―-+，•(-2c~)=---Y-el+--(—2e2t)

xxeel

=—(/+/)

dz

★★2.设［=6*-2丫，而工=sin/,y=/,求—L

dt

她dz_dzdxdzdy

dtdxdtdydt

=^~2v-cosr+^~2y(-2)-3r2

=^sin/-2z'(cosr-6/2)

、223z及

★★3.设z=〃~+u~，加〃=x+y,u=x—y,求—,—

dxdy

dz_&3〃+dzdvdz_dzdudzdv

dxdudxdvdxdydudydvdy

=2〃•1+2u•1=2ul+2v-(-l)

=2(x+y)+2(%-y)=4x=2(x+y)—2(x-y)=4y

★★4.设Z=，+/)◎,求生，生

dxdy

解：令〃=J+)/#=盯，则函数可看为z=〃"，〃=—+=盯复合而成的函数，从而

3z_dzdudzdv&_dzdudzdv

dxdudxdvdxdydudydvdy

=vuvi-2%+«'Inu-y=vuv~}-2y+wrlnw-x

222

=(X+/r(_1£2_+yln/+,))=(x+/r(4^+xlnX+八))

x+yx+y

注：本题也可根据塞指函数求导法则(〃(x)心)'=(*〃a)s)=(6+)”心)［计算或用对数求

导法。

dz

★★5.设z=arctan(孙),y=/,求一-

dx

1ooJ,A

解：—=—+—(二指z对中间变量%的偏导数，此时将z=arctan(xy)中y看为常量)

dx