第四讲 机器人的位姿描述

第3章机器人运动学3.1机器人的位姿描述3.2齐次变换及运算3.3机器人运动学方程3.4机器人微分运动2021/5/92010/09/022010/09/021机器人的任务2021/5/92010/09/022010/09/022第3章机器人运动学运动学研究的问题：

手在空间的位姿及运动与各个关节的位姿及运动之间的关系。其中：正问题：已知关节运动，求手的运动。逆问题：已知手的运动，求关节运动。2021/5/92010/09/022010/09/0233.1机器人的位姿描述

对于机器人来说，我们最关心它的末端执行器相对于基座的位置和姿态，简称为位姿。问：我们如何用一组关节参数来描述机器人的末端执行器相对于基座的位姿？

2021/5/92010/09/022010/09/024一、机器人位姿的表示1、位置的表示坐标系建立后，任意点p在空间的位置可以用一个3×1的位置矢量来描述；例如，点p在{A}坐标系中表示为：

ｐ(ｘ,ｙ,ｚ)ｚｙｘｏ3.1机器人的位姿描述{A}其中px，py，pz为P点的坐标分量。2021/5/92010/09/022010/09/025位置矢量不同于一般矢量，它的大小与坐标原点的选择有关。2021/5/92010/09/022010/09/0262、姿态（或称方向）的表示我们知道：两个刚体的相对姿态可以用附着与它们上的坐标系的相对姿态来描述。3.1机器人的位姿描述2021/5/92010/09/022010/09/027刚体的姿态可以用附着于刚体上的坐标系（用{B}表示）来表示；因此，刚体相对于坐标系{A}的姿态等价于{B}相对于{A}的姿态。坐标系{B}相对于{A}的姿态表示可以用坐标系{B}的三个基矢量xB、yB和zB在{A}中的表示给出，即[AxB

AxB

AxB]

（这里前上标A说明：{B}的三个基矢量在A坐标系中表示），它是一个3×3矩阵，它的每一列为{B}的基矢量在{A}中的分量表示。3.1机器人的位姿描述2021/5/92010/09/022010/09/028即：3.1机器人的位姿描述úúúûùêêêëé=),cos(),cos(),cos()A,cos()A,cos(),cos()A,cos(),cos(),cos(BBBBBBBBBzzAyzAxzAzyyyxyAzxyxAxxARAB

基矢量都是单位矢量，因此，上式又可以写成：2021/5/92010/09/022010/09/0293.1机器人的位姿描述

称为坐标系{B}相对{A}的旋转矩阵。旋转矩阵的性质：1、列向量两两正交，行向量两两正交。2、列向量和行向量都是单位向量。3、每一列是{B}的基矢量在{A}中的分量表示，同样，每一行是{A}的基矢量在{B}中的分量表示。4、旋转矩阵是正交矩阵，其行列式等于1。5、它的逆矩阵等于它的转置矩阵，即：

2021/5/92010/09/022010/09/02103、位姿的统一表示定义一组四向量矩阵[RP]，如图。其中，表示{j}相对{i}的姿态，表示{j}的原点相对{i}的位移。我们可以将{j}坐标系相对{i}坐标系描述为：ｚiｙiｘiｏiｚjｙjｘjｏjp3.1机器人的位姿描述3×42021/5/92010/09/022010/09/02113.2.1、不同直角坐标系之间的关系

1、平移设坐标系{i}和坐标系{j}具有相同的姿态，但它俩的坐标原点不重合，若用3×1矩阵iPjorg表示坐标系{j}的原点相对坐标系{i}的位置，则同一点P在两个坐标系中的表示的关系为：3.2齐次变换及运算P2021/5/92010/09/022010/09/02122、旋转设坐标系{i}和坐标系{j}的原点重合，但它俩的姿态不同。设有一向量P，它在{j}坐标系中的表示为jP，它在{i}中如何表示？考虑分量：即：3.2齐次变换及运算ｚiｙiｘiｏiｚjｙjｘjｏjp2021/5/92010/09/022010/09/02133、另一种解释对同一个数学表达式可以给出多种不同的解释，前面介绍的是同一个向量在不同的坐标系的表示之间的关系。上述数学关系也可以在同一个坐标系中解释为向量的“向前”移动或旋转，或则，坐标系“向后”的移动或旋转。3.2齐次变换及运算2021/5/92010/09/022010/09/02144、常用的旋转变换、绕z轴旋转θ角坐标系{i}和坐标系{j}的原点合，坐标系{j}的坐标轴方向相对于坐标系{i}绕的z轴旋转一个θ角。θ角的正负一般按右手法则确定，即由z轴的矢端看，逆时钟为正。3.2齐次变换及运算ｚiｙiｘiｏiｚjｙjｘjｏjθθ2021/5/92010/09/022010/09/02153.2齐次变换及运算02六月2023令:2021/5/92010/09/022010/09/0216、绕x轴旋转α角的旋转变换矩阵为：

