新教材2023年高中数学第四章数列4.3等比数列4.3.2等比数列的前n项和公式第1课时等比数列的前n项和公式课件新人教A版选择性必修第二册

第四章数列4.3等比数列4.3.2等比数列的前n项和公式第1课时等比数列的前n项和公式必备知识·探新知关键能力·攻重难课堂检测·固双基素养目标·定方向素养目标·定方向学习目标核心素养借助教材实例了解等比数列前n项和公式的推导过程逻辑推理借助教材掌握a1，an，q，n，Sn的关系数学抽象逻辑推理掌握等比数列的前n项和公式、性质及其应用逻辑推理数学运算必备知识·探新知想一想：在运用等比数列前n项和公式求和时，要注意什么？提示：当公比未知时，一定要对公比进行分类讨论．知识点1等比数列的前n项和公式na1

知识点2等比数列前n项和公式与其公比q的关系(2)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，则数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是正比例函数y＝a1x图象上的一群孤立的点．想一想：如果数列{an}的前n项和为Sn＝－Aqn＋A(Aq≠0，q≠1，n∈N＋)，那么这个数列一定是等比数列吗？则数列{an}是等比数列，其中首项为a1＝A(1－q)，公比为q.由上可知，“数列{an}是等比数列⇔Sn＝－Aqn＋A(Aq≠0，q≠1，n∈N＋)”可作为判定非常数列{an}是等比数列的一个依据．练一练：等比数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)在函数y＝3x＋1＋m的图象上，则m＝______．[解析]

∵点(n，Sn)在函数y＝3x＋1＋m的图象上，∴Sn＝3n＋1＋m＝3×3n＋m.又Sn＝－Aqn＋A，比较可知m＝－3.－3

知识点3等比数列前n项和的性质B

关键能力·攻重难题型探究题型一与等比数列前n项和有关的基本运算典例1[分析]

在等比数列中，对于a1，an，n，q，Sn五个量，若已知其中三个量就可求出其余两个量，常列方程(组)来解答问题．当涉及高次方程或指数方程时，要注意表达式的特点，采取相应的方法处理．[规律方法]

等比数列前n项和运算的技巧(1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答．(2)对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换．提醒：两式相除是解决等比数列基本量运算常用的运算技巧．B

C

某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营，每年资金增长率为50%，但每年年底都要扣除消费资金x万元，余下的资金投入再生产．为实现5年后，资金达到2000万元(扣除消费资金后)，那么每年年底扣除的消费资金应是多少万元？(精确到1万元)[分析]

依次写出每年年底扣除消费资金后的资金，寻找规律写出第五项求解．题型二等比数列前n项和公式的实际应用典例2【对点训练】❷(2022·汕尾高二检测)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各偿还多少？该问题中，1斗为10升，则羊主人应偿还多少升粟 (

)C

(2022·上海高二检测)已知数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn＝3n－1＋k(n∈N*)，则常数k＝_______．题型三等比数列前n项和公式的函数特征典例3【对点训练】❸设等比数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝k·2n－3，则ak＝

(

)A．4

B．8

C．12

D．16[解析]

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝k·2n－1；当n＝1时，a1＝S1＝2k－3＝k·21－1，解得k＝3，∴ak＝a3＝3·23－1＝12.故选C．C

(1)(2022·云南昆明高三模拟)已知等比数列{an}的各项都是正数，Sn为其前n项和，若S4＝8，S8＝24，则S16＝ (

)A．40

B．56

C．72

D．120D

题型四等比数列的前n项和的性质的应用典例4(2)下列说法正确的是

(

)①若数列{an}是等差数列，且am＋an＝as＋at(m，n，s，t∈N*)，则m＋n＝s＋t；②若Sn是等差数列{an}的前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列；③若Sn是等比数列{an}的前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列；④若Sn是等比数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn＋B(其中A，B是非零常数，n∈N*)，则A＋B为零．A．①②

B．②③

C．②④

D．③④C

[解析]

(1)因为S4＝8，S8－S4＝16，S12－S8，S16－S12成等比数列，所以S12－S8＝32，S16－S12＝64，S16＝S4＋(S8－S4)＋(S12－S8)＋(S16－S12)＝8＋16＋32＋64＝120.(2)①若数列{an}是常数列，对任意的正整数m，n，s，t都有am＋an＝as＋at，①错误；②设等差数列{an}的公差为d，首项是a1，Sn＝a1＋a2＋…＋an，S2n－Sn＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n＝(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝Sn＋n2d，同理S3n－S2n＝(S2n－Sn)＋n2d，因此2(S2n－Sn)＝Sn＋(S3n－S2n)，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，②正确；【对点训练】❹(1)(2022·山西太原高三模拟)已知一个项数为偶数的等比数列{an}，所有项之和为所有偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则a1＝

(

)A．11

B．12

C．13

D．14(2)(2022·江西师大附中高一月考)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝3，S9－S6＝12，则S6＝____．B

9

易错警示忽略对公比q的讨论致误

已知等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.典例6课堂检测·固双基D

2．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4