3.2齐次变换及运算ｙiｚiｘiｏiｚjｙjｘjｏjαα2021/5/92010/09/022010/09/0217③绕y轴旋转β角的旋转变换矩阵为：

3.2齐次变换及运算ｘiｙiｚiｏiｚjｙjｘjｏjββ2021/5/92010/09/022010/09/0218复合转动:3.2齐次变换及运算2021/5/92010/09/022010/09/0219绕任意轴的转动设绕k轴转动θ角，则旋转矩阵为：其中：3.2齐次变换及运算2021/5/92010/09/022010/09/0220若给定一旋转矩阵:则可计算出：3.2齐次变换及运算2021/5/92010/09/022010/09/02213.2齐次变换及运算5、联合（平移+旋转）设坐标系{i}和坐标系{j}坐标原点不重合并具有不同的姿态。则空间任一矢量在坐标系{i}和坐标系{j}之间有以下关系：

设{I’}是方向与{i}平行的中间坐标系，则：2021/5/92010/09/022010/09/0222

若坐标系{i}和坐标系{j}之间是先旋转变换，后平移变换，则上述关系是应如何变化？3.2齐次变换及运算2021/5/92010/09/022010/09/0223例：已知坐标系{B}沿坐标系{A}的x轴移动12个单位，并沿坐标系{A}的y轴移动6个单位，绕坐标系{A}的z轴旋转30°，求平移变换矩阵和旋转变换矩阵。假设某点在坐标系{B}中的矢量为，求该点在坐标系{A}中的表示。3.2齐次变换及运算2021/5/92010/09/022010/09/0224解：由题意可得平移变换矩阵和旋转变换矩阵分别为：

和则：

3.2齐次变换及运算02六月20232021/5/92010/09/022010/09/02253.2齐次变换及运算3.2.2、齐次坐标变换

为什么学习齐次坐标表示？将坐标系的平移和旋转用一个矩阵统一表示。2021/5/92010/09/022010/09/02261、齐次坐标的定义空间中任一点在直角坐标系中的三个坐标分量用表示，若有四个不同时为零的数与三个直角坐标分量之间存在以下关系：则称是空间该点的齐次坐标。3.2齐次变换及运算3.2.2、齐次坐标变换以后用到齐次坐标时，一律默认k=1。2021/5/92010/09/022010/09/02273.2齐次变换及运算2、齐次坐标变换为何使用齐次坐标？在进行联合变换时，变换关系为：2021/5/92010/09/022010/09/0228将其写成统一的矩阵形式则有：

3.2齐次变换及运算式中，称为齐次坐标变换矩阵，它是一个4×4的矩阵。

2021/5/92010/09/022010/09/02291）、齐次坐标变换矩阵的意义若将齐次坐标变换矩阵分块，则有：意义：左上角的3×3矩阵是两个坐标系之间的旋转变换矩阵，它描述了姿态关系；右上角的3×1矩阵是两个坐标系之间的平移变换矩阵，它描述了位置关系，所以齐次坐标变换矩阵又称为位姿矩阵。

3.2齐次变换及运算2021/5/92010/09/022010/09/0230联合变换与单步齐次变换矩阵的关系：任何一个齐次坐标变换矩阵均可分解为一个平移变换矩阵与一个旋转变换矩阵的乘积，即：3.2齐次变换及运算注意：1、这里的平移和旋转都是相对{i}坐标系的，即绝对变换。

2、矩阵相乘的次序是不可交换的。2021/5/92010/09/022010/09/02313.2齐次变换及运算

如图所示的两坐标系的位姿可以有两种理解：

1、{j}先相对{i}旋转，再相对{i}平移，即绝对变换。

2、{j}先相对{i}平移，再相对平移后的{j}旋转，即相对变换。{i}{j}

可见，同样的位姿，既可以按照绝对运动来实现，也可以按相对运动来理解，但两种方法的矩阵表达式是不同的。2021/5/92010/09/022010/09/02323.2齐次变换及运算

结论：左乘和右乘原则：绝对运动变换矩阵左乘，即先做的在右边，后做的在左边。相对运动变换矩阵右乘，即先做的在左边，后做的在右边。2021/5/92010/09/022010/09/02333.2齐次变换及运算例3（3-2）：已知坐标系{B}先绕坐标系{A}的z轴旋转90°，再绕坐标系{A}的x轴旋转90°，最后沿矢量P=3i-5j+9k平移得到，求：坐标系{A}与{B}之间的齐次坐标变换矩阵MAB。解：绝对运动，左乘原则。

MAB=Trans(3,-5,9)Rot(x,90)Rot(z,90)

如果上述运动为相对运动，则应用右乘原则。有：

MAB=Rot(z,90)Rot(x,90)Trans(3,-5,9)2021/5/92010/09/022010/09/02342）、齐次变换的逆变换设：，等号两边同乘得：可知：求齐次变换的逆可按一般矩阵求逆的方法进行，也可按几何意义求。3.2齐次变换及运算2021/5/92010/09/022010/09/02353.2齐次变换及运算

正、逆变换间的几何意义：顺序颠倒，符号取反，如图所示。2021/5/92010/09/022010/09/0236齐次变换的逆变换若齐次坐标变换矩阵为：则：

3.2齐次变换及运算2021/5/92010/09/022010/09/02